Урок по алгебре.
9 класс
Тема: Использование формул арифметической прогрессии при решении прикладных задач.
Цель: обобщить знания по теме «Арифметическая прогрессия»,
Задачи: 1. Сформировать умение решать задачи прикладного характера по данной теме.
2. Развивать логическое мышление и умение анализировать условия (приводить условие к известным обозначениям и формулам).
Ход урока:
Организационный момент.
Актуализация опорных знаний:
Устные вопросы:
Что такое последовательность.
Какие виды последовательности вы знаете?
Какая последовательность называется арифметической прогрессии?
Устные упражнения:
Будет ли последовательность арифметической прогрессией? Почему?
(an): 2; 9; 16; 23…
(bn): ; ; …
(cn): а ; а; а..
Пусть (аn) : 1 ; 3 ; 5…- арифметическая прогрессия.
Найти : а1, а4 ; а7; а11.
Найти Sn , если а1=2 ; а5=6; n=5 ,
а1=0 ; d=6 ; n=4?
a1=-2; а3=6 ; n=3.
Математический диктант (обобщение знаний и умений)
Запишите формулу n-члена арифметической прогрессии.
Запишите формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии.
Сколько членов вмещает конечная арифметическая прогрессия: 3, 6, 9,…273.
Запишите формулу n-го члена арифметической прогрессии: 3, 6, 9,…273.
Найти сумму чисел 3+6+9+….+273, если все слагаемые являются членами арифметической прогрессии.
Запишите формулу для нахождения суммы n первых членов арифметической прогрессии: 3, 6, 9,…273.
Формирование умений решения задач прикладного смысла.
Обобщение темы по схеме.
Решение задач.
Вводная беседа.
Прикладные задачи - это задачи физического, геометрического, химического смысла, которые решаются с помощью алгебраических формул.
Цель нашего урока: рассмотреть прикладные задачи, которые можно решить, используя определение, формулы, свойства арифметической прогрессии.
Мы рассмотрим задачи геометрического и физического характера.
Задача №1.
Свободно падающее тело проходит за первую секунду 4,9м, а за каждую последующую на 9,8м больше, чем за предыдущую. Какое расстояние оно пройдет за 21-ую секунду, за 21 секунду.
Решение:
Запишем расстояние, которое пройдет тело за несколько секунд:
(an): 4,9м; 14,7м; 24,5м…
Мы получили арифметическую прогрессию (an), в которой
a1=4,9м, d=9,8м
Чтоб найти, какое расстояние пройдет тело за 21-ую секунду, надо вычислить a21/
a21=a1+20d=4,9+20•9,8=200,8 (м)
Чтоб найти какое расстояние пройдет тело за 21 секунду, надо найти сумму всех расстояний за это время, т.е. S21
S21===2159,85 (м).
Ответ: 200,8м, 2159,85м.
Таким образом, чтоб решить прикладную задачу надо:
Ввести арифметическую прогрессию.
Переформулировать условие на определение, формулы арифметической прогрессии.
Задача №2.
В многоугольнике один угол равен 1000, каждый последующий больше предыдущего на 100. Какой это многоугольник?
Решение:
Составим арифметическую прогрессию градусных мер углов данного многоугольника:
(αn): α1=1000, α2=1100, α3=1200…
Данная последовательность – арифметическая прогрессия, в которой
α1=1000, d=100.
Пусть многоугольник имеет n сторон, тогда прогрессия имеет n членов. Сумму внутренних углов многоугольника можно найти по формуле 180 (n-2) или по формуле суммы арифметической прогрессии Sn=.
Подставим данные, получим уравнение:
=180(n-2)
(100+5n-5)n=180(n-2)
95n+5n2-180n+360=0
5n2-85n+360=0
n2-17n+72=0
По теореме Виета n1=8, n2=9
Ответ: 8 или 9.
Задача №3.
Два тела движутся на встречу друг другу. Первое движется со скоростью 10 м/с, второе за первую секунду проходит 3м, за каждую последующую на 5м больше. Если первоначальное расстояние между ними 153м, найдите через сколько секунд тела встретятся.
Решение:
10м/с_______________________________________3м/с, 8м/с, 11м/с….
153м
Расстояние за каждую секунду второго тела составляет арифметическую прогрессию.
Пусть встреча произойдет через n секунд, тогда первое тело пройдет 10n м, а расстояние второго – это сумма арифметической прогрессии, в которой а1=3м, d=5м.
Вычислим Sn=, тогда Sn=0,5n+2,5n2 (м)
По условию расстояние равно 153м.
Составляем уравнение:
0,5n+2,5n2+10n=153
n2+4,2n-61,2=0
D=b2-4ac=17,64+244,8=262,44
=16,2
n1,2=, n1=6, n2=10,2.
Т.к. n- количество членов арифметической прогрессии, то n€N, поэтому n=6.
Ответ: 6с.
Итог урока.
Домашнее задание: придумать условие и решить две задачи прикладного характера.