Конспект урока для 11 класса на тему «Арифметический способ отбора корней в тригонометрических уравнениях»
Цели и задачи урока:
повторение по теме «Решение тригонометрических уравнений»; закрепление основных понятий базового уровня, умений и навыков по применению арифметического способа отбора корней в тригонометрических уравнениях.
развитие познавательного интереса, логического мышления, интеллектуальных способностей; формирование математической речи;
воспитание самостоятельности мышления у учащихся.
Тип урока: урок повторения.
Формы работы: индивидуальная, фронтальная, коллективная
Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, экран, презентация «Арифметический способ отбора корней в тригонометрических уравнениях».
Ход урока:
Организационный момент. (Сообщение темы, целей и задач урока)
Устная работа.
Расположите в порядке убывания числа:
Расставьте в порядке возрастания числа:
Сравните числа:
Вычислите:
(В результате выполнения задания мы повторим определения арккосинуса, арксинуса, арктангенса и арккотангенса)
а) arcsin1; б) arccos; в) arcsin (- 2); г) arctg
;
д) arccos; е) arсctg
Повторение.
Формулы решения простейших тригонометрических уравнений
Вид уравнения
Общая формула серии уравнений
Следует отметить внимание учащихся, что в случае отбора корней применение общей формулы серии решений для синуса и косинуса не является удобным. В этом случае удобнее не объединять серии решений, а представлять их совокупностью.
При повторении формул решения уравнений следует обратить внимание учащихся на то, что эти формулы задают множества чисел, которые образуют арифметические прогрессии с разностью
для синуса и косинуса и
для тангенса и котангенса.
Решения уравнений
(
) можно записать совокупностью двух серий решений:
Уравнения имеют решения:
Решения уравнений
(
) можно записать совокупностью двух серий решений:
Уравнения имеют решения:
Решения уравнений
(
) можно записать совокупностью двух серий решений:
Уравнения имеют решения:
Решения уравнений
(
) можно записать совокупностью двух серий решений:
Уравнения имеют решения:
Арифметический способ отбора корней
При отборе корней в процессе решения тригонометрических уравнений обычно используют один из следующих способов: арифметический, алгебраический, геометрический, функционально-графический. Рассмотрим арифметический способ отбора корней. Данный способ отбора корней связан с вычислением корней при переборе значений целочисленного параметра или нахождением значений тригонометрических выражений непосредственной подстановкой при проверке корней.
Рассмотрим примеры, в которых используется арифметический способ отбора корней.
Непосредственная подстановка в уравнение и имеющиеся ограничения.
Пример 1. Решите уравнение: .
Решение: . Это уравнение равносильно системе
Решим уравнение системы:
или
корней нет
Проверим для полученных значений х выполнение условия . Для первой серии получаем:
Следовательно, первая серия является «посторонней». Для второй серии получаем:
Следовательно, все числа второй серия решений уравнения системы являются корнями исходного уравнения.
Ответ:
Пример 2. Решить уравнение
Решение: Рассмотрим два множества значений неизвестной х, для которых и
соответственно.
1. Пусть , тогда данное уравнение принимает вид:
Разделив обе части уравнения на cos x (так как ясно, что cos x не равен нулю), получим:
Из этой серии решений отберём значения х, для которых
Подставляя значения в это неравенство, находим:
при к=2n,
при к=2n,+1.
Следовательно, корнями исходного уравнения являются числа вида
2. Пусть , тогда данное уравнения принимает вид:
Отберём из полученных решений те значения х, для которых
Подставляя значения
в это неравенство, находим:
Следовательно, корнями исходного уравнения являются числами вида
Ответ:
Учёт области определения или множества значений функций. Иногда при обобщении уравнений некоторые «посторонние» решения, возникающие в результате замены, могут быть удалены по причине несоответствия их области определения или множеству значений тригонометрических и обратно тригонометрических функций (таблица).
Функция
Область определения
Область значений функции
Пример 1. Решите уравнение
Решение: Данное уравнение равносильна системе:
Если 0, то (из основного тригонометрического тождества) sin x=1, или sin x=-1. Так как sin x не равен нулю, то остаётся отобрать те значения х, при которых sin x=-1. Отсюда
Ответ:
Пример 2. Решить уравнение
Решение: Воспользовавшись формулой синуса двойного угла, получаем:
Так как при всех
, то
Следовательно, уравнение равносильно системе:
отсюда
Ответ:
Подведение итогов урока.
Домашнее задание.
1. Найдите корни уравнения удовлетворяющих неравенству
Решите уравнения:
2.
3.
4.
5.