Конспект урока на тему «РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ПАРАМЕТРАМИ»

Задачи с параметрами часто встречаются на вступительных экзаменах по математике и столь же часто оказываются не по силам абитуриентам. Это, вообще говоря, неудивительно, поскольку у большинства учащихся нет должной свободы в общении с параметрами.

В учебниках математике крайне мало задач, содержащих параметры. А эти задачи вызывают повышенный интерес у учителей и учеников, и особенно у поступающих в вузы.

Цель семинара: рассмотреть решения различных уравнений с параметрами, начиная с элементарных, вводимых в 7-м классе, и заканчивая уравнениями, предложенными в ЕГЭ и на вступительных экзаменах в ВУЗы. Так же рассмотреть не только алгебраический метод, но и такие методы, как алгоритмический и графический.

Вводя в практику занятий 7-8 классов систематическое обращение к задачам с параметрами, учитель повышает уровень логического мышления учащихся, а также формирует навыки исследовательской деятельности.

Прежде, чем ввести понятие «параметр», учащимся необходимо напомнить роль букв в алгебре. Обратите внимание ребят на то, что за буквой скрывается число.

Предложите учащимся задания, в которых надо выразить одну переменную через другую. К этим заданиям надо возвращаться постоянно, особенно в 8-м классе, поскольку умение выражать одну переменную через другую очень пригодиться при решении задач по физике, где требуется вначале составить буквенное выражение и только затем подставить числовое выражение.

Повторите на простых примерах, что такое уравнение, что значит решить уравнение. При решении уравнений типа 3х – 3 = 4, 12х = - 2, 4 – 2х = 4 обратите внимание учащихся на то, что мы выразили неизвестное, которое надо найти через числа. Запишем все рассмотренные нами уравнения в общем виде. Покажите, что в уравнение помимо неизвестного могут быть введены и другие буквы, и буквенные выражения. Например, ах = а – 1; ( с + 2 ) х = 2 с; .

При этом, как всегда в алгебре, мы полагаем, что буквы могут принимать любые числовые значения. Например, задавая произвольно значения а для уравнения

ах = а - 1, получим

2х = 2 – 1 при а = 2;

Зх = 3 – 1 при а = 3;

Ох = - 1 при а = 0;

Уже на начальном этапе решения задач с параметрами возможна работа с учащимися на нескольких уровнях.

Сильные учащиеся могут привести аналогичные примеры для рассмотренных выше уравнений с параметрами с и k.

Пример 1. Решить уравнение относительно х:

х + 2 = а + 7.

Решение. х = а + 5.

Переменную, которую надо найти, будем называть неизвестной, а переменную, через которую будем выражать искомую неизвестную, назовем параметром.

Решить уравнение с параметром - - это значит для каждого значения параметра найти значение неизвестной переменной, удовлетворяющее этому уравнению. В нашем примере

при а = 3 х = 8

при а = 0 х = 5

при а = - 4 х = 1.

Заметим, что значения параметра а задаем произвольно, т.е. а может принимать любые значения.

Значение х находим по формуле х = а + 5 , подставляя в неё задаваемые значения параметра а.

Ответ запишем так: при любом значении параметра а х = а + 5.

Поставим задачу, обратную данной.

Пример 1а. При каком значении параметра а х = 2,5 является корнем уравнения

х + 2 = а + 7?

Так как х = 2,5 корень уравнения х + 2 = а + 7, то при подстановке х = 2,5 в уравнение получим верное равенство 2,5 + 2= а + 7, откуда находим а = - 2,5.

Ответ: при а = - 2,5.

На простых примерах, придуманных самими учащимися, покажите, что приемы, используемые для решения уравнений с параметрами, такие же, как и при решении уравнений, содержащих помимо неизвестной только числа.

В рассмотренных выше примерах х и а могли принимать любые значения, сделаем следующий шаг.

Пример 2. Решить уравнение (а - параметр)

ах + 8 = а.

Основа правильного решения задач с параметрами состоит в грамотном разбиении области изменения параметра, к этому надо приучать путем подробного описания хода решения.

Итак, коэффициент при х равен а. Возникают два возможных случая:

коэффициент при х равен нулю и уравнение примет вид 0 х = – 8, полученное уравнение не имеет корней;
коэффициент при х не равен нулю, и мы имеем право разделить обе части уравнения на этот коэффициент:

а0,

ах = а – 8,

Ответ: при а = О нет корней;

при а0,

Замечание. Важно зафиксировать внимание учащихся на случае, когда коэффициент при х равен нулю, и рассматривать этот случай всегда первым, чтобы помочь учащимся избежать наиболее распространенной ошибки, когда этот случай теряют.

Задачи с параметрами для учащихся массовой школы являются непривычными, а для многих из них и сложными: особые, допустимые и недопустимые значения параметра; частое изобилие возможных вариантов и под-вариантов, на которые распадается основной ход решения; необходимость иногда выполнять большой объем работы по «собиранию» и систематизации ответа и многое другое.

Чтобы облегчить процесс обучения всех учеников в классе методам решения этих базовых видов задач с параметрами, наряду с обычными методиками можно применять элементы алгоритмизации.

Алгоритм решения уравнения kb

Условия для поиска

значений параметра a

Характеристика

множества корней

 ( нет корней )

Один корень

Пример 3 ( 15 ). Решите уравнение =.

Решение.

Здесь k(a) = , b(a) = .

1) k(a) не имеет смысла при а = 2,

2) b(a) не имеет смысла при а = – 3 ,

3) решений нет,

Таким образом а = 2 и а = - 3 – недопустимые значения параметра а, поэтому при а  уравнение корней не имеет.

  а = – 2.

Таким образом при а = – 2 .

 Один корень

Таким образом при а  R \

Ответ: 1) если а = 2 или а = – 3, то решений нет;

если а  R \ , то
если а = – 2, то .

Работу с учащимися можно разнообразить, поставив задачу: исследовать количество корней уравнения в зависимости от значения параметра и других дополнительных условий. Интересно будет рассмотреть с учащимися такие задания:

При каком значении параметра р корень уравнения

х + 3 = 2 х – р будет отрицательным числом?

При каком натуральном значении параметра к корень уравнения кх – 6 = 0 является натуральным числом?

Алгоритм решения уравнения

Условия для поиска

значений параметра a

Характеристика

множества корней

 ( нет корней )

Один корень

Два корня

Пример 4 ( 30 ). Решите уравнение (а – 1 )х+ 2х+ 1 = 0.

Решение.

Здесь  (а ) = а – 1; (а) =2; (а) = 1.

1)  (а )- имеет смыл при всех а;

2) (а) – не имеет смысла при

(а) - имеет смыл при всех а;

Таким образом, а - недопустимые значения параметра.

Далее исследуем только допустимые значения параметра а .

4)    .

  

При допустимых значениях параметра а:

Таким образом, при а уравнение решения не имеет.

   а = 1.

 (1 ) =0; (1) =2; (1) = 1.

Таким образом, при а = 1

  

Допустимые значения параметра а , поэтому только а = 3.

 (3 ) =2; (3) =2; (3) = 1.

Таким образом, при а = 3

  

Для допустимых значений а:

 .

Ответ: при а корней нет;

при а = 1,

при а = 3,

при

Хотелось бы отметить, что обязательным условием успешного решения таких задач является овладение умениями, связанными с построениями графиков различных функций.

Рассмотрим некоторые примеры.

Пример 5 ( 7 ч.2 7 класс)

Для каждого значения параметра а найдите

количество корней уравнения – х² = а.

Решение.

у = — х² — графиком является парабола, ветви которой направлены вниз.

у = а — семейство горизонтальных прямых.

Определим, сколько точек пересечения графиков функций будет в зависимости от значений а. Сколько точек пересечения — столько будет и решений исходного уравнения.

Ответ : Если а > 0, то уравнение решений не имеет.

Если а = О, то уравнение имеет одно решение.

Если а < 0, то уравнение имеет два решения.

Данную задачу можно сформулировать иначе, например:

При каких значениях параметра а уравнение не имеет решений?

Пример 6 ( 6, 10 – 11 кл)

Для каждого значения параметра а найдите

количество корней уравнения .

Решение.

При х  1,

При х  1,

Рассмотрим функцию и построим ее график.

y = а .

Ответ: Если а , то уравнение имеет два решения.

Если а , то уравнение имеет одно решение.

Как известно, различают следующие типы уравнений с параметрами: дробно – рациональные, иррациональные, тригонометрические, показательные, логарифмические и степенные.

Рассмотрим решение некоторых типов уравнений на примерах:

Пример 7 ( 31 ).

При каких значениях параметра а корни уравнения

– = принадлежит отрезку?

Решение.

– =

Если а = 3, то х  0 = 12 – решений нет.

Найдем значения а, при которых х = 0, х = а и х = - а .

1. х = 0,

а = 0.

2. х = а,

а - 3 = 4;

а = 7.

3. х = - а,

3 – а = 4;

а = - 1.

Таким образом, при

По условию т. е.

Ответ:

Пример 8 ( 34 ).

Найдите все значения параметра а, при которых уравнение

= х + а имеет единственный корень.

Решение.

Обозначим , тогда

Получим

Исходное уравнение имеет единственный корень тогда и только тогда, когда уравнение имеет единственный неотрицательный корень. Это возможно в трех случаях:

когда единственный корень уравнения неотрицателен,
когда корни имеют разные знаки и
когда один корень равен нулю, а второй отрицателен.Рассмотрим эти случаи.

1. Единственный корень (D = 0):

D = 9 – 4 ( 2 + 3 а ) = 9 – 8 – 12 а.

1 – 12 а = 0,

При этом значении а единственный корень уравнения равен —

(положителен).

2. Корни разных знаков: 2 + За < 0, а < .

Один из корней равен нулю: 2 + За =0

При этом значении а второй корень равен 3 (положителен), значит, в этом случае уравнение имеет два корня.

Ответ: при

Пример 9 ( 41 ).

Найдите все значения параметра а, при которых уравнение

имеет решения, укажите эти решения.

Решение.

Заменим

Обратная замена:

2. Так как и , то при решений нет.

Ответ: при прочих а решений нет.

Пример 10 ( 47 ). Задание группы С ЕГЭ – 2002 г.

При каких значениях параметра а сумма

log (2 и log (2 равна единице ровно при

одном значении х?

Решение.

log (2 + log (2= 1

И это уравнение должно иметь единственное решение.

Найдем область допустимых значений:

Преобразуя уравнение получим:

Пусть тогда

так как то есть квадратное уравнение имеет два корня.

Так как по условию данное уравнение должно иметь единственное значение t и t 0, то корни уравнения будут разных знаков и из двух корней подойти должен только один, то есть

Таким образом, должно выполняться условие

Ответ:

Пример 11 ( 51 ). (задание из вступительных экзаменов в МГУ)

Найдите все значения параметра , при которых уравнение

относительно х имеет ровно три корня.

Решение.

Преобразуем левую часть уравнения:

Пусть тогда

Параболы имеют одну и ту же ось симметрии , причем парабола расположена выше.

Исходное уравнение при имеет ровно три корня тогда и только тогда, когда уравнение имеет единственное корень .

Соответствующее значение параметра можно выразить через дискриминант уравнения:

) = 0,

5) = 0,

= ,

Ответ:

Пример 12 Задание группы С ЕГЭ – 2003 г.

Найдите все значения p, при которых уравнение

не имеет корней.

Решение.

1) ,

У этого уравнения нет корней, только если р не лежит во множестве

значений левой части.

Введем переменную t = sin х, и рассмотрим функцию

Надо найти множество значений Е(у) этой функции при

Найдем производную.

График - парабола. Ветви - вверх. Знак меняется с + на - при

прохождении через и меняется с - на + при прохождении

через 0.

Значит, на отрезке [-1;0] функция у убывает, а на отрезке [0;1] она

возрастает.

Так как функция у непрерывна, то

Е(у) на отрезке [-1;0] есть отрезок [y(0);y(– 1)] = [-7;3],а

Е(у)на отрезке [0;1] есть отрезок [y(0);y(1)] = [-7;11].

Значит, Е(у) при есть отрезок [-7;11] и исходное

уравнение не имеет решений при р, лежащих вне этого отрезка.

Ответ: (–  ; – 7 )  (11; + ).

Литература

Попов ВЛ. Задачи с параметрами в курсе алгебры 9-летней школы: Учебное пособие. - Сыктывкар, РИПКРО МО РК,1997.
Задачи с параметрами. «Математика», № 1 – 5 / 2003г
Кормихин А. А. Об уравнениях с параметрами.- М, Математика в школе, №1/1994г
Амелькин В.В., Рабцевич ВЛ. Задачи с параметрами. -Минск, Асар, 1996.
Горнштейн П.И., Полонский В. Б., Якир М.С. Задачи с параметрами. - К., РИА «ТЕКСТ»; МП «ОКО», 1992.
Кожухов CJK. Об одном классе параметрических задач.М., Математика в школе, № 3/96.
Кожухов С.К. Различные способы решений задач с параметрами. - М., Математика в школе, № 6/98.
Попов ВА. От задачи к схеме: элементы систематизации процесса решения уравнений и неравенств с параметрами в курсе алгебры 9-го класса. - В кн.: Проблемы современного математического образования в педвузах и школах России. Тезисы докладов межрегиональной науч. конф. - Киров, Изд-во Вятскогогоспедуниверситета, 1998.