Факультативное занятие

Тема: Решение задач с помощью уравнений.

Основные цели:

1) формирование навыков решения задач повышенного уровня с помощью составления уравнения;

2) совершенствование навыков решения задач на делимость произведения.

Оборудование, демонстрационный, раздаточный материал

1) задание для актуализации знаний:

К некоторому двузначному числу слева и справа приписали по единице. В результате получили число, в 23 раза больше первоначального. Найдите это двузначное число.

2) к этапу построения проекта выхода из затруднения

Алгоритм решения задачи.

1. Искомую величину обозначить x, ав и тд.;

2. Составить уравнение, представить полученное число в виде разрядных слагаемых;

3. Решить уравнение;

4. Ответить на вопрос задачи

3) эталон для самопроверки самостоятельной работы

Пусть задумано число ав, тогда имеем

аавв = 66· ав, 1000а+100а+10в+в=66·(10а+в), 440а=55в, 8а=в, а=1, в=8, ав =18.

Ответ. Задумано число 18.

Ход занятия

1. Самоопределение к учебной деятельности

Цель этапа: 1) включить учащихся в учебную деятельность;

2) определить содержательные рамки занятия: решаем задачи повышенного уровня.

Организация учебного процесса на этапе 1:

– Здравствуйте, ребята! Какие, задачи мы с вами решали на прошлом занятии? (Логические задачи.)

– Сегодня мы продолжим решать задачи повышенного уровня.

2. Актуализация знаний и фиксация затруднений в деятельности

Цель этапа: 1) актуализировать учебное содержание, необходимое и достаточное для восприятия нового материала: решение числовых ребусов.

2) актуализировать мыслительные операции, необходимые и достаточные для восприятия нового материала: сравнение, анализ, обобщение;

3) зафиксировать индивидуальное затруднение в деятельности, демонстрирующее на личностно значимом уровне недостаточность имеющихся знаний: недостаточность времени.

Организация учебного процесса на этапе 2:

1. – Решите числовой ребус: КИС

⁺ КСИ

ИСК

(Решение: Сумма И+С (в разряде десятков) оканчивается на С, но И не равно нулю (см. разряд единиц). Значит, И=9 и 1 десяток в разряде единиц запомнили (решение ниже). Теперь легко найти К в разряде сотен: К=4. Для С остается одна возможность: С=5.)

1) КИС 2) К9С 3) 49С 4) 495

⁺КСИ ⁺КС9 ⁺4С9 ⁺459

ИСК 9СК 9С4 954

- Молодцы!

2. – Решите следующую задачу:

Первая цифра трехзначного числа 8. Если эту цифру переставить на последнее место, то число увеличится на 18. Найдите первоначальное число.

- Какие способы решения вы можете предложить? (Способ подбора.)

- Этот способ применим в данном случае, а для решения любой ли задачи этот способ поможет? (Нет. Другой способ: с помощью числового ребуса. Можно записать в трех вариантах:

1) АВ8 2) 8АВ 3) АВ8

^-8АВ ⁺ 18 ^- 18

18 АВ8 8АВ

Ответ. А=9, В=0. число 890).

3. - В течение одной минуты найдите ответ задачи:

(Это задание вызовет у учащихся затруднение.)

3. Выявление причин затруднения и постановка цели деятельности

Цель этапа: 1) организовать коммуникативное взаимодействие, в ходе которого выявляется и фиксируется отличительное свойство задания, вызвавшего затруднение в учебной деятельности: решение задач с помощью уравнения;

2) согласовать цель и тему урока: научиться решать задачи с помощью уравнения.

Организация учебного процесса на этапе 3:

- Каким способом можно решить эту задачу? (Подбором, составить числовой ребус, как и в предыдущих задачах, но решение этими способами сложнее.)

– Какой еще способ решения задач мы можем применить? (Решение с помощью уравнения).

- Какова цель урока? Сформулируйте тему урока.

– Молодцы! Запишите тему занятия в тетрадь.

4. Построение проекта выхода из затруднения

Цель этапа: 1) организовать коммуникативное взаимодействие для построения нового способа действия, устраняющего причину выявленного затруднения;

2) зафиксировать новый способ действия в знаковой, вербальной форме и с помощью алгоритма.

Организация учебного процесса на этапе 4:

– Прежде чем решить эту задачу с помощью уравнения, я предлагаю Вам решить несколько заданий, а потом мы вернемся к задаче, вызвавшей у нас затруднение.

- Итак, 1 задание. К числу х справа приписать 4.

- Если число х двузначное, то оно станет каким? (трехзначным).

- Если число х трехзначное, то будет? (четырехзначным).

- Какая запись получится? (х4).

- 2 задание. К числу х слева припишите 4. Какие разряды будет содержать получившееся число? (Зависит от х). Как запишется? (4х).

- В математике применим переместительный закон. Можно ли записать 4х=х4? (Можно, если происходит умножение. Для данного задания нельзя. Вместо х рассматриваем многозначные числа).

- Приведите числовые примеры, подтверждающие верность вашего суждения.

- Пусть за х примем 78, тогда если приписать 4 справа, получим 784, если слева, то 478. Числа не равные.

- Можно ли по записи 4х определить, где записано действие умножения, а где многозначное число? (Нет, нужно в записи что-то изменить).

- Итак, если требуется умножить число на переменную, то пишут 4х. Если указать, что рассматривают многозначное число, то записывают так: 4х. Причем вместо х может быть число с любым количеством разрядов.

- 3 задание. К числу х справа приписали цифру 5. Представьте полученное число в виде суммы, если х: а) двузначное число, б) трехзначное число.

а) 10х+5, б) 10х+5

- 4 задание. К числу у приписали слева цифру 7. Представьте полученное число в виде суммы, если у: а) двузначное число, б) трехзначное число.

а) 700+у, б) 7000+у.

- 5 задание. Если к задуманному числу приписать справа 0 и результат вычесть из числа 143, то получится утроенное задуманное число. Какое число задумано?

Решение. Пусть задумано число х. Имеем уравнение 143-10х=3х, откуда х=11. Ответ. Было задумано число 11.

- 6 задание. Если к данному числу приписать справа цифру 9 и к полученному числу прибавить удвоенное данное число, то сумма будет равна 633. Найдите данное число.

Решение. Пусть х данное число, тогда х9 – стало число после того, как приписали 9, 10х+9+2х=633, х=52. Ответ. Число 52.

- Давайте вернемся к задаче, вызвавшей затруднение, и решим ее.

Что обозначить за х? (Неизвестное число).

Как запишется число после того, как слева и справа приписали по единице? (1х1.)

Какое уравнение Вы составите?

(1х1.= 23·х, 1000+10х +1=23· х, 13 х=1001, х=77. Ответ. Двузначное число 77).

– Молодцы! Вы смогли решить задачу по-новому. Теперь Вы сможете быстрее отвечать на вопросы таких задач? (Да, потому что метод подбора отнимает много времени).

- Составьте алгоритм решения задач такого типа.

Алгоритм решения задачи.

1. Искомую величину обозначить x, ав и тд.;

2. Составить уравнение, представить полученное число в виде разрядных слагаемых;

3. Решить уравнение;

4. Ответить на вопрос задачи.

5. Первичное закрепление во внешней речи

Цель этапа: зафиксировать изученное учебное содержание во внешней речи.

Организация учебного процесса на этапе 5:

1 задача. Первая цифра трехзначного числа 8. Если эту цифру переставить на последнее место, то число увеличится на 18. Найдите первоначальное число.

- Эту задачу мы решили в начале занятия с помощью ребусов. А можно ли решить с помощью уравнения? (Да).

Пусть а – цифра десятков искомого числа, в – цифра его единиц. Тогда по условию задачи имеем:

8ав – трехзначное число, ав8 – число после перестановки, ав8 – 8ав = 18,

10ав+ 8-800-ав=18,

9ав =810,

ав = 90.

Ответ. Первоначальное число 90.

2 задача. Ученик сообщил своему товарищу, что задумал двузначное число, вычел из него число, написанное теми же цифрами, но в обратном порядке, и получил квадрат четного числа. Товарищ после некоторого размышления заявил, что полученная разность равна 36. Прав ли он? Найдите все двузначные числа, обладающие свойством, которое подметил ученик.

Решение. Пусть задуманное число ав, тогда ав – ва=10а+в-(10в+а)=9(а-в).

Число 9(а-в) может быть квадратом четного числа только при условии, что а-в – квадрат четного числа. Но а-в<10 (а и в – цифры), а единственный квадрат четного числа меньше 10, это число 4. Значит, полученная разность двузначных чисел равна 36. Товарищ оказался прав.

Из условия а-в=4 подбором находим, а=9, в=5; а=8, в=4; а=7, в=3; а=6, в=2; а=5, в=1.

Таким образом, задуманным могло быть одно из следующих чисел: 95; 84; 73; 62; 51.

6. Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону

Цель этапа: проверить своё умение применять алгоритм решения задач с помощью уравнений на основе сопоставления своего решения с эталоном для самопроверки.

Организация учебного процесса на этапе 6:

Работа проверяется по эталону для самопроверки.

Задача 3. Если между цифрами двузначного числа х вписать это же число, то полученное четырехзначное число будет в 66 раз больше первоначального двузначного. Найти х.

Решение. Пусть задумано число ав, тогда имеем

аавв = 66· ав, 1000а+100а+10в+в=66·(10а+в), 440а=55в, 8а=в, а=1, в=8, ав =18.

Ответ. Задумано число 18.

7. Включение в систему знаний и повторение

Цель этапа: 1) тренировать навыки использования нового содержания совместно с ранее изученным;

2) повторить учебное содержание, которое потребуется на следующих уроках: определение делимости чисел.

Организация учебного процесса на этапе 7:

Работа в парах.

Задача 4. В шестизначном числе первая цифра совпадает с четвертой, вторая – с пятой и третья – с шестой. Докажите, что это число кратно 7, 11, 13.

Решение. Обозначим первую цифру числа буквой а, вторую – буквой в, третью – буквой с. Тогда данное число запишется так: авсавс. Имеем:

1000авс + авс = 1001авс = 7·11·13 авс.

Произведение содержит множители 7, 11, 13, а, значит, исходное шестизначное число делится на эти множители.

8. Рефлексия деятельности на уроке

Цель этапа: 1) зафиксировать новое содержание, изученное на уроке: алгоритм решения с применением уравнений;

2) оценить собственную деятельность на уроке;

3) поблагодарить одноклассников, которые помогли получить результат урока;

4) зафиксировать неразрешённые затруднения как направления будущей учебной деятельности;

5) обсудить и записать домашнее задание.

Организация учебного процесса на этапе 8:

– Какую цель ставили сегодня на уроке?

– Все ли у вас получилось?

– Оцените себя: насколько для вас эффективно прошёл сегодняшний урок?

9. Домашнее задание. Первая цифра четырехзначного числа 7. Если эту цифру переставить на последнее место, то получится число меньше первоначального на 864. Найдите первоначальное число.