Методические рекомендации для обучающихся по теме
«Элементарные функции и их графики»
1
Пропорциональные величины. Если переменные y и x прямо
Пр порциональны, то функциональная зависимость между ними выражается уравнением:
y = k x ,
где k - постоянная величина (коэффициент пропорциональности ).
График прямой пропорциональности – прямая линия, проходящая через начало координат и образующая с осью X угол , тангенс которого равен k : tqα = k ( рис. ).
Поэтому,коэффициент пропорциональности называется также угловым коэффициентом. На рис. показаны три графика для k = 1/3, k = 1 и k = 3 .
2
Линейная функция.
Если переменные y и x связаны уравнением 1-ой степени:
A x + B y = C ,
где по крайней мере одно из чисел A или B не равно нулю, то графиком этой функциональной зависимости является прямая линия. Если C = 0, то она проходит через начало координат, в противном случае - нет. Графики линейных функций для различных комбинаций A, B, C показаны на рис.9.
3
Обратная пропорциональность.
Если переменные y и x обратно пропорциональны, то функциональная зависимость между ними выражается уравнением:
y =
где k - постоянная величина.
График обратной пропорциональности – гипербола ( рис.10 ). У этой кривой две ветви.
Основные характеристики и свойства гиперболы:
- область определения функции: x 0, область значений: y 0 ;
- функция монотонная ( убывающая ) при x < 0 и при x > 0, но не
монотонная в целом из-за точки разрыва x = 0 ;
- функция неограниченная, разрывная в точке x = 0, нечётная, непериодическая;
- нулей функция не имеет.
4
Квадратичная функция.
Это функция: y = ax 2 + bx + c, где a, b, c – постоянные
В простейшем случае: b = c = 0 и y = ax 2.
График этой функции квадратная парабола - кривая, проходящая через начало координат ( рис.11 ).
График функции y = ax 2 + bx + c - тоже квадратная парабола того же вида, что и y = ax 2, но её вершина лежит не в начале координат, а в точке с координатами:
Форма и расположение квадратной параболы в системе координат полностью зависит от двух параметров: коэффициента a при x2 и дискриминанта D = b2 – 4ac. Все возможные различные случаи для квадратной параболы показаны на рис.12.
5.
Степенная функция. Это функция: y = axn, где a, n – постоянные.
При n = 1 получаем прямую пропорциональность: y = ax;
при n = 2 - квадратную параболу ; при n = 1 - обратную пропорциональность или гиперболу.
Все эти случаи ( при a = 1 ) показаны на рис.13 ( n 0 ) и рис.14 ( n < 0 ).
Если n – целые, степенные функции имеют смысл и при x < 0, но их графики имеют различный вид в зависимости от того, является ли n чётным числом или нечётным. На рис.15 показаны две такие степенные функции: для n = 2 и n = 3.
При n = 2 функция чётная и её график симметричен относительно оси Y. При n = 3 функция нечётная и её график симметричен относительно начала координат. Функция y = x 3 называется кубической параболой.
На рис.16 представлена функция .
6.
Показательная функция. Функция y = ax, где a - положительное постоянное число, называется показательной функцией.
Аргумент x принимает любые действительные значения; в качестве значений функции рассматриваются только положительные числа.
Графики показательной функции для a = 2 и a = 1/2 представлены на рис.17. Они проходят через точку ( 0, 1 ). При a = 1 мы имеем график прямой линии, параллельной оси Х, т.e. функция превращается в постоянную величину, равную 1.
При a> 1 показательная функция возрастает, a при 0 < a < 1 – убывает.
7.
Логарифмическая функция.
Функция y = log a x, где a – постоянное положительное число, не равное 1, называется логарифмической.
Свойства логарифмической функции:
- область определения функции: x > 0;
- это монотонная функция: она возрастает при a > 1 и убывает при 0 < a < 1;
- функция неограниченная, всюду непрерывная;
- у функции есть один ноль: x = 1.
8.
Тригонометрические функции.
При построении тригонометрических функций мы используе м радианную меру измерения углов. Тогда функция y = sin x представляется графиком ( рис.19 ). Эта кривая называется синусоидой.
График функции y = cos x представлен на рис.20; это также синусоида, полученная в результате перемещения графика y = sin x вдоль оси Х влево на 2
Из этих графиков очевидны характеристики и свойства этих функций:
- область определения: < x + ; область значений: -1 y 1;
- эти функции периодические: их период 2;
- непрерывные, периодические;
- функции имеют бесчисленное множество нулей.
Методические рекомендации подготовила Короткова Н.Н. ,
преподаватель математики