Муниципальное общеобразовательное учреждение
Малоибряйкинская основная общеобразовательная школа
Похвистневского района Самарской области
Методическая разработка урока
по алгебре и началам анализа
«Общие методы решения тригонометрических уравнений»
для учащихся 10-11 классов
Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний
Автор разработки: учитель математики Бурякова Вера Николаевна
Самарская область
2011 год
Цели урока:
Образовательные:
- актуализировать знания учащихся по теме «Решение тригонометрических уравнений» и обеспечить их применение при решении задач вариантов ЕГЭ;
- рассмотреть общие подходы решения тригонометрических уравнений;
- закрепить навыки решения тригонометрических уравнений;
- познакомить с новыми способами решения тригонометрических уравнений.
Развивающие:
- содействовать развитию у учащихся мыслительных операций: умение анализировать, синтезировать, сравнивать;
- формировать и развивать общеучебные умения и навыки: обобщение, поиск способов решения;
- отрабатывать навыки самооценивания знаний и умений, выбора задания, соответствующего их уровню развития.
Воспитательные:
- вырабатывать внимание, самостоятельность при работе на уроке;
- способствовать формированию активности и настойчивости, максимальной работоспособности.
Продолжительность урока: 2 часа
Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний
Оборудование: компьютер и мультимедийный проектор.
Структура урока:
1. Вводно-мотивационная часть.
1.1. Организационный момент.
1.2. Устная работа.
2. Основная часть урока.
2.1. Повторение (чередование фронтальной и индивидуальной форм работы с последующей проверкой задания).
2.2. Знакомство с новыми способами решения тригонометрических уравнений.
3. Рефлексивно-оценочная часть урока.
3.1. Обсуждение результатов индивидуальной работы.
3.2. Информация о домашнем задании.
3.3. Подведение итогов урока.
Ход урока.
1. Вводно-мотивационная часть
1.1.Организационный момент.
Задачи этапа: обеспечить внешнюю обстановку для работы на уроке, психологически настроить учащихся к общению.
Содержание этапа:
1. Приветствие.
Учитель: Здравствуйте, садитесь! Сегодня мы проводим урок обобщения по теме «Общие методы решения тригонометрических уравнений». Задания по решению тригонометрических уравнений встречаются в вариантах ЕГЭ.
2. Проверка готовности учащихся к уроку.
Учитель: Ребята, кто сегодня отсутствует? Все готовы к уроку? Итак, внимание. Начинаем!
3. Озвучивание целей урока и плана его проведения.
Учитель: Тема нашего урока – решение тригонометрических уравнений. Я думаю, вам будет интересно на уроке.
Цель урока сегодня - рассмотреть общие подходы решения тригонометрических уравнений; закрепить навыки и проверить умение решать тригонометрические уравнения, кроме того, познакомить с новыми способами решения некоторых известных тригонометрических уравнений.
В начале урока мы вспомним решение линейных и квадратных уравнений, основные формулы тригонометрии.
Далее работа будет чередоваться: мы повторим числовые значения тригонометрических функций, обратных тригонометрических функций, вспомним формулы решения простейших тригонометрических уравнений. Решим тригонометрические уравнения по известным алгоритмам, однородные тригонометрические уравнения, уравнения вида
A sinx + В cosx = С. После каждого блока заданий проводим разноуровневые проверочные работы, задания которых вы будете выбирать самостоятельно, учитывая свои знания, умения и навыки. Проверяем решения, и вы выставляете себе оценку за каждый вид заданий.
После чего познакомимся с решением симметричных тригонометрических уравнений, решением тригонометрических уравнений путем разложения на множители и методом оценки левой и правой частей. Обсудим полученные результаты работы на уроке, оценим индивидуальную работу. Затем получите инструктаж по выполнению домашнего задания и подведем итоги урока. Согласны с таким планом работы? Хорошо! Итак, приступаем.
1.2. Устная работа.
Задачи этапа: актуализировать знания и умения учащихся, которые будут использованы на уроке.
Содержание этапа:
Учитель: Первое задание для устной работы - решите уравнения:
На экране проецируется задание, затем появляются ответы
А) 3 х – 5 = 7
Б) х2 – 8 х + 15 = 0
В) 4 х2 – 4 х + 1= 0
Г) х4 – 5 х2 + 4 = 0
Д) 3 х2 – 12 = 0
Ответы
4
3; 5
0,5
-2; -1; 1; 2
-2; 2
Учитель: Второе задание – используя основные формулы тригонометрии, упростите выражение:
На экране проецируется задание, затем появляются ответы
А) (sin a – 1) (sin a + 1)
Б) sin2 a – 1 + cos2 a
В) sin2 a + tg a ctg a + cos2 a
Г) √1- 2 tgх + tg2 х
Ответы
- cos2 a
0
2
|1- tg х|
2. Основная часть урока.
2.1. Повторение (чередование фронтальной и индивидуальной форм работы с последующей проверкой задания).
Задачи этапа: обеспечивать развитие у учащихся общеучебных умений и навыков: умение анализировать, синтезировать, сравнивать, обобщать, поиск способов решения, отрабатывать навыки самооценивания знаний и умений, выбора разноуровневого задания.
Содержание этапа:
Учитель: Ребята, давайте вспомним свойства четности и нечетности тригонометрических функций, значения тригонометрических функций для различных углов поворота, применение формул приведения
Учащиеся формулируют свойства четности и нечетности, правило применения формул приведения, называют значения тригонометрических функций для различных углов поворота.
Учитель: А теперь выполним самостоятельную работу. Работа предлагается в 2 вариантах, после чего проверим правильность ее выполнения.
Найдите значения тригонометрических выражений:
На экране проецируется задание.
1 вариант
2 вариант
sin (-π/3)
cos 2π/3
tg π/6
ctg π/4
cos (-π/6)
sin 3π/4
Ответы
- √3/2
- 1/2
√3/3
1
√3/2
√2/2
cos (-π/4 )
sin π/3
ctg π/6
tg π/4
sin (-π/6)
cos 5π/6
Ответы
√2/2
√3/2
√3
1
- 1/2
- √3/2
Учитель: Ребята, проверьте ответы и оцените свои работы согласно шкале:
количество верных ответов
оценка
6
5
5
4
4
3
< 4
2
На экране проецируются ответы
Учитель: А теперь вспомним определение арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.
Учащиеся дают определения обратных тригонометрических функций, обращая внимание на область определения и множество значений.
Учитель: Выполняем следующую работу также самостоятельно. Вычислите:
На экране проецируется задание.
1 вариант
2 вариант
arcsin √2/2
arccos 1
arcsin (- 1/2 )
arccos (- √3/2)
arctg √3
Ответы
π/4
0
- π/6
5π/6
π/3
arccos √2/2
arcsin 1
arccos (- 1/2)
arcsin (- √3/2)
arctg √3/3
Ответы
π/4
π/2
2π/3
- π/3
π/6
Учитель: Ребята, проверьте ответы и оцените свои работы согласно шкале:
количество верных ответов
оценка
5
5
4
4
3
3
< 3
2
На экране проецируются ответы
Учитель: Ребята, а теперь перейдем к решению простейших тригонометрических уравнений. Напомните, пожалуйста, формулы решения уравнений вида sinx =а, cosx = а, tg х=а.
Учащиеся называют формулы решения уравнений
sinx =а
х = (-1)k arcsin а + π k, k 
Z
cosx = а
х = ± arccos а + 2 π k, k Z
tg х = а
х = arctg а + π k, k Z.
Учитель: Рассмотрим основные методы решения тригонометрических уравнений.
А) Решение тригонометрических уравнений по известным алгоритмам.
а) тригонометрические уравнения, приводимые к линейным или квадратным:
A sin2 х + В sin х + С =0 или
A sin2 х + В cos х + С =0
Решим уравнение:
sin2 х + 5 sin х - 6 =0.
Учащиеся решают уравнение, вводят замену sin х = z, решая квадратное уравнение
z2 + 5 z - 6 = 0, находят z1 = 1; z2 = -6
Решением уравнения sin х = 1 являются числа вида х = π/2 +2 π k, k Z.
Уравнение sin х = - 6 не имеет решения, так как -6 не принадлежит Е ( sin х ),
т.е. -6 не принадлежит [-1; 1]
Учитель: При решении уравнения вида A sin2 х + В cos х + С =0 вводим замену sin2 х = 1 - cos2 х, а затем решаем уравнение способом, аналогичным предыдущему.
Решите уравнение 2 sin2 х + 3 cos х -3 =0.
Учащиеся решают уравнение, вводят замену sin2 х = 1 - cos2 х, получили
2 (1 - cos2 х) +3 cos х -3 =0.
- 2 cos2 х + 3 cos х - 1 = 0 | (-1)
2 cos2 х - 3 cos х + 1 = 0
Замена cos х= t
Решая квадратное уравнение 2 t 2 - 3t +1 = 0,
находят t1 = 1; t2 = 0,5
Решением уравнения cos х = 1 являются числа вида х = 2 π k, k Z.
Решением уравнение cos х = 0,5 являются числа вида х = ± arccos 0,5+ 2π n, n Z.
Учитель: А теперь выберите одно из предложенных уравнений и самостоятельно решите его.
На экране проецируется задание.
На оценку
1 вариант
2 вариант
«3»
«4»
«5»
2 cos2х + 5 sin х - 4=0
cos 2х + cos х =0
√2 sin (x/2) + 1 = cos х
Ответы
(-1)k π/6 + πk, k Z
π + 2πk, k Z
± π/3 + 2 πn, n Z
2 πk, k Z
(-1)k π/2+2πn,n Z
3 sin x - 2 cos2x =0
cos 2x + sin x =0
√2cos(x/2) + 1=cos x
Ответы
(-1)k π/6 + πk, k Z
π/2 + 2πk, k Z
(-1)k+1 π/6 + πn, n Z
π + 2πk, k Z
± π/2 + 4πn, n Z
Учитель: Ребята, проверьте свое решение с ответами
На экране проецируются ответы
Физкультминутка.
Учитель: Ребята, а сейчас давайте немного отдохнем. Для этого я предлагаю выполнить несколько упражнений.
Упражнение 1 Цель этого упражнения - устранение вредных эффектов от неподвижного сидения в течение длительного периода времени и профилактика грыжи межпозвоночных дисков поясничного отдела.
В положении стоя положите руки на бедра.
Медленно отклоняйтесь назад, глядя на небо или в потолок.
Вернитесь в исходное положение.
Повторите 10 раз.
Упражнение 2 Цель - укрепление мышц задней стороны шеи для улучшения осанки и предотвращения болей в области шеи.
Поза: сидя или стоя
Смотрите прямо перед собой, а не вверх и не вниз.
Надавите указательным пальцем на подбородок.
Сделайте движение шеей назад.
Совет: совершая это движение, продолжайте смотреть прямо перед собой, не смотрите вверх или вниз. Для этого представьте, что кто-то, стоящий позади вас, тянет за нить, проходящую через ваш подбородок. Оставайтесь в этом положении в течение 5 секунд. Повторите 10 раз.
Учитель: Ну вот, немного отдохнули, теперь продолжим вспоминать основные методы решения тригонометрических уравнений.
б) однородные тригонометрические уравнения.
Рассмотрим самое простое однородное тригонометрическое уравнение первой степени: A sin x+ B cos x = 0. Разделив обе части уравнения на cos x ≠ 0, получим уравнение вида tg x = С.
Решите уравнение 2 sin x+ 3 cos x = 0.
Учащиеся решают уравнение.
2 sin x+ 3 cos x = 0 | : cos x ≠ 0
2 tg x + 3 =0
tg x = -1,5
х= arctg (-1,5) + πk, k Z или х = - arctg 1,5 + πk, k Z
Учитель: Теперь рассмотрим однородное тригонометрическое уравнение второго порядка: А sin2 х + В sinх cos х + С cos2х = 0. Разделив обе части уравнения на cos2 x ≠ 0, получим уравнение вида А tg 2x + В tg x + С = 0. Такого вида уравнения мы уже рассматривали.
Решите уравнение 2 sin2 х - 3 sinх cos х - 5 cos2х =0
Учащиеся решают уравнение 2 sin2 х - 3 sinх cos х - 5 cos2х =0
2 sin2 х - 3 sinх cos х - 5 cos2х =0 | : cos2х ≠ 0
2 tg 2x - 3 tg x - 5 = 0
замена tg x = t
2 t2 – 3 t – 5 =0
t1 = -1; t2 = 2,5
Решением уравнения tg х = -1 являются числа вида х = -π/2 + πk , k Z.
Решением уравнение tg х = 2,5 являются числа вида х = arctg 2,5+ πn, n Z.
Учитель: К однородным уравнениям после применения формул тригонометрии могут быть сведены различные тригонометрические уравнения, которые первоначально не были однородными.
Рассмотрим уравнение: А sin2 х + В sinх cos х + С cos2х = D, преобразуем данное уравнение А sin2 х + В sinх cos х + С cos2х =D (sin2 х + cos2х)
или (А –D) sin2 х + В sinх cos х + (С-D) cos2х =0.
Уравнение A sin x+ B cos x = С также не является однородным. Но после выполнения ряда преобразований данное уравнение становится однородным уравнение второго порядка:
A sin x+ B cos x = С
A sin 2 (x/2) + B cos 2(x/2) = С
2 A sin(x/2) cos(x/2) + В (cos2(x/2) - sin2(x/2) )= С (sin2(x/2) + cos2(x/2)). А теперь выберите два уравнения и самостоятельно решите их.
На экране проецируется задание.
На оценку
1 вариант
2 вариант
«3»
«4»
«5»
3 sin x+ 5 cos x = 0
5 sin2 х - 3 sinх cos х - 2 cos2х =0
3 cos2х + 2 sin х cos х =0
5 sin2 х + 2 sinх cos х - cos2х =1
2 sin x - 5 cos x = 3
1- 4 sin 2x + 6 cos2х = 0
2 cos x+ 3 sin x = 0
6 sin2 х - 5 sinх cos х + cos2х =0
2 sin2 x – sin x cosx =0
4 sin2 х - 2sinх cos х - 4 cos2х =1
2 sin x - 3 cos x = 4
2 sin2 х - 2sin 2х +1 =0
Учитель: Ребята, проверьте свое решение с ответами.
На экране проецируются ответы
1 вариант
2 вариант
«3»
«4»
«5»
- arctg 5/3+ πk, k Z.
π/4 + πk; - arctg 0,4 + πn, k, n Z.
π/2 + πk; - arctg 1,5 + πn, k, n Z.
π/4 + πk; - arctg 0,5 + πn, k, n Z.
arctg ( - 1 ± √5) + πk, k Z.
π/4 + πk; arctg 7 + πn, k, n Z.
- arctg 2/3+ πk, k Z.
arctg 1/3+ πk; arctg 0,5 + πn, k, n Z.
πk; arctg 0,5 + πn, k, n Z.
-π/4 + πk; - arctg 5/3 + πn, k, n Z.
arctg ( 2 ± √11) + πk, k Z.
π/4 + πk; arctg 1/3 + πn, k, n Z.
Учитель: Продолжим рассмотрение основных методов решения тригонометрических уравнений.
Б) различные алгоритмы решения уравнений вида A sin x+ B cos x = С
1) переход к половинному аргументу мы рассмотрели ранее.
2) использование универсальной подстановки
2 tg x/2 1 - tg2 x/2
sinх = ------------------- , cos х = -----------------------
1 + tg2 x/2 1 + tg2 x/2
3) введение вспомогательного угла
A sin x+ B cos x = С | : √A2 + B2 ≠ 0
A sin x + В cos x = С .
√A2 + B2 √A2 + B2 √A2 + B2
Если A = cos β, то A = sin β, получим
√A2 + B2 √A2 + B2
cos β · sin x + sin β · cos x = С , откуда sin (x + β) = С или
√A2 + B2 √A2 + B2
x = (-1)k arcsin С - β + πk, k Z.
√A2 + B2
А теперь попробуйте решить уравнение √3 sin x + cos x = 1 одним из предложенных способов.
Учащиеся решают уравнение, консультируются у учителя в случае возникновения затруднений.
Учитель: А теперь сверьте свои ответы с ответами соседа. Сверили. Молодцы! А сейчас выполним самостоятельную работу следующего характера. Решите тригонометрическое уравнение вида A sin x+ B cos x = С рассмотренными способами.
На экране проецируется задание.
На оценку
1 вариант
2 вариант
sin x + 3 cos x = 2
2 sin x+ 3 cos x = 1
3
Используя один из предложенных способов
4
Используя любые два из предложенных способов
5
Используя три предложенные способа
Ответ
2 arctg (1 ± √6)/5 + 2πk, k Z.
2 arctg ( 1 ± √3)/2 + 2πk, k Z.
На экране проецируются ответы
2.2. Знакомство с новыми способами решения тригонометрических уравнений.
Задачи этапа: организовать деятельность учащихся по применению знаний, умений и навыков при решении тригонометрических уравнений незнакомыми способами.
Содержание этапа:
Учитель: А сейчас познакомимся с решением тригонометрических уравнений новыми способами:
А) введением нетрадиционной замены при решении симметричных тригонометрических уравнений
Введем понятие симметричного уравнения
Пусть R (х; у) – выражение, которое рационально зависит от х и у. Такое выражение называют симметричным, если R (х; у) = R (у; х).
Рассмотрим уравнение 4 sin х - 6 sinх cos х + 4 cosх + 1 = 0 ,
т.к. (sin x + cos x)2 = 1 + 2 sin x cos x, то sinx ·cos x = (sin x + cos x)2 - 1 , получим
2
4 sin х + 4 cosх - 6 (sin x + cos x)2 - 1 + 1 = 0 ,
2
4 sin х + 4 cosх - 3 ( (sin x + cos x)2 – 1) + 1 = 0 ,
Введем обозначение t = sin x + cos x, получим
4 t – 3 (t2 -1) + 1 = 0
– 3 t2 + 4 t + 4 = 0
3 t2 - 4 t - 4 = 0 . Решая квадратное уравнение, найдем t 1 = 2, t 2 = -2/3, после чего переходим к решению уравнений sin х + cosх = 2 и sin х + cosх = -2/3
Б) методом разложения на множители.
Вспомним использование данного метода при решении известного вида уравнений:
sin х + sin 3 х + sin 5 х = 0
сгруппируем слагаемые:
(sin х + sin 5 х) + sin 3 х = 0
2 sin 3х cos 2х + sin 3х = 0
sin 3х ( 2 cos 2х + 1 ) = 0
переходим к решению простейших тригонометрических уравнений:
sin 3х = 0 или 2 cos 2х + 1 = 0
cos 2х = - 1/2
Рассмотрим более сложное уравнение, решаемое методом разложения на множители:
4 sin 3 х + 3 sin х - 7 = 0.
Легко можно заметить, что 4 + 3 = 7 или 4 ·1 3 + 3 · 1 - 7 = 0.
Выполним преобразование
4 sin 3 х + 3 sin х - 7 – (4 · 1 3 + 3 · 1 - 7 ) = 0
или 4 ( sin 3 х - 1 ) + 3 ( sin х - 1 ) = 0 .
Разложим на множители: 4 ( sin х - 1 ) ( sin 2 х + sin х +1 ) + 3 ( sin х - 1 ) =0
( sin х - 1 ) ( 4 ( sin 2 х + sin х + 1) + 3 ) = 0
( sin х - 1 ) ( 4 sin 2 х + 4 sin х + 4 + 3 ) = 0
( sin х - 1 ) ( 4 sin 2 х + 4 sin х + 7 ) = 0, откуда
sin х - 1 = 0 или 4 sin 2 х +4 sin х + 7 = 0
х = π/2 + 2пk, k Z решений нет
В) методом оценки левой и правой частей.
Рассмотрим уравнение sin x/4 + 2 cos (x- 2 π)/3 = 3
Вспомним, что – 1 ≤ sin ≤ 1
– 2 ≤ 2 cos (x-2 π)/3 ≤ 2
-----------------------------------
– 3 ≤ sin x/4 + 2 cos(x-2 π)/3 ≤ 3.
Исходное уравнение будет иметь решение тогда и только тогда, когда одновременно выполняются равенства:
sin x/4 = 1 и 2 cos (x-2 π)/3 = 2 или
s
in x/4 = 1
cos (x-2 π)/3 = 1 . Решая уравнение sin x/4 = 1 , получим х = 2 π+ 8πn, n Z.
Решая уравнение cos (x-2 π)/3 = 1 , имеем (x-2 π)/3 = (2 π+ 8πn - 2 π)/3. Или (x-2 π)/3 = 8πn /3. Итак, cos 8πn /3 = 1.
Это возможно только в тех случаях, когда, n делится нацело на 3, т.е. n = 3 k, k Z.
Значит, решением исходного уравнения являются числа вида х = 2 п + 24 п k, k Z.
3. Рефлексивно-оценочная часть урока.
3.1. Обсуждение результатов индивидуальной работы.
Задачи этапа: дать качественную оценку работы каждого ученика по выполнению самостоятельной работы.
Содержание этапа:
Учитель: А теперь вы оцените свою работу на уроке. Вы самостоятельно выполнили 5 упражнений:
1 – находили значения тригонометрических функций;
2 – находили значения обратных тригонометрических функций;
3 – решение уравнений по известным алгоритмам;
4 – решение однородных тригонометрических уравнений;
5 – решение уравнений вида a sinx+b cosx = c
Найдите среднее арифметическое всех выставленных оценок, округлите результат, и эти оценки я вам выставляю в журнал.
3.2. Информация о домашнем задании.
Задачи этапа: сообщить учащимся о домашнем задании, обеспечить понимание цели, содержания и способов решения.
Содержание этапа:
Учитель: Для закрепления навыков решения тригонометрических уравнений новыми способами я предлагаю вам выполнить домашнее задание следующего содержания:
1. введением нетрадиционной замены решите симметричное тригонометрическое уравнение cos6х + sin6 х = 16 sin2 х cos2х ;
2. выражение sin3 х + 3 sin х - 4 разложить на множители различными способами;
3. методом разложения на множители решите тригонометрическое уравнение
sin3 х + 3 sin х - 4 = 0
4. методом оценки левой и правой частей решите тригонометрическое уравнение
2 ( сosх + sin х ) + sin 2 х + 1 = 0
3.3. Подведение итогов урока.
Задачи этапа: вспомнить основные моменты урока, проанализировать усвоение предложенного материала и умение применить полученные знания в дальнейшем
Содержание этапа:
Учитель: Подведем итоги урока. Сегодня на уроке мы вспомнили числовые значения тригонометрических функций, обратных тригонометрических функций, вспомнили формулы решения простейших тригонометрических уравнений, рассмотрели общие подходы решения тригонометрических уравнений, закрепили навыки и проверили умения решать тригонометрические уравнения, познакомились с новыми способами решения некоторых известных тригонометрических уравнений.
Я думаю, что у вас сложилось более полное представление о тригонометрических уравнениях и разнообразии способов их решения. И у меня появилась уверенность, что с решением тригонометрических уравнений большинство из вас справится.
Фронтальным опросом вместе с учащимися подводятся итоги урока:
- Что нового узнали на уроке?
- Испытывали ли вы затруднения при выполнении самостоятельной работы?
- Испытывали ли вы затруднения при выборе самостоятельной работы?
- Какие из способов решения тригонометрических уравнений из рассмотренных оказались наиболее трудными?
- Какие пробелы в знаниях выявились на уроке?
- Какие проблемы у вас возникли по окончании урока?
Учитель: Дорогое ребята! Спасибо вам за работу на уроке. Я благодарю всех, кто принял активное участие в работе. Благодарю вас за помощь в проведении урока. Надеюсь на дальнейшее сотрудничество. Урок окончен. До свидания!
Список литература:
Ананьев Ю.А., Дворянинов С.В., Неценко Ю. Н. «Экзаменационные задачи по алгебре и началам анализа за курс средней школы». Самара, СОИПКПРО, 1993
Блошкин Б.Ф. «Самостоятельные и контрольные работы по математике 9-10 классы». М., Просвещение 1969
Богомолов И.В., Сергиенко Л.Ю. «Сборник дидактических заданий по математике. М., Высшая школа, 1986
Зильберберг Н.И. «Алгебра и начала анализа в 10 классе» (для углубленного изучения математики) Псков, ПОИПКРО, 1994
Звавич Л.И., Шляпочник Л.Я. «Контрольные и проверочные работы по алгебре 10-11 классы» М., Дрофа, 2001
Ивлев Б.М. «Задачи повышенной трудности по алгебре и началам анализа». М., Просвещение, 1990
Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. «Дидактические материалы по алгебре и началам анализа. 10 класс». М., Просвещение, 1997
Кононов А.Я. «Устные занятия по математике в старших классах» М., Столетие, 1997
Краснова Л.Г., Матвеева Е.Д., Степанова М.И. «Сборник контрольных заданий» Чувашия, РИПКРНО, 1983
Мордкович А.Г. «Алгебра и начала анализа 10-11 класс» М., Мнемозина, 2001
Самусенко А.В. «Математика: типичные ошибки абитуриентов» Минск, Высшая школа, 1995
Щукина В. «Репетитор. Математика. Физика» М., НПО Перспектива, 1993
http://www.falto.ru/article/article4_1.html