Разработчик материала:
Матвеева Мария Викторовна
учитель математики
ГБОУ ШИ «Олимпийский резерв»
Программированный урок для 10 класса по теме:
Понятие арккосинуса. Уравнение вида сosх = а.
Как и при решении обычных уравнений, решение тригонометрических уравнений сводится к умению решать простейшие уравнения.
Определение: Уравнение называется тригонометрическим, если неизвестное стоит под знаком тригонометрических функций.
Простейшими тригонометрическими уравнениями являются: сosх = а, sinх = а, tgх = а.
Каждое из них имеет свою формулу для решения. Единственное, что нужно четко запомнить - это, то, что при их решении получается бесконечно много корней.
Но можно и узнать конкретные решения.
Выпиши в теоретическую тетрадь: определение и примеры.
Для того чтобы научится решать первое простейшее тригонометрическое уравнение, нужно познакомиться с таким понятием, как арккосинус числа.
Следует отметить, что число, для которого рассматривается арккосинус, принадлежит промежутку [-1; 1].
Определение: Арккосинусом числа а[-1; 1] (обозначается arccos a) называется такое число α[0; π], косинус которого равен а. То есть cos (arccos a) = а.
Например, arccos (-1) = π; так как cos π= -1
arccos = , так как cos =
Таким образом, арккосинус есть обратная функция к косинусу.
Выпиши в теоретическую тетрадь: определение и примеры.
На самом деле, найти значение arccos можно легко воспользовавшись до боли нам знакомой таблицей значений тригонометрических функций.
При нахождении arccos необходимо задавать себе такой вопрос, при каком значении cos равен ? И смотреть в таблицу. Ответ: «при 45° или в радианной мере ».
Следует запомнить, что значение арккосинуса принято записывать только в радианной мере. Поэтому следует запомнить соответствие градусной и радианной меры углов.
Если число, от которого необходимо найти арккосинус отрицательное, то чтобы его найти необходимо, воспользоваться формулой:
arccos (-а) = π - arccos а.
Например, arccos (= π = .
arccos (= π = .
Выпиши в теоретическую тетрадь: формулу и примеры.
Реши задания по учебнику с. 168 № 568 – 570.
Решение тригонометрического уравнения вида cos х = а сводится к использованию формулы:
х = ±
Эту формулу можно проиллюстрировать на рисунке 68 стр. 165 по учебнику. Откройте учебник.
На чертеже видно, что на оси косинусов отмечена точка . Прямая проведенная вертикально через эту точку, показывает, что косинус для значений I и VI четвертей совпадает.
Но как мы можем получить эти углы, когда будем поворачивать точку? Да именно в I четверти на «+» угол, а в VI четверти на «-». Отсюда и получается знак «±». То есть соs и cos совпадают.
Выпиши в теоретическую тетрадь: формулу и рисунок из учебника с пояснениями.
Разберем решение тригонометрического уравнения на примере:
соs х =
х = ± (посмотреть значение по таблице)
х = ±
Ответ: х = ±
Выпиши в теоретическую тетрадь: решение уравнения с пояснениями.
Так как корней получается бесконечное количество, то в заданиях иногда просят найти конкретные значения корней, например принадлежащие промежутку [0; ], то есть I четверти или промежутку [0; 90°].
Эти задания очень часто встречаются в ЕГЭ. Их можно найти путем подстановки вместо n конкретных чисел (для помощи тебе выделено цветом ).
Например, рассмотрим решение нашего уравнения х = ±
1.Пусть n =0. Тогда х = ± ± , то есть х1 = + и х2 = .
Из этого видно, что получается 45° и - 45°. Из этих двух чисел, только одно принадлежит промежутку [0; 90°], то есть I четверти. Только число + .
2.Пусть n =1. Тогда х = ± ± ,
то есть х1 = + и х2 = ,
х1 = = и х2 = =
Из этого видно, что получается х1 = 405° и х2 = 315°. Значит, ни одно из чисел не принадлежит I четверти, то есть промежутку [0; 90°]. Поэтому в ответ их записать нельзя.
Выпиши в теоретическую тетрадь: способ нахождения конкретных корней (принадлежащих конкретному промежутку) тригонометрического уравнения.
Например 1 , решите уравнение соs х = и найдите корни, принадлежащие промежутку [].
Первое, что необходимо сделать это просто решить уравнение по формуле и на время забыть про промежуток.
соs х =
х = ± (посмотреть значение по таблице)
х = ±
Второе, нужно определиться с четвертью, которой должны принадлежать корни.
это промежуток от 90° до 180°. Значит, это II вторая четверть.
Третье, нужно подставить конкретные значения n (для помощи тебе выделено цветом ).
Пусть n=0.
Тогда, х = ± = ± , то есть х1= и х2 = . Если перевести в градусную меру, то х1 принадлежит I четверти, а х2 - IV четверти. А наша четверть II. Поэтому нужно подставить другое значение n.
2.Пусть n=1.
Тогда, х = ± = ± , то есть
х1 = + и х2 = ,
х1 = = и х2 = =
х1 = 420° и х2 = 300°
Ответ: х = ±
Например 2, решите уравнение соs х = .
соs х =
х = ± (посмотреть значение по таблице, но в таблице нет таких значений, поэтому вычислить значение не предоставляется возможным).
Ответ: х = ±
Выпиши в теоретическую тетрадь: пример 2 с пояснениями.
В случае если косинус равен отрицательному числу, необходимо использовать другую формулу при решении уравнения:
х = ±
Выпиши в теоретическую тетрадь: формулу корней тригонометрического уравнения, если число отрицательное.
Разберем решение тригонометрического уравнения на примере:
соs х =
х = ± (посмотреть значение по таблице)
х = ±
х = ±
х = ±
Ответ: х = ±
Выпиши в теоретическую тетрадь: решение уравнения с пояснениями.
Найти корнем уравнения, которые принадлежат конкретному промежутку можно таким же способом, как и в первом случае.
Реши задания по учебнику: с. 169 №571, 572.
Не всегда уравнения бывают такими простыми, есть уравнения разной степени сложности.
Например, 3. Решите уравнение 2соs 3х = .
соs 3х = (необходимо разделить обе части уравнения на число, которое стоит перед косинусом)
3х = ± (посмотреть значение по таблице)
3х = ± (сейчас необходимо разделить обе части на число, стоящее перед х)
3х:3 = ± (знак деления можно записать в виде дробной черты)
= ± (можно сократить и перемножить)
х = ±
Ответ: х = ±
Например, 4. Решите уравнение соs х = ,5
соs х = ,5
Решить такое уравнение не представляется возможным, так как значение косинуса находится в промежутке [-1; 1].
Ответ: нет решений.
Выпиши в теоретическую тетрадь: примеры с пояснениями.
Реши задания по учебнику: с. 169 №573.