Конспект урока для 11 класса на тему «Арифметический способ отбора корней в тригонометрических уравнениях»

Конспект урока для 11 класса на тему «Арифметический способ отбора корней в тригонометрических уравнениях»

Цели и задачи урока:

  • повторение по теме «Решение тригонометрических уравнений»; закрепление основных понятий базового уровня, умений и навыков по применению арифметического способа отбора корней в тригонометрических уравнениях.

  • развитие познавательного интереса, логического мышления, интеллектуальных способностей; формирование математической речи;

  • воспитание самостоятельности мышления у учащихся.

Тип урока: урок повторения.

Формы работы: индивидуальная, фронтальная, коллективная

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, экран, презентация «Арифметический способ отбора корней в тригонометрических уравнениях».

Ход урока:

  1. Организационный момент. (Сообщение темы, целей и задач урока)

  2. Устная работа.

  1. Расположите в порядке убывания числа:

  1. Расставьте в порядке возрастания числа:

  1. Сравните числа:

  2. Вычислите:

(В результате выполнения задания мы повторим определения арккосинуса, арксинуса, арктангенса и арккотангенса)

а) arcsin1; б) arccos; в) arcsin (- 2); г) arctg ;

д) arccos; е) arсctg

  1. Повторение.

  1. Формулы решения простейших тригонометрических уравнений

Вид уравнения

Общая формула серии уравнений

  1. Следует отметить внимание учащихся, что в случае отбора корней применение общей формулы серии решений для синуса и косинуса не является удобным. В этом случае удобнее не объединять серии решений, а представлять их совокупностью.

  2. При повторении формул решения уравнений следует обратить внимание учащихся на то, что эти формулы задают множества чисел, которые образуют арифметические прогрессии с разностью для синуса и косинуса и для тангенса и котангенса.

  3. Решения уравнений () можно записать совокупностью двух серий решений:

Уравнения имеют решения:

  1. Решения уравнений () можно записать совокупностью двух серий решений:

Уравнения имеют решения:

  1. Решения уравнений () можно записать совокупностью двух серий решений:

Уравнения имеют решения:

  1. Решения уравнений () можно записать совокупностью двух серий решений:

Уравнения имеют решения:

  1. Арифметический способ отбора корней

При отборе корней в процессе решения тригонометрических уравнений обычно используют один из следующих способов: арифметический, алгебраический, геометрический, функционально-графический. Рассмотрим арифметический способ отбора корней. Данный способ отбора корней связан с вычислением корней при переборе значений целочисленного параметра или нахождением значений тригонометрических выражений непосредственной подстановкой при проверке корней.

Рассмотрим примеры, в которых используется арифметический способ отбора корней.

  1. Непосредственная подстановка в уравнение и имеющиеся ограничения.

Пример 1. Решите уравнение: .

Решение: . Это уравнение равносильно системе Решим уравнение системы: или корней нет

Проверим для полученных значений х выполнение условия . Для первой серии получаем:

Следовательно, первая серия является «посторонней». Для второй серии получаем:

Следовательно, все числа второй серия решений уравнения системы являются корнями исходного уравнения.

Ответ:

Пример 2. Решить уравнение

Решение: Рассмотрим два множества значений неизвестной х, для которых и соответственно.

1. Пусть , тогда данное уравнение принимает вид:

Разделив обе части уравнения на cos x (так как ясно, что cos x не равен нулю), получим:

Из этой серии решений отберём значения х, для которых

Подставляя значения в это неравенство, находим: при к=2n,

при к=2n,+1.

Следовательно, корнями исходного уравнения являются числа вида

2. Пусть , тогда данное уравнения принимает вид:

Отберём из полученных решений те значения х, для которых

Подставляя значения в это неравенство, находим:

Следовательно, корнями исходного уравнения являются числами вида

Ответ:

  1. Учёт области определения или множества значений функций. Иногда при обобщении уравнений некоторые «посторонние» решения, возникающие в результате замены, могут быть удалены по причине несоответствия их области определения или множеству значений тригонометрических и обратно тригонометрических функций (таблица).

Функция

Область определения

Область значений функции

Пример 1. Решите уравнение

Решение: Данное уравнение равносильна системе:

Если 0, то (из основного тригонометрического тождества) sin x=1, или sin x=-1. Так как sin x не равен нулю, то остаётся отобрать те значения х, при которых sin x=-1. Отсюда

Ответ:

Пример 2. Решить уравнение

Решение: Воспользовавшись формулой синуса двойного угла, получаем:

Так как при всех , то Следовательно, уравнение равносильно системе: отсюда

Ответ:

  1. Подведение итогов урока.

  1. Домашнее задание.

1. Найдите корни уравнения удовлетворяющих неравенству

Решите уравнения:

2.

3.

4.

5.

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: