Назиева А.П. учитель математики
МБОУ Петрово-Дальневской СОШ
Красногорского района Московской области.
Открытый урок алгебры в 9 классе на тему:
«Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии».
Форма урока – традиционный.
Цель урока: вывести формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии и научить ее применять при решении упражнений.
Ход урока.
Организационный момент.
Проверка домашней работы. (Проверка с помощью мультимедийного проектора)
№ 389б
Дано: (xn) – геометрическая прогрессия, x1 = - 810; q =
Найти: x8
Решение: x8 = x1q7; x8 = - 810 ∙( )7 = -
-
Ответ: x8 = -
№ 391
Дано: 2; -6;… - геометрическая прогрессия
Найти: b7 и q
Решение: b7 = b1q6 ; b1 =2; q = = -3;
b7 = 2 ∙ (-3)6 = 2∙ 729 = 1458
Ответ: b7 = 1458
№ 404
Дано: (an) - арифметическая прогрессия
a1 = -45,6; a15 = 2
Найти: S50.
Решение:
a15 = a1+14d 2) S50 =
∙ 50 = (2∙ (-45,6)+49∙3,4)∙25=1885
2 = -45,6 +14d
14d = 47,6
d = 47,6: 14
d =3,4
Ответ: S50 = 1885.
Повторить устно:
Степени чисел 2 и 3;
Свойства степеней с одинаковыми показателями;
Формулу n-го члена геометрической прогрессии.
Объяснение нового материала.
Сообщение ученика из книги Я.И.Перельмана «Живая математика»: «Легенда о шахматной доске» (стр.87-90).
Выводим формулу суммы n – первых членов произвольной геометрической прогрессии.(учитель)
Пусть дана геометрическая прогрессия (bn).
Обозначим сумму n – первых ее членов через Sn.
Sn. = b1+ b2+ b3+…+ bn-2+ bn-1+ bn (1)
Умножим обе части этого равенства на q:
Sn q = b1 q + b2 q + b3 q +…+ bn-2 q + bn-1 q + bn q
Учитывая, что b1 q= b2; b2 q= b3; b3 q= b4; …; bn-2 q= bn-1; bn-1 q= bn, получим:
Sn q = b2+ b3+…+ bn-2+ bn-1+ bn + bn q (2)
Вычтем почленно из равенства (2) равенство (1) и приведем подобные члены:
Sn q - Sn = (b2+ b3+…+ bn-2+ bn-1+ bn + bn q) – (b1+ b2+ b3+…+ bn-2+ bn-1+ bn) = bn q- b1;
Sn q - Sn = bn q- b1;
Sn (q – 1) = bn q- b1;
Отсюда, при q 1:
Sn =
Получили:
Sn = q
1 - формула суммы n первых членов геометрической прогрессии.
Если q=1, то все члены геометрической прогрессии равны первому члену и Sn = nb1.
Мы знаем, что bn= b1 qn-1.
Подставим это в формулу суммы.
Sn = =
=
=
, q
1
Итак, Sn = при q
1 - формула суммы n первых членов геометрической прогрессии.
Пример1.
Дано: геометрическая прогрессия (bn).
b1 = 5; q=
Найти: S10.
Решение: S10 = .
S10 = =
=
= -
+10 = 10 -
= 9
.
Ответ: S10 = 9.
Пример2.
Дано: (bn) - геометрическая прогрессия.
b3 = 12, b5 = 48
Найти:S6
Решение: b5 = b1q4 = b3q2; q2 = =
= 4; q = 2 или q = -2;
Если q = 2, то b1 = =
= 3; S6 =
=
= 3∙(64-1) = 189;
Если q = -2, то b1 = =
= 3; S6 =
=
= -(64-1) = -63.
Ответ: 189; -63.
Физкультминутка. Разминка для глаз.
Решение упражнений.
№408б (один учащийся - у доски, решаем вместе с классом)
Дано: (bn) - геометрическая прогрессия, b1 = 500; q= ;
Найти:S5
S5 =
S5 = =
=
=
=
= 624
.
Ответ: 624 .
№ 410аб (решаем по вариантам, двое учащихся – за крыльями доски, остальные решают самостоятельно, затем вместе проверяем).
Дано: (cn) - геометрическая прогрессия, c1 = -4; q=3;
Найти: S9
Решение: S9 = .
S9 = =
= -2
-39364
Дано: (cn) - геометрическая прогрессия, c1 = 1; q=-2;
Найти: S9
Решение: S9 = .
S9 = =
=
171
Подведение итогов урока.
Повторяем формулы суммы n первых членов геометрической прогрессии.
Д/з п.19, № 392а,408а,409а,419б