Открытый урок
подготовки к ГИА по математике в 9 классе
Тема: ПроцентыОсновные задачи на проценты
2014 год
Пояснительная записка
Краткое изучение темы «Проценты» в 5 классе не дает больших результатов. Учащиеся в силу возрастных особенностей еще не могут полноценное представления о процентах, об их роли в повседневной жизни. На последующих этапах обучения повторного обращения к этой теме не предусматривается. Поэтому задачи на проценты вызывают затруднения у учащихся и очень многие окончившие школу не имеют прочных навыков обращения с процентами в повседневной жизни. Кроме того текстовые задачи на проценты включены в материалы ГИА за курс основной школы, в КИМы и ЕГЭ. Предлагаю вашему вниманию урок (2ч) элективного курса по математике в 9 классе.
Тема: ПроцентыОсновные задачи на проценты
Ц е л и: сообщить краткую историю появления процентов; привести примеры повседневного использования процентных вычислений в настоящее время; устранить пробелы в знаниях по решению основных задач на проценты: нахождение процента от величины, нахождение величины по ее проценту, нахождение процента одной величины от другой; ввести понятия «простой процентный рост», «сложный процентный рост»; решение основных задач на проценты
Методы обучения: беседа, объяснение, устные упражнения, письменные упражнения.
Формы контроля: проверка самостоятельной работы.
Х о д з а н я т и я
I. Краткая история появления процентов
Проценты – одно из математических понятий, которые часто встречаются в повседневной жизни. Так, мы часто читаем или слышим, что, например, в выборах приняли участие 69 % избирателей, уровень инфляции составляет 7 % в год, молоко содержит 3,2 % жира и т. д.
Слово «процент» происходит от латинского слова pro centum, что буквально означает «за сотню» или «со ста». Процентами очень удобно пользоваться на практике, так как они выражают части целых чисел в одних и тех же сотых долях. Процент – это частный вид десятичных дробей, сотая доля целого.
Знак «%» происходит, как полагают, от итальянского слова cento (сто), которое в процентных расчетах часто писалось сокращенно сto. Отсюда путем дальнейшего упрощения в скорописи буквы t в наклонную черту произошел современный символ для обозначения процента.
Существует и другая версия возникновения этого знака. Предполагается, что этот знак произошел в результате нелепой опечатки, совершенной наборщиком. В 1685 году в Париже была опубликована книга – руководство по коммерческой арифметике, где по ошибке наборщик вместо cto напечатал %.
Если мы говорим о предметах из некоторой заданной совокупности – деньгах, зарабатываемых в семье, материалах, продуктах питания, то процент, разумеется, 100 сотых частей самого себя. Поэтому обычно говорят, что она «принимается за 100 процентов».
Если речь идет о проценте от данного числа, то это число и принимается за 100 %. Например, 1 % от зарплаты – это сотая часть зарплаты; 100 % зарплаты – это сто сотых частей зарплаты. Т. е. вся зарплата. Подоходный налог с зарплаты берется в размере 13 %, т. е. 13 сотых от зарплаты. 3,2 % жира в молоке означает, что 3,2 сотых массы продукта составляет жир (или, другими словами, в каждых 100 граммах этого продукта содержится 3,2 грамма жира).
II. Повторение и закрепление изученного ранее.
1) Основные сокращенные процентные отношения .
200 % = 2; 25 % =
100 % = 1; 10% =
50 % =
; 1 % = 
2) Р а з л и ч н ы е о б о з н а ч е н и я:
-
1 %
0,01
18 %
0,18
р %
0,01р
нахождение процентов данного числа.
Чтобы найти р % от а , надо а ·0,01 р .
П р и м е р. 15 % от 90 составляет: 90·0,15 = 13,5.
4) Нахождение числа по его процентам.
Если известно, что р % числа а равно в, то а = в : 0,01 р
П р и м е р. 2 % числа х составляют 140.
а = 140 : 0,02;
а = 7000.
Ответ: 7000
5) Нахождение процентного отношения чисел.
Чтобы найти процентное отношение чисел, надо отношение этих чисел умножить на 100 %:
.
III. Устная работа.
1) Представьте данные десятичные дроби в процентах:
Пример: 0,08 = 0,08 х 100% = 8 %
0,6 ; 0,231; 2, 34.
2) Представьте проценты десятичными дробями:
Пример: 5% = 5% : 100% = 0,05
4 %; 12,5 %; 0,06 %; 1000% .
3) Найти:
10% от 60 руб,
50% от 200 руб,
200% от 200 л.
4) найдите процентное отношение чисел:
60 и 240,
40 и 200.
IV. Решение основных задач на проценты.
1. Простые проценты.
1) Одна величина больше (меньше) другой на р %.
а – первоначальное значение
р – количество процентов
в – новое значение
а) если а возросло на р %, то новое значение равно
в = а(1 + 0,01р).
б) если а уменьшили на р %, то новое значение равно
в= а(1 – 0,01р).
в) если а сначало уменьшили на р%, затем полученное число увеличили
на р%, то новое значение равно
в = а(1 – 0,01р) (1 + 0,01р) = а(1 –(0,01р)2) (*)
П р и м е р.
Увеличить число 60 на 20%.
Решение:
60
(1+ 0,01
20) = 60(1+ 0,2) = 60 1,2 = 72.
Ответ: 72
П р и м е р: ( ГИА – 2011)
На мебельном магазине старые цены заменены новыми. На сколько примерно процентов снижены цены при распродаже мебели?
-
Цена
Шкаф
Кровать
Стол
Старая
3999 руб.
1205 руб.
1000 руб.
Новая
3000 руб.
900 руб.
752 руб.
А. Примерно на 30%
Б. Примерно на 20%
В. Примерно на 25%
Г. Примерно на 80%
Решение:
Шкаф - 3000=3999· (1-р)
р = 999: 3999
р = 0,249= 25%
Стол - 752 = 1000 · ( 1 – р )
р = 248 : 1000
р = 0,248= 25%
Ответ: В
П р и м е р: ( ГИА – 2011, дем. вар.)
Из 59 девятиклассников школы 22 человека приняли участие в городских спортивных соревнованиях. Сколько приблизительно процентов девятиклассников приняли участие в соревнованиях?
А. 0,37% Б. 27% В. 37% Г. 2,7%
Решение:
Составим пропорцию
59 уч. ------ 100%
22 уч. ------- х %
Х= 22 ·100 : 59= 37,2%
Ответ: В
Пример. ( ЕГЭ – 2010 )
Магазин закупает цветочные горшки по оптовой цене 100 руб за штуку.
Торговая надценка составляет 25%. Какое наибольшее число таких
горшков можно купить в этом магазине на 1300 рублей.
Решение:
Пусть новая цена горшков будет в
в = 100 (1 + 0,25) = 125 р
1300 : 125 =10,4
Можно купить 10 горшков
Ответ: 10
Пример.
Цену товара снизили на 30 %, затем новую цену повысили на 30 %. Как изменилась цена товара?
Р е ш е н и е.
Пусть первоначальная цена товара а, тогда:
а – 0,3а = 0,7а – цена товара после снижения,
0,7а + 0,7а ·0,3 = 0,91а – новая цена.
1,00 – 0,91 = 0,09 или 9 %.
Используя формулу (*), получим:
О т в е т: цена снизилась на 9 %.
2. Сложные проценты.
а – первоначальное значение величины;
в – новое значение величины;
р – количество процентов;
п – количество промежутков времени.
в = а (1 + 0,01р)п,
Если изменение происходит на разное число процентов, то формула выглядит так
в = а·(1 + 0,01р1)(1 + 0,01р2) … (1 + 0,01рп)
Пример.
Вкладчик открыл счет в банке, внеся 2000 р. на вклад, годовой доход по которому составляет 12% и решил в течение 3 лет не брать процентные начисления. Какая сумма будет лежать на его счете через 3 года.
Решение:
в = а · ( 1 + 0,12 )
в = 2000 · ( 1 + 0,12 ) = 2808 руб.
Ответ: 2808 руб.
Пример.
Зарплату рабочему повысили сначала на 10 %, а через год еще на 20 %. На сколько процентов повысилась зарплата по сравнению с первоначальной?
Р е ш е н и е.
Так как проценты находятся от величины, полученной после начисления процентов, то можно применить формулу сложных процентов.
Пусть зарплата рабочего была а , тогда
Решение:
Пусть зарплата рабочего была а , тогда
в = а (1 + 0,1)(1 + 0,2) = 1,32а
1,32а – а = 0,32а
О т в е т: на 32 %.
Пример. ( ГИА – 2011)
Летом рюкзак стоил 880 руб. Осенью цены на рюкзаки снизились на 25%. А зимой еще на 25%. Сколько рублей заплатит покупатель, если купит рюкзак зимой?
А. 830 руб Б. 660 руб В. 495 руб Г. 165 руб.
Решение:
Первоначальная цена - 880 руб
Пусть новая цена будет в руб
в = 880 ( 1 – 0,25) ( 1 – 0,25) = 880 ( 1- 0,25)
= 495 р.
О т в е т: В
Пример. ( ГИА - 2011, Зад. № 23)
Фрукты подешевели на 25%. Сколько фруктов можно теперь купить на те
на те же деньги, на которые раньше покупали 6 кг.
Решение:
Раньше стоимость одного 1 кг – а руб
Сейчас стоимость 1 кг - а (1 - 0,25) = 0,75 а руб
Стоимость 6 кг - 6 · а
8 (кг) – можно купить сейчас.
Ответ: 8 кг.
V. Самостоятельная работа
1. Найти 1 % от 6 тыс. жителей;
А. 0,06 Б. 60 В. 600 Г. 6
2. Сколько будет, если 500 р. уменьшить на 5 %;
А. 250 Б. 25 В. 475 Г. 495
3. Сколько процентов составляют 15 г от 1 кг
А. 0,015% Б. 15% В. 0,15% Г. 1,5%
( ГИА – 2008 )
В таблице приведена стоимость работ по покраске потолков.
Цвет
потолка
Цена в рублях за 1 кв.м.
(в зависимости от площади помещения)
до 20 м
от 21до 40 м
от 41до 60 м
свыше 60 м
белый
120
105
90
75
голубой
140
125
110
90
Пользуясь данными, представленными в таблице, определите, какова будет стоимость работ, если площадь потолка 40 м, потолок голубой, и действует сезонная скидка 10%.
А. 4950р Б. 5000р В. 4500р Г. 500р
5. Ученик прочитал в первый день 15 % книги, что составило 60 страниц, во второй день он прочитал 200 страниц. Сколько страниц ему осталось прочитать?
О т в е т:
6. Цена на бензин в первом квартале увеличилась на 20 %, а во втором – на 30 %. На сколько процентов увеличилась цена на бензин за два квартала?
А. 50% Б. 10% В. 56% Г. 65%
7. ( ГИА -2011, Зад. № 20)
Сосна на 50% выше ели. Если каждое дерево подрастет еще на 10м, то сосна будет выше ели на 25%. Найдите первоначальную высоту ели.
Ответ:
8. ( ГИА -2011, Зад. № 23)
Фрукты подешевели на 25%. Сколько фруктов можно теперь купить на те
на те же деньги, на которые раньше покупали 3 кг.
Ответ:
Домашнее задание. № 59, 65. Составить задачи, используя жизненные ситуации, записать на отдельных листах.