Економічний зміст похідної.
Використання поняття похідної в економіці.
Розглянемо задачу про продуктивність праці. Нехай функція и = и(t) відображає кількість виробленої продукції u за час t i необхідно знайти продуктивність праці в момент t0.
За період часу від t0 до t0 + 
t кількість виробленої продукції зміниться від значення u0 = u(t0) до значення u0 + u = u(t0 +t); тоді середня продуктивність праці за цей період часу zсер=
. Очевидно, що продуктивність праці в момент t0 можна визначити як граничне значення середньої продуктивності за період часу від t0 до t0 + t при t 0 , тобто
Таким чином, продуктивність праці є похідна від обсягу виробленої продукції по часу.
Розглянемо ще одне поняття, яке ілюструє економічний зміст похідної.
Витрати виробництва y будемо розглядати як функцію кількості продукції х, що виробляється. Нехай х — приріст продукції, тоді y — приріст витрат виробництва і 
- середній приріст витрат виробництва продукції на одиницю продукції. Похідна у' = 
— виражає граничні витрати виробництва і характеризує наближено додаткові затрати на виробництво одиниці додаткової продукції.
Граничні витрати залежать від рівня виробництва (кількість продукції, що випускається) х і визначаються не постійними виробничими затратами, а лише змінними (на сировину, паливо та ін.). Аналогічним чином можуть бути визначені гранична виручка, граничний доход, граничний продукт, гранична корисність, гранична продуктивність та інші граничні величини.
Застосування диференціального числення для дослідження економічних об'єктів та процесів на основі аналізу цих граничних величин дістало назву граничного аналізу. Граничні величини характеризують не стан (як сумарна чи середня величини), а процес зміни економічного об'єкта. Таким чином, похідна виступає як швидкість зміни деякого економічного об'єкта (процесу) за часом або відносно іншого об'єкта дослідження. Але необхідно врахувати, що економіка не завжди дозволяє використовувати граничні величини в силу неподільності багатьох об'єктів економічних розрахунків та перервності (дискретності) економічних показників в часі (наприклад, річних, квартальних, місячних та ін.). Водночас у деяких випадках можна відокремитись від дискретності показників і ефективно використовувати граничні величини.
Розглянемо, як приклад, співвідношення між середнім та граничним доходом в умовах монопольного та конкурентного ринків.
Сумарний доход (виручка) від реалізації продукції r можна визначити як добуток ціни одиниці продукції р на кількість продукції q, тобто r = pq.
В умовах монополії одна або декілька фірм повністю контролюють пропозицію певної продукції, а отже і її ціну При цьому, як правило, зі збільшенням ціни попит на продукцію падає. Вважаємо, що цей процес проходить по прямій, тобто крива попиту р (q) є лінійна спадаюча функція p = aq + b , де а < 0, b>0 . Звідси сумарний доход від реалізованої продукції складає r = (aq + b)q = aq2 +bq (див. рис. 4.22). В цьому випадку середній доход на одиницю продукції rсер = 
, а граничний прибуток, тобто додатковий доход від реалізації одиниці додаткової продукції, складатиме 
(див. рис. 4.22). Звідси, в умовах монопольного ринку зі зростанням кількості реалізованої продукції граничний прибуток зменшується, внаслідок чого відбувається зменшення (з меншою швидкістю) середнього прибутку.
В умовах досконалої конкуренції, коли на ринку функціонує велика кількість учасників і кожна фірма не спроможна контролювати рівень цін, стабільна реалізація продукції можлива при домінуючій ринковій ціні, наприклад, р = b. При цьому сумарний прибуток складатиме r = bq i відповідно середній прибуток rсер = 
; граничний прибуток 
(див. рис. 4.23). Таким чином, в умовах ринку вільної конкуренції, на відміну від монопольного ринку, середній та граничний прибутки збігаються.
Для дослідження економічних процесів та вирішення інших прикладних задач використовується поняття еластичності функції.
Означення: Еластичністю функції Еx (y) називається границя відношення відносного приросту функції у до відносного приросту змінної х при х 0:
(4.21)
Еластичнісіь функції наближено відображає, на скільки відсотків зміниться функція у = f (х) при зміні незалежної змінної х на 1%.
Визначимо геометричний зміст еластичності функції. За означенням (4.21) 
, де 
— тангенс кута нахилу дотичної в точці М (x, у) (див рис. 4.24). Враховуючи, що з трикутника MBN MN = х , MC = y, а з подібності трикутників MBN та АМС 
, тобто еластичність функції (за абсолютною величиною) дорівнює відношенню відстаней по дотичній від даної точки графіка функції до точок її перетину з осями Ох та Оу. Якщо точки перетину дотичної до графіка функції А і В знаходяться по одну сторону від точки М, то еластичність Ех (у) додатня (див. рис. 4.24), якщо по різні сторони, то Ех(у) відмінна (див. рис. 4.25).
Властивості еластичності функції:
1. Еластичність функції дорівнює добутку незалежної змінної на темп зміни функції Ту = (ln y)’ = 
, тобто
2. Еластичність добутку (частки) двох функцій дорівнює сумі (різниці) еластичностей цих функцій:
3. Еластичності взаємообернених функцій — взаємообернені величини:
(4.22)
Еластичність функції застосовується при аналізі попиту та пропозиції. Наприклад, еластичність попиту у відносно ціни х (або доходу х) — коефіцієнт, що визначається за формулою (4.21) і наближено відображаючий, на скільки відсотків зміниться попит (обсяг пропозиції) при зміні ціни (або доходу) на 1%.
Якщо еластичність попиту (за абсолютною величиною) 
, то попит вважають еластичним, якщо 
— нееластичпим відносно ціни (або доходу). Якщо 
, то мова йде про попит з одиничною еластичністю.
Визначим, наприклад, як впливає еластичність попиту відносно ціни на сумарний прибуток z = pq при реалізації продукції. Вище ми вважали криву попиту р = p(q) — лінійною функцією; тепер припустимо, що р = p(q) — довільна функція. Знайдемо граничний прибуток
Відповідно з формулою (4.22) для еластичності взаємообернених функцій еластичність попиту відносно ціни обернена еластичності ціни відносно попиту, тобто Еq(р)=
, а також те, що 
, отримаємо при довільній кривій попиту
(4.23)
Якщо попит не є еластичним, тобто 
< 1 , то відповідно до (4.22) граничний доход 
буде від'ємний при будь-якій ціні; якщо попит еластичний, тобто > 1 , то граничний прибуток додатний. Таким чином, для нееластичного попиту зміна ціни та граничного прибутку відбуваються в одному напрямку, а для еластичного попиту — в різних. Це означає, що зі зростанням ціни для продукції еластичного попиту сумарний прибуток від реалізації продукції збільшується, а для товарів нееластичного попиту — зменшується. На рис. 4.22 на кривих прибутків виділені області еластичного та нееластичного попиту.
Приклад: Залежність між витратами виробництва у і обсягом продукції х, що випускається, визначається функцією у = 50х - 0,05х3 (грош. од.). Визначити середні та граничні витрати за умови, що обсяг продукції 10 одиниць.
Розв'язок: Функція середніх витрат (на одиницю продукції) виражається відношенням 
при х = 10 середні витрати (на одиницю продукції) дорівнюють 
(грош. од.). Функція граничних витрат виражається похідною у'(x) = 50-0,15x2 ; при х = 10 граничні витрати складають у'(10) = 50-0,15·102 =35 (грош. од.). Отже, якщо середні витрати на виробництво одиниці продукції складають 45 грош. од., то граничні витрати, тобто додаткові затрати на виробництво додаткової одиниці продукції за умови даного рівня виробництва (обсягу продукції, що випускається 10 од.), складають 35 грош. од.
Приклад: Залежність між собівартістю одиниці продукції у (тис. грош. од.) та випуском продукції х (млрд. грош, од.) виражається функцією у=0,5х+80. Знайти еластичність собівартості за умови випуску продукції в розмірі 60 млрд. грош. од.
Розв'язок: За формулою (4.21) еластичність собівартості
При х = 60 
, тобто при виробництві продукції в розмірі 60 млн. грош. од., збільшення її на 1% викличе зменшення собівартості на 0,6%.
Приклад: За допомогою досліду були встановлені функції попиту 
та пропозиції 
, де q та s — кількість товарів, відповідно що купується і пропонується для продажу за одиницю часу, р — ціна товару. Знайти: а) рівноважну ціну, тобто ціну, за якої попит та пропозиція врівноважуються; б) еластичність попиту та пропозиції для цієї ціни; в) зміну доходу при збільшенні ціни на 5% від рівноваженої.
Розв'язок: а) Рівноважна ціна визначається з умови q = s, 
, звідки р = 2, тобто рівноважна ціна дорівнює 2 грош. од. б) Знайдемо еластичності попиту та пропозиції за формулою (4.21):
Для рівноважної ціни р = 2 маємо Ер=2(q) = -0,3, Ep=2(s) = 0,8 .
Так як отримані значення еластичності за абсолютною величиною менші 1, то попит і пропозиція даного товару за рівноважної (ринкової) ціни нееластичні відносно ціни. Це означає, що зміна ціна не приведе до різкої зміни попиту та пропозиції. Так, при збільшенні ціни p на 1% попит зменшиться на 0,3%, а пропозиція збільшиться на 0,8%. в) При збільшенні ціни р на 5% від рівноважної попит зменшиться на 5 • 0,3 = 1,5%, тобто прибуток зросте на 3,5%.
План практичних занять
1. Правило Лопіталя.
2. Розкриття невизначеностей вигляду 
3. Зростання та спадання функцій. Екстремуми функцій.
4. Найбільше та найменше значення функції на відрізку.
5. Опуклість та вгнутість кривої. Точка перегину.
6. Асимптоти графіка функцій.
7. Дослідження функцій та побудова їх графіків.
8. Використання поняття похідної в економіці.
Термінологічний словник ключових понять
Правило Лопіталя — Границя відношення двох нескінченно малих або нескінченно великих функцій дорівнює границі відношення їхніх похідних (скінченній або нескінченній), якщо остання існує.
Екстремуми функції — а) При значенні x1 аргументу x функція f(x) має максимум f(x1), якщо в деякому околі точки х1 виконується нерівність f(x1)>f(x)(x
x1). б) При значенні x2 аргументу x функція f (х) має мінімум f(x2), якщо в деякому околі точки x2; має місце нерівність f(x2)<f(x)(xx2). Максимум або мінімум функції називається екстремумом функції.
Опуклість та вгнутість кривої— Крива на проміжку називається опуклою (вгнутою), якщо всі точки кривої лежать нижче (вище) будь-якої її дотичної на цьому проміжку.
Точка перегину — Tочка, яка відокремлює випуклу частину кривої від вгнутої.
Асимптота — Пряма називається асимптотою кривої, якщо відстань від змінної точки М кривої до цієї прямої при віддаленні точки М у нескінченність прямує до нуля.
Еластичність функції— Еластичність функції Еx(у) називається границя відношення відносного приросту функції y до відносного приросту змінної х при x 0.
Економічний зміст частинних похідних
Аналогічно поняттю еластичності функції однієї змінної ми можемо ввести поняття частинних еластичностей функції двох змінних.
Припустимо, що функції x1 = f(p1;p2) і x2 = f(p1;p2) виражають попит на товари А і В, які залежать від ціни на ці товари. Частинні еластичності попиту відносно цін p1 і р2 складають
Частинна еластичність E11 попиту на товар А відносно ціни товару А приблизно означає відсоток підвищення (або зниження) попиту на товар А, якщо ціна товару А зростає на 1%, а товару В залишається незмінною.
Частинна еластичність Е12 попиту на товар А відносно ціни товару В приблизно означає відсоток підвищення (або зниження) попиту на товар А, якщо ціна товару В зростає на 1%, а товару А залишається без змін і т. п.
Приклад: Припустимо, що функція попиту на товар А є
Знайти частинні показники еластичностей.
Маємо
одержимо
Це означає, що якщо ціна товару А зростає на 1%, а товару В залишається без змін, тоді попит на товар, знижується на 0,3%. Далі, Е12 = 
= 0,05 тобто, якщо ціна товару В зростає на 1% при незмінній ціні товару А, попит на товар А зростає приблизно на 0,05%.
План практичних занять
1. Частинні похідні першого порядку. Повний диференціал.
2. Градієнт. Похідна за напрямом.
3. Похідна від неявної функції.
4. Частинні похідні і диференціал вищих порядків.
Лабораторні роботи
1. Наближене обчислення за допомогою повного приросту або повного диференціалу.
2. Застосування частинних похідних в економіці.
Термінологічний словник ключових понять
Диференційовна функція z = f(x, у) — це функція, повний приріст якої 
можна подати у вигляді = Ах + Ву + 
х + 
у, де А , В — числа, , 
— нескінченно малі при, 0.
Повний приріст — це різниця f(x0 + х, у0 + у) - f(x0, y0), де х, у — прирости, що надаються точці (х0, у0) так, щоб точка (х0 + х, у0 + у) не виходила за межі околу точки (х0, у0).
Повний диференціал — це головна лінійна частина приросту функції, тобто Aх + Bу.
Повний диференціал функції двох змінних z = f(x, у) обчислюється за формулою
Похідна за напрямом 
характеризує швидкість змінювання функції z = f (x; y). У точці Po(x0;y0)за напрямом 
= (cos , cos ) і обчислюється за формулою
Градієнт — це вектор з координатами, який характеризує напрям максимального зростання функції z - f(x,y) у точці Р0 (х0, у0):