«Формирование навыков решения задач с
параметрoм на уроках алгебры в 7 классе».
Решение уравнений и неравенств с параметрами можно считать деятельностью, близкой по своему характеру к исследовательской. Это обусловлено тем, что выбор метода решения, процесс решения, запись ответа предполагают определенный уровень сформированности умений наблюдать, сравнивать, анализировать, выдвигать и проверять гипотезу, обобщать полученные результаты.
В последние годы в вузах на вступительных экзаменах по математике наряду с традиционными задачами предлагаются и задачи с параметрами. Однако в школьном курсе математики решению задач с параметрами уделяется мало внимания. Большинство учащихся либо вовсе не справляются с такими задачами, либо приводят громоздкие выкладки. Причиной этого является отсутствие системы заданий по данной теме в школьных учебниках. Учебно-методическая литература, которая появляется на прилавках магазинов в большом количестве, ориентирована в основном на выпускников школы, учащихся старших классов, абитуриентов и подразумевает наличие у школьника навыка решения простейших задач.
Цели данной работы:
показать возможность и важность введения параметрических задач на начальной этапе изучения алгебры для формирования навыков исследовательской деятельности, осуществления полноценного математического образования и развития ключевых компетенций школьников;
показать способ введения учителем параметрических задач на уроках алгебры в 7 классе;
показать необходимость отработки приемов решения различных задач с параметрами для формирования у учащихся интереса к предмету, их математических способностей, подготовки к ЕГЭ, централизованному тестированию и к вступительным экзаменам в вузы.
В задачу данной творческой работы входит рассмотрение обоснованности введения параметрических задач (ПЗ) на начальном этапе изучения алгебры, предложить пути внедрения ПЗ в учебный процесс (из опыта работы), проанализировать результативность и перспективность применения опыта учителя на уроках математики и во внеурочной деятельности.
Обучать решению параметрических задач целесообразно начать с 7-го класса, хотя уже в 5 классе можно показать решение простейших уравнений. Начать, безусловно, надо с основных, например: 5х=10; 0х=10; 0х=0. Учащиеся должны твердо усвоить, что уравнение 5х=10 имеет единственный корень, равный 2, уравнение 0х=10 не имеет корней, а уравнение 0х=0 имеет бесконечное множество решений.
В пятом классе в качестве упражнения можно решить уравнение ах=1 и в ходе беседы выяснить, при каких значениях параметра уравнение не имеет корней (а=0) и при каких значениях а уравнение имеет единственный корень (а).
Но основную работу по обучению решения параметрических задач нужно начать лишь в 7 классе. Ниже приводится система упражнений по решению и исследованию уравнений и систем линейных уравнений с одним параметром в курсе 7 класса.
После изучения темы «Решение линейных уравнений» учащимся предлагаю решить уравнение 3х-6х=-а+2.
Решим его: 3х-6х=-а+2;
3х=а-2;
.
Анализируя решение, видим, что уравнение имеет единственный корень при любом значении параметра а.
Далее решаем ряд уравнений.
Пример 1. Решить уравнение (а-2)х=а+1.
Решение. 1) Найдём контрольное значение параметра.
а-2=0 а=2.
2) Исследуем уравнение относительно контрольного значения:
- если а=2, то получим уравнение 0х=3, которое не имеет решений;
- если а2, то получим, что - единственный корень.
Ответ. При а=2 корней нет; при а2 .
После того, как учащиеся овладели решением простейших параметрических задач, предлагается домашнее задание: самим придумать уравнение с параметром. Это стимулирует к творчеству, помогает ученикам глубже «окунуться» в тему.
После изучения темы «Решение систем линейных уравнений», рассматриваем решение систем с параметром. Приведу в качестве примера несколько заданий по этой теме.
Пример 2.Решить систему
Решение.
Ответ. При любом значении а система имеет единственное решение
.
Пример 3. При каком значении параметра а система уравнений
не имеет решений.
Решение.
Если а=-2, то система не имеет решений, т.к. не имеет решений первое уравнение системы.
Ответ. Система не имеет решений при а=-2.
Пример 4. При каком значении параметра а система имеет единственное решение. Найти это решение.
Решение.
Если ,то уравнение имеет единственное решение (0;1).
Ответ. (0;1) при .
Пример 5. Решить систему
Решение. Решим систему методом сложения.
1) Если а=3, то уравнение (а-3)у=0 имеет множество решений, т.е.у=t, tR, тогда из второго уравнения находим
Итак, при а=3 система имеет бесконечное множество решений .
2) Если а3, то у=0. Система примет вид
а) Если а=-2, то (а+2)х=-4. Это уравнение не имеет решений, а значит и вся система не имеет решений.
б) Если а-2, то существует единственное решение
Ответ. При а=3 система имеет бесконечное множество решений ;
при а=-2 нет решений;
при единственное решение
Работа над нестандартными задачами, в том числе и параметрическими, развивает исследовательскую и познавательную деятельность учащегося, обеспечивает условия для самостоятельной творческой работы .
По мере получения учащимися новых знаний расширяется круг параметрических задач. И хотя сами задачи вызывают у учащихся первоначально затруднения, научившись решать простейшие параметрические задачи, они с удовольствием приступают к решению более сложных задач. Таким образом, даже на сложном материале можно и нужно работать дифференцированно.
Поскольку возрастает сложность задач, у учащихся возникает потребность обсудить способы решения, различные подходы к решению задачи, что логично ведёт к работе в группе, способствует развитию сотрудничества, развитию критического мышления. Совместная же деятельность воспитывает самостоятельность, ответственность за себя и товарищей, взаимопомощь, взаимовыручку. Отношение к предмету переходит на более высокий, практический уровень – школьники начинают действительно осознавать прикладной характер математики как части общечеловеческой культуры. Развивается критичность мышления на уровне, необходимом для будущей профессиональной деятельности. Это даёт возможность для учителя значительно расширить формы и методы работы с учащимися. На занятиях целесообразно использовать:
блочно-модульный подход в преподавании математики;
принцип дифференциации и индивидуализации в обучении;
элементы тестовой технологии. В качестве одной из форм обратной связи – тестовый контроль;
разноуровневый дидактический материал; материалы ЕГЭ;
проектно-исследовательскую деятельность.
Опыт оказывает, что раннее введение на уроках параметрических задач развивает познавательную активность учащихся, стимулирует к исследовательской деятельности, творчеству, помогает подготовить к ЕГЭ, централизованному тестированию и к вступительным экзаменам в вузы. И чем раньше школьник «встретится» с такими задачами на уроке, научится не просто решать, а подходить к каждому заданию творчески, тем легче и увлекательнее ему будет на уроках в старших классах, где, безусловно, задачи и более сложные и более интересные.