Конспект урока по Алгебре «Логарифмы. Свойства логарифмов» | Лучшие рефераты, дипломные, курсовые работы

Филиал боу СПО «ЧЕБОКСАРСКИЙ МЕДИЦИНСКИЙ КОЛЛЕДЖ» минздравсоцразвития чувашии Г. КАНАШ чувашской республики

«Утверждаю»

зав учебной части

Филиал

БОУ СПО «ЧМК»

г. Канаш

_______Фадеева Т.Э

«____» ________2014 г.

Методическая разработка

Модуля занятия по дисциплине ОДП.06 Математика

«Логарифмическая функция»

Для специальности:

060501 «Сестринское дело»

Разработала преподаватель

математики и физики

Cеменова А.М

Рассмотрена

на заседании ЦМК ОГСЭ

дисциплин

протокол №____

«____» _______2014 г

Председатель ЦМК

_________ Романова Л.В

Канаш 2014 г.

Пояснительная записка

Методическая разработка модуля занятия по дисциплине «Математика» на тему «Логарифмическая функция» из раздела «Показательная и логарифмическая функции» составлена на основе Рабочей программы по математике и календарно-тематического плана. Темы занятия взаимосвязаны содержанием, основными положениями.

Программный материал данного занятия базируется на знаниях математики. Рассматриваются вопросы: - Логарифм. Свойства логарифмов.

- Десятичные и натуральные логарифмы.

- Логарифмическая функция свойства и график.

- Логарифмические уравнения и неравенства и методы их решения.

Методическая разработка модуля занятия составлена для проведения теоретических занятий по теме: «Логарифм. Свойства логарифмов» - 2 часа, «Десятичные и натуральные логарифмы» - 2 часа, «Логарифмическая функция, свойства и график» -2 часа, для проведения практических занятий: «Свойства логарифмов» -2 часа, «Логарифмические уравнения» -2 часа, «Логарифмические неравенства» -2 часа по математике для студентов 1 года обучения.

Аннотация

Методическая разработка модуля занятия по теме «Логарифмическая функция» включает программный теоретический и практический материал раздела «Показательной и логарифмической функции», материал для изучения свойств логарифмов, решения уравнений и неравенств студентами и оценка их знаний, вопросы и упражнения для закрепления теоретического занятия.

Методическая разработка модуля занятия по теме «Логарифмическая функция» рекомендуется к использованию преподавателям математики и студентам 1 года обучения.

Филиал БОУ СПО «Чебоксарский медицинский колледж» в г. Канаш

План теоретического занятия.

Специальность: 060501 Дисциплина ОДБ. 06 Математика

Тема: «Логарифмы. Свойства логарифмов»

Тип занятия: Урок усвоения навыков и умений, комбинированное занятие – с элементами беседы и выполнением упражнений.

Цели занятия:

Образовательные - формирование знаний в усвоении понятия логарифма, свойства логарифмов; применять их при решении заданий.

Развивающие - развитие мыслительных операций посредством конкретизации, развитие зрительной памяти, потребности к самообразованию, способствовать развитию познавательных процессов.

Воспитательные - воспитание познавательной активности, чувства ответственности, уважения друг к другу, взаимопонимания, уверенности в себе; воспитание культуры общения. Воспитывать сознательное отношение к учебе и заинтересованность

Средства обучения:

- Методическая разработка по теме.

- Электронная презентация по теме.

- Персональный компьютер, медиапроектор.

- Электронное приложение к учебнику Ш.А Алимов. Издательство «Просвещение».

Внутрипредметные связи: показательная функция и логарифмическая функция.

Межпредметные связи: алгебра и матанализ.

Студент должен знать:

- Обозначение определение логарифма числа, основное логарифмическое тождество.

- три основных свойства логарифма.

Студент должен уметь:

- выполнять преобразования выражений, содержащих логарифмы.

- находить логарифм числа, применять свойства логарифмов при логарифмировании.

- строить график логарифмической функции.

План занятия

1.Организационный момент – 2 мин.

2.Вводная мотивация: постановка целей, изложение плана урока – 3 мин.

3.Проверка домашнего задания – 10 мин.

4.Изучение нового материала - 45 мин.

Основной материал, с использованием электронной презентацией по теме: «Логарифм. Свойства логарифмов»

5.Закрепление материала: Решение задач № 266-271 на стр 90-92. – 25 мин.

6.Подведение итогов – 3 мин.

7. Домашнее задание – 2 мин. § 16 Упражнение № 266-271 четные.

Ход урока:

1. Организационный момент .

2. Вводная мотивация: постановка целей, изложение плана урока.

3. Проверка домашнего задания: Письменно на доске решить № 260-264 (четные).

4. Изучение нового материала: разборка задач 1-5.

Опр: Логарифмом положительного числа b по основанию a, где a > 0, a ≠ 1, называется показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить b.

Определение логарифма можно кратко записать так: логарифмы

Это равенство справедливо при 0, a ≠ 1. Его обычно называют логарифмическим тождеством. Действие нахождения логарифма числа называют логарифмированием.

Свойства логарифмов:

логарифмы

Логарифм произведения:

логарифмы

Логарифм частного от деления:

логарифмы

Замена основания логарифма:

логарифмы

Логарифм степени:

логарифмы

Логарифм корня:

логарифмы

Логарифм со степенным основанием:

логарифмы

5. Закрепление изученного материала: Решаем № 266—271 нечетные.

Вычислите:

1)log ₆18 + log ₆ 2 = log ₆ 36 = 2

2)log₁₂ 48 – log ₁₂ 4 = log ₁₂ ₌log ₁₂12 = 1

3)log ₃ 3 = log ₃3 =

№266

log₂ 16 = 4

log ₂ 2 =1

№ 267

log₃27 = 3

3) log ₃3 = 1

№ 268

log =5

3) log _0.5 0.125 = 3.

№ 269

log₅ 625 = 4

3)log ₄ = - 2.

№ 270

( )⁶ = 2⁶ = 64

3)(0,3^log_0,3⁶)² = 6² = 36.

6.Подведение итогов.

7.Домашнее задание № 266-271 (четные)

План теоретического занятия.

Специальность: 060501 Дисциплина ОДБ. 06 Математика

Тема : «Логарифмическая функция. Свойства и график»

Цели занятия:

Образовательные - формирование знаний в усвоении понятия логарифмической функции, свойства этой функции и график.

Средства обучения:

- Методическая разработка по теме.

- Электронная презентация по теме.

- Персональный компьютер, медиапроектор.

Внутрипредметные связи: показательная функция и логарифмическая функция.

Межпредметные связи: алгебра и матанализ.

Студент должен знать:

- определение логарифма.

- обозначения и основные свойства логарифмической функции.

Студент должен уметь:

- находить логарифм числа.

- строить график логарифмической функции с данным основанием.

План занятия

1.Организационный момент – 2 мин.

2.Вводная мотивация: постановка целей, изложение плана урока – 3 мин.

3.Проверка домашнего задания – 10 мин.

4.Изучение нового материала - 45 мин.

Основной материал, с использованием электронной презентации по теме: «Логарифмическая функция. Свойства и график»

5.Закрепление материала: Решение задач № 318-322 на стр. – 25 мин.

6.Подведение итогов – 3 мин.

7. Домашнее задание – 2 мин. § 18 Упражнение № 318-322 четные.

Ход урока:

1. Организационный момент .

2. Вводная мотивация: постановка целей, изложение плана урока.

3. Проверка домашнего задания – 10 мин. Письменно на доске проверка § 18 Упражнение № 318-322 четные.

4. Изучение нового материала - 45 мин.

Опр: Функция , называется логарифмической функцией.

Логарифмическая функция является обратной по отношению к показательной функции . Поэтому их графики симметричны относительно биссектрисы I и III координатных углов (рис. 8).

Рис. 8.

Приведем основные свойства логарифмической функции:

1) Область определения: .

2) Область значений функции: .

3) Логарифм единицы равен нулю, логарифм основания равен единице: , .

4) Функция , возрастает в промежутке (рис. 8 а). При этом, логарифмы чисел, больших единицы, положительны, а - меньших единицы, отрицательны.

5) Функция , убывают в промежутке (рис. 8 б). При этом, логарифмы чисел, меньших единицы, положительны, а - больших

5. Закрепление нового материала: Решение упражнений № 318-322 нечетные.

№ 318

1) log ₃_>log ₃ _, т.к функция у = log ₃ x возрастает.

3) log e log π, т.к функция у = logх убывает.

№ 319

т.к 3> 1 и 4,5 > 1, то log ₃4,5 > 0.

3)т. К 5 > 1 b 25,3 > 1, то log ₅25, 3 >0.

№ 320

1)log ₃ x , т.к 3 > 1, - 0,3 < 0, то 0< x <1.

3)lg x = 0.2 , т.к 10> 1, 0,2 > 0, то х >1.

№ 321

1)убывает

3)возрастает.

№ 322 у = log ₂х

6. Подведение итогов.

7. Домашнее задание: № 318-322 четные.

План теоретического занятия.

Специальность: 060501 Дисциплина ОДБ. 06 Математика

Тема : «Десятичные и натуральные логарифмы »

Цели занятия:

Образовательные - формирование знаний в усвоении понятия десятичного и натурального логарифмов.

Средства обучения:

- Методическая разработка по теме.

- Электронная презентация по теме.

- Персональный компьютер, медиапроектор.

Внутрипредметные связи: десятичный и натуральный логарифм.

Межпредметные связи: алгебра и матанализ.

Студент должен знать:

- определение десятичного и натурального логарифма, формулу перехода от логарифма по одному основанию к логарифму по другому основанию.

- свойства логарифмической функции.

Студент должен уметь:

- находить логарифм числа, применяя формулу перехода от логарифма по одному основания к логарифму другого основания.

- пользоваться таблицей Брадиса и микрокалькулятором при вычислении логарифмов.

План занятия

1.Организационный момент – 2 мин.

2.Вводная мотивация: постановка целей, изложение плана урока – 3 мин.

3.Проверка домашнего задания – 10 мин.

4.Изучение нового материала - 45 мин.

Основной материал, с использованием электронной презентацией по теме: «Десятичные и натуральные логарифмы»

5.Закрепление материала: Решение задач № 301-307 на стр. – 25 мин.

6.Подведение итогов – 3 мин.

7. Домашнее задание – 2 мин. § 17Упражнение № 301-307 четные.

Ход урока:

1. Организационный момент .

2. Вводная мотивация: постановка целей, изложение плана урока.

3. Проверка домашнего задания – 15 мин. Тесты.

Вариант № 1

1. Найдите область определения функции у =

( - ; +); 2) (2; +); 3) ( - ; 2)(2; +); 4) [2; +).

2. Найдите значение выражения

21; 2) 101; 3) 11; 4) 15,2.

3. Вычислить:

81^log₃⁴

а) 16; б) 64; в)256; г)1

4. Сравнить числа:

log_e6 log_e

а) log > log e ; в) log = log e ;

б) log < log e ; г) нельзя определить

Вариант № 2

1. Найдите область определения функции у =

( - ; +); 2) (4; +); 3) ( - ; 4)(4; +); 4) [4; +).

2. Найдите значение выражения

1)50; 2) 7; 3) 1; 4) 1,2.

3. Вычислите: 27^log₃⁵

а) 5; б) 27; в)125; г)25.

4. Сравните числа: log5 log

а) log5 > log ; в) log5 = log ;

б) log5 < log; г) невозможно определить.

4. Изучение нового материала - 45 мин.

Опр: Десятичным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию 10 ипишут lg b

Опр: Натуральным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию e, где e - иррациональное число, приближенно равное 2,7. При этом пишут ln b.

Переход к новому основанию логарифма

Логарифмических функций бесконечно много: и т.д. Возникает вопрос, как они связаны между собой? Есть ли, например, какая-то связь между функциями у=log₂ х и y=log₃ x? На рис. 231 изображены графики функций у=log₂ х и у=log₃ х. Не кажется ли вам, что график первой функции получается из графика второй функции растяжением от оси х с некоторым коэффициентом к >1. Если наше геометрическое наблюдение верно, то должно выполняться равенство:

График

Так ли это? На все поставленные вопросы мы ответим в этом параграфе. Теоретической основой для ответа является следующая теорема.

Теорема

Теперь нетрудно ответить на поставленный выше вопрос: как связаны между собой различные логарифмические функции? Рассмотрим две логарифмические функции у =log₂ х и у =log₃ х, графики которых изображены на рис. 231. Имеем:

Задание Таким образом, наша догадка подтвердилась: действительно, справедливо соотношение

Задание ;

подтвердилась и наша догадка о том, что в данном случае к > 1, поскольку log₂ 3 > 1.

Аналогичные формулы связывают и другие логарифмические функции. Например, справедливы соотношения:

Задание

Рассмотрим два важных частных случая формулы перехода к новому основанию логарифма, два следствия из доказанной теоремы.

Следствие 1. Если а и b положительные и отличные от 1 числа, то справедливо равенство:

Задание Доказательство. Положив в формуле (1) с =Ь, получим:

Задание Следствие 2. Если а и b — положительные числа, причем , то для любого числа справедливо равенство:

Задание Доказательство. Перейдем в выражении к логарифмам по основанию а:

5. Закрепление нового материала:Пример 1. Дано:

Задание

Решение.

Задание

Пример 2. Решить уравнение:

Задание Решение. Перейдем во всех логарифмах к одному основанию 4. Для этого дважды воспользуемся формулой, доказанной в следствии 2:

Задание Теперь заданное уравнение можно переписать в более простой форме:

Задание Ответ: х = 3.

6. Подведение итогов.

7. Домашнее задание № 318 – 324.

План теоретического занятия.

Специальность: 060501 Дисциплина ОДБ. 06 Математика

Тема: «Логарифмические уравнения »

Цели занятия:

Образовательные – формирование понятий простейших логарифмических уравнений.

Средства обучения:

- Методическая разработка по теме.

- Электронная презентация по теме.

- Персональный компьютер, медиапроектор.

Внутрипредметные связи: десятичный и натуральный логарифм.

Межпредметные связи: алгебра и матанализ.

Студент должен знать:

- знать вид простейших логарифмических уравнений, основные приемы решений логарифмических уравнений.

- свойства логарифмической функции.

Студент должен уметь:

- решать простейшие логарифмические уравнения и применять основные приемы при решении уравнений.

План занятия

1.Организационный момент – 2 мин.

2.Вводная мотивация: постановка целей, изложение плана урока – 3 мин.

3.Проверка домашнего задания – 10 мин.

4.Изучение нового материала - 45 мин.

Основной материал, с использованием электронной презентацией по теме: «Логарифмические уравнения»

5.Закрепление материала: Решение задач № 337-340 на стр. – 25 мин.

6.Подведение итогов – 3 мин.

7. Домашнее задание – 2 мин. § 18 Упражнение № 337- 340 четные.

Ход урока

1.Организационный момент – 2 мин.

2.Вводная мотивация: постановка целей, изложение плана урока – 3 мин.

3.Проверка домашнего задания – 10 мин.

4.Изучение нового материала - 45 мин.

Основной материал, с использованием электронной презентацией по теме: «Логарифм. Свойства логарифмов»

Логарифмические уравнения

Логарифмическими уравнениями называют уравнения вида

Задание где а — положительное число, отличное от 1, и уравнения, сводящиеся к этому виду.Опираясь на теорему 4 из § 18, согласно которой равенство

Задание

справедливо тогда и только тогда, когда 1=8, мы можем сформулировать следующее утверждение.

Теорема

На практике эту теорему применяют так: переходят от уравнения (1) к уравнению f(х) = g(х) (такой переход называют потенцированием), решают уравнение f(х)= g(х), а затем проверяют его корни по условиям f(х) >0, g(х) >0, определяющим область допустимых значений переменной (ОДЗ). Те корни уравнения f(х) = g(х), которые удовлетворяют этим условиям, являются корнями уравнения (1). Те корни уравнения f(х) =g(х), которые не удовлетворяют хотя бы одному из этих условий, объявляются посторонними корнями для уравнения (1).

Пример 1. Решить уравнение:

Задание

Решение.1) Потенцируя (т.е. освободившись от знаков логарифмов ), получаем:

Задание

2) Проверим найденные корни по условиям:

Задание

Значение x = 4 не удовлетворяет этой системе неравенств (достаточно заметить, что x = 4 не удовлетворяет второму неравенству системы), т.е. x = 4 — посторонний корень для заданного уравнения. Значение x =-3 удовлетворяет обоим неравенствам системы, а потому х = —3 — корень заданного уравнения.

Ответ: х = -3.

Пример 2. Решить уравнение:

Задание

Решение. 1) Сначала надо преобразовать уравнение к виду (1). Для этого воспользуемся правилом: «сумма логарифмов равна логарифму произведения». Оно позволяет заменить выражение log₂(х + 4)+ log₂(2x + 3) выражением log²(х + 4)(2x: + 3). Тогда заданное уравнение можно переписать в виде:

Задание

2) Потенцируя, получаем:

Задание

3) Проверим найденные корни по условиям:

Задание

(обратите внимание: условия для проверки всегда определяют по заданному уравнению). Значение x = -1 удовлетворяет этой системе неравенств, а значение х = -5,5 не удовлетворяет (это посторонний корень).Ответ: х = -1.

Замечание. Иногда удобнее использовать другой порядок ходов: сначала решить систему неравенств — в примере 2 решением системы неравенств будет интервал (-1,5, 0,5); это — область допустимых значений переменной (ОДЗ) или область определения уравнения. Затем найти корни x₁ = -1, х₂ = -5,5. И, наконец, сделать проверку найденных значений х, но уже не с помощью системы неравенств, а по найденной заранее области допустимых значений. В примере 2 значение x = -1 принадлежит интервалу (-1,5, 0,5), а значение x = -5,5 этому интервалу не принадлежит. Следовательно, х = -5,5 — посторонний корень, т.е. x = -1 — единственный корень заданного логарифмического уравнения.

Пример 3. Решить уравнение:

Задание

Решение.

Так как

Задание

то заданное уравнение можно переписать в виде

Задание Есть смысл ввести новую переменную y = lg х; тогда уравнение примет вид

Задание

Это значение удовлетворяет условию (посмотрите: у записанного выше рационального относительно у уравнения переменная содержится в знаменателе, а потому следует проверить, не обращается ли знаменатель в 0 при найденном значении переменной у).

Итак, у = 2. Но у = lg х, значит, нам осталось решить простейшее логарифмическое уравнение lg х = 2, откуда находим х = 100.

Ответ: х = 100.

Подведем некоторые итоги. Можно выделить три основных метода решения логарифмических уравнений.1) Функционально-графический метод. Он основан на использовании графических иллюстраций или каких-либо свойств функций. Мы применяли этот метод в § 49.

2)Методпотенцирования. Он основан на теореме, полученной в начале параграфа. Мы применили этот метод в примерах 1 и 2.

3) Метод введения новой переменной. Мы применили этот метод в примере 3.

Завершая параграф, рассмотрим пример, в котором для решения уравнения используется еще один метод — метод логарифмирования, и пример решения системы логарифмических уравнений.

Пример 4. Решить уравнение

Задание Решение. Возьмем от обеих частей уравнения логарифмы по основанию 5; зто — равносильное преобразование уравнения, поскольку обе его части принимают только положительные значения. Получим:

Задание позволит переписать заданное уравнение в виде: (l - log₅x) ■ log₅ х = -2. Замечаем, что «проявилась» новая переменная у = log₅ х, относительно которой уравнение принимает весьма простой вид: (1 - у)у = -2. Далее получаем:

Задание Но у = log₅ х, значит, нам осталось решить два уравнения:

log₅ x=2, log₅ x=-1. Из первого уравнения находим х = 5', т.е. х = 25; из второго уравнения находим x =5 , т.е.

Задание

Пример 5. Решить систему уравнений

Задание

Решение. 1) Преобразуем первое уравнение системы к более простому виду:

Задание 2) Преобразуем второе уравнение системы к более простому виду:

Задание 3) Решим полученную систему уравнений:

Задание Подставив 2у вместо х во второе уравнение, получим

Задание Соответственно из соотношения х = 2у находим х₂ = 4, х₂ = -2. 4) Осталось сделать проверку найденных пар (4; 2) и (-2; -1) с помощью условий, которые мы определяем, анализируя исходную систему уравнений:

Задание Пара (4; 2) удовлетворяет этим условиям, а пара (-2; -1) не удовлетворяет (например, она «не проходит» уже через первое условие 2х -у> 0).

Ответ: (4; 2).

5.Закрепление материала: Решение задач № 337-340 на стр. – 25 мин.

№ 337

1)log ₂ (x -5 ) + log ₂(x + 2) = 3

log₂(x-5)(x +2) = log₂8

(x-5)(x +2)=8

x-5>0

x+2 > 0

x²- 3x -18=0

x₁ = 6 x₂ = -3.

Учитывая область определения логарифмической функции х>5 и x > -2 Ответ: х = 6.

6.Подведение итогов – 3 мин.

7. Домашнее задание – 2 мин. § 18 Упражнение № 337- 340 четные.

План теоретического занятия.

Специальность: 060501 Дисциплина ОДБ. 06 Математика

Тема : «Логарифмические неравенства»

Цели занятия:

Образовательные – формирование понятий простейших логарифмических неравенств.

Средства обучения:

- Методическая разработка по теме.

- Электронная презентация по теме.

- Персональный компьютер, медиапроектор.

Внутрипредметные связи: логарифмические неравенства и уравнения.

Межпредметные связи: алгебра и матанализ.

Студент должен знать:

- знать вид простейших логарифмических неравенств, основные приемы решений логарифмических неравенств.

- свойства логарифмической функции.

Студент должен уметь:

- решать простейшие логарифмические неравенства и применять основные приемы при решении неравенств.

План занятия

1.Организационный момент – 2 мин.

2.Вводная мотивация: постановка целей, изложение плана урока – 3 мин.

3.Проверка домашнего задания – 10 мин.

4.Изучение нового материала - 45 мин.

Основной материал, с использованием электронной презентацией по теме: «Логарифмические неравенства»

5.Закрепление материала: Решение задач № 354-357 на стр. – 25 мин.

6.Подведение итогов – 3 мин.

7. Домашнее задание – 2 мин. § 20 Упражнение № 354- 357 четные.

Ход урока

1.Организационный момент.

2.Вводная мотивация: постановка целей, изложение плана урока.

3.Проверка домашнего задания – Письменно на доске № 337-340

4.Изучение нового материала.

Основной материал, с использованием электронной презентацией по теме: «Логарифмические неравенства».

Теоретическая часть:

Алгоритм решения логарифмического неравенства.

1.Найти область определения неравенства (подлогарифмическое выражения больше нуля).

2.Определить, возрастающей или убывающей является логарифмическая функция. ( если основание а> 1, то функция возрастает. Если 0< a < 1, то функция убывает)

3.Переходим к более простому неравенству (подлогарифмических выражений); знак неравенства сохраняется, если функция возрастает, знак меняется, если функция убывает.

4.Решаем полученное неравенство, учитывая область определения исходного неравенства.

Пример:

log₃(x – 5) < log x²

1)Область определения неравенства х – 5> 0 и х ² > 0. Значит,

x> 5.

2)Функция у = log₃х возрастает, т.к 3>1.

3)x² –x +5>0. Неравенство верно при любом действительном х.

4)Решение неравенства: х>5.

Практическая часть: № 354 – 357 (нечетные).

Закрепление нового материала:

Вариант 1