МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА №17
Г. КРАСНОДАРА
Тема урока по алгебре:
«Решение логарифмических уравнений».
11 класс
учитель :
МОУ СОШ №17
г. Краснодара
Аблёзгова
Наталия Александровна
Краснодар, 2009г.
План-конспект проведения урока.
Предмет:11 класс.
Тема урока: «Решение логарифмических уравнений».
Форма урока: комбинированный урок
Тип урока: Урок повторного контроля знаний. Обобщение и закрепление пройденного материала.
Цели урока: Обобщить и систематизировать знания учащихся по 1.Обучающая - вторичное осмысление уже известных знаний, выработка умений и навыков по их применению. Закрепить основные методы решения логарифмических уравнений, предупредить появление типичных ошибок.
2.Развивающая - развитие логического мышления для сознательного восприятия учебного материала, внимание, зрительную память, активность учащихся на уроке. Предоставить каждому из учащихся проверить свой уровень подготовки по данной теме.
3.Воспитывающая - воспитание познавательной активности, формирование личностных качеств: точность и ясность словесного выражения мысли; сосредоточенность и внимание; настойчивость и ответственность, положительной мотивации к изучению предмета, аккуратности, добросовестности и чувство ответственности. Осуществить индивидуальный подход и педагогическую поддержку каждого ученика через разноуровневые задания и благоприятную психологическую атмосферу.
ЗАДАЧИ УРОКА:
выработать у учащихся умение пользоваться алгоритмом решения логарифмических уравнений.
осуществить формирование первоначальных знаний в виде отдельных навыков после определенной тренировки решения уравнений.
использовать авторскую презентацию для
познакомить учащихся с частными случаями и отработать навыки по решению таких уравнений
Методы и педагогические приемы:
Методы самообученияПриемы устного опроса.Приемы письменного контроля.
Коллективная учебная деятельность.
Организация работы в группах.
Повышение интереса к учебному материалу.
Текстовой комментарий- пояснение
Данные слайды и материал мультимедийной разработки можно использовать как непосредственно на уроке алгебры, так и в качестве учебного пособия для домашней работы.
Программы необходимые для запуска проекта:
Microsoft Word, Miсrosoft PowerPoint, Проигрыватель Windows Media
Раздаточный материал: задания для самостоятельной работы.
Конспект урока:
1. Решение простейших уравнений:
Простейшими логарифмическими уравнениями будем называть уравнения следующих видов:
log a x = b, a > 0, a ¹ 1.
log a f(x) = b, a > 0, a ¹ 1.
log f(x) b = c, b > 0.
Эти уравнения решаются на основании определения логарифма:
если logb a = c, то a = bc.
Решить уравнение
log2 x = 3.
Решение. Область определения уравнения x > 0. По определению логарифма x = 23, x = 8 принадлежит области определения уравнения.
Ответ: x = 8.
Уравнения вида loga f(x) = b, a > 0, a ≠ 1.
Уравнения данного вида решаются по определению логарифма с учётом области определения функции f(x). Уравнение равносильно следующей системе
Обычно область определения находится отдельно, и после решения уравнения f(x) = ab проверяется, принадлежат ли его корни области определения уравнения.
log3(5х – 1) = 2.
Решение:
ОДЗ: 5х – 1 > 0; х > 1/5.log3(5х– 1) = 2,log3(5х – 1) = log332,5х - 1 =9,х = 2.
Ответ: 2.
Пример. Решить уравнение
Решение. Область определения уравнения находится из неравенства 2х2 – 2х – 1 > 0. Воспользуемся определением логарифма:
Применим правила действий со степенями, получим 2х2 – 2х – 1 = 3. Это уравнение имеет два корня х = –1; х = 2. Оба полученные значения неизвестной удовлетворяют неравенству 2х2 – 2х – 1 > 0, т.е. принадлежат области определения данного уравнения, и, значит, являются его корнями.
Ответ. х1 = –1, х2 = 2.
Уравнения вида logf(x) b = с, b > 0.
Уравнения этого вида решаются по определению логарифма с учётом области определения уравнения. Данное уравнение равносильно следующей системе
Чаще всего, область определения логарифмического уравнения находится отдельно, и после решения уравнения (f(x))c = b или равносильного уравнения
проверяется, принадлежат ли его корни найденной области.
Пример. Решить уравнение
logx–19 = 2.
Решение. Данное уравнение равносильно системе
Ответ. x = 4.
2.. Потенцирование.
Суть метода заключается в переходе от уравнения
log a f(x) = log a g(x) к уравнению f(x) = g(x), которое обычно
не равносильно исходному.
Уравнения вида
loga f(x) = loga g(x) , а > 0, а ¹ 1.
На основании свойства монотонности логарифмической функции заключаем, что f(x) = g(x).
Переход от уравнения loga f(x) = loga g(x) к уравнению
f(x) = g(x) называется потенцированием.
Нужно отметить, что при таком переходе может нарушиться равносильность уравнения. В данном уравнении f(x) > 0, g(x) > 0,
а в полученном после потенцирования эти функции могут быть как положительными, так и отрицательными. Поэтому из найденных корней уравнения f(x) = g(x) нужно отобрать те, которые принадлежат области определения данного уравнения. Остальные корни будут посторонними.
Пример. Решить уравнение
log3 (x2 – 3x – 5) = log3 (7 – 2x).
Решение. Область определения уравнения найдётся из системы неравенств
Потенцируя данное уравнение, получаем х2 – 3х – 5 = 7 – 2х,
х2 – х – 12 = 0, откуда х1 = –3, х2 = 4. Число 4 не удовлетворяет системе неравенств.
Ответ. х = –3.
Cведение уравнений к виду log a f(x) = log a g(x)
с помощью свойств логарифмов по одному основанию.
Если уравнение содержит логарифмы по одному основанию, то для приведения их к виду log a f(x) = log a g(x) используются следующие свойства логарифмов:
logb a + logb c = logb (ac), где a > 0; c > 0; b > 0, b ¹ 1,
logb a – logb c = logb (a/c), где a > 0; c > 0; b > 0, b ¹ 1,
m logb a = logb a m, где a > 0; b > 0, b ¹ 1; mÎR.
Пример 1. Решить уравнение
log6 (x – 1) = 2 – log6 (5x + 3).
Решение. Найдём область определения уравнения из системы неравенств
Применяя преобразования, приходим к уравнению
log6 (x – 1) + log6 (5x + 3) = 2,
log6 ((x – 1)(5x + 3)) = 2, далее, потенцированием, к уравнению
(х – 1)(5х + 3) = 36, имеющему два корня х = –2,6; х = 3. Учитывая область определения уравнения, х = 3.
Ответ. х = 3.
Пример 2. Решить уравнение
Решение. Найдём область определения уравнения, решив неравенство (3x – 1)(x + 3) > 0 методом интервалов.
Учитывая, что разность логарифмов равна логарифму частного, получим уравнение log5 (x + 3) 2 = 0. По определению логарифма
(х + 3) 2 = 1, х = –4, х = –2. Число х = –2 посторонний корень.
Ответ. х = –4.
Пример 3. Решить уравнение
log2 (6 – x) = 2log6 x.
Решение. На области определения 0 < x < 6 исходное уравнение равносильно уравнению 6 – x = x2, откуда х = –3, х = 2. Число х = –3 посторонний корень.
Ответ. х = 2.
Уравнения вида
Alog a f(x) + Blog b g(x) + C = 0.
Метод потенцирования применяется в том случае, если все логарифмы, входящие в уравнение, имеют одинаковое основание. Для приведения логарифмов к общему основанию используются формулы:
Пример 1. Решить уравнение
Решение. Область определения уравнения 1 < x < 2. Используя формулу (3), получим
Так как 3 = log28, то на области определения получим равносильное уравнение (2–x)/(x–1) = 8, откуда x = 10/9.
Ответ. x = 10/9.
Пример 2. Решить уравнение
Решение. Область определения уравнения x > 1. Приведём логарифмы к основанию 3, используя формулу (4).
Ответ. х = 6.
Пример 3. Решить уравнение
Решение. Область определения уравнения x > –1, x ¹ 0. Приведём логарифмы к основанию 3, используя формулу (2).
Умножим обе части уравнения на log 3(x + 1) ¹ 0 и перенесем все слагаемые в левую часть уравнения. Получим (log 3(x + 1)–1)2 = 0, откуда log 3(x + 1) = 1 и x = 2.
Ответ. x = 2.
3.Введение новой переменной
Рассмотрим два вида логарифмических уравнений, которые введением новой переменной приводятся к квадратным.
Уравнения вида
где a > 0, a ¹ 1, A, В, С – действительные числа.
Пусть t = loga f(x), tÎR. Уравнение примет вид t2 + Bt + C = 0.
Решив его, найдём х из подстановки t = loga f(x). Учитывая область определения, выберем только те значения x, которые удовлетворяют неравенству f(x) > 0.
Пример 1. Решить уравнение lg 2 x – lg x – 6 = 0.
Решение. Область определения уравнения – интервал (0; ¥).Введём новую переменную t = lg x, tÎR.
Уравнение примет вид t 2 – t – 6 = 0. Его корни t1 = –2, t2 = 3.
Вернёмся к первоначальной переменной lg x = –2 или lg x = 3,
х = 10 –2 или х = 10 3. Оба значения x удовлетворяют области определения данного уравнения (х > 0).
Ответ. х = 0,01; х = 1000.
Пример 2. Решить уравнение
Решение. Найдём область определения уравнения
Применив формулу логарифма степени, получим уравнение
Так как х < 0, то | x | = –x и следовательно
Введём новую переменную t = log3 (–x), tÎR. Квадратное уравнение
t 2 – 4t + 4 = 0
имеет два равных корня t1,2 = 2. Вернёмся к первоначальной переменной log3 (–x) = 2, отсюда –х = 9, х = –9. Значение неизвестной принадлежит области определения уравнения.
Ответ. х = –9.
Уравнения вида
где a > 0, a ¹ 1, A, В, С – действительные числа , A¹0, В¹0.
Уравнения данного вида приводятся к квадратным умножением обеих частей его на loga f(x) ¹0. Учитывая, что loga f(x)× logf(x) a=1
(свойство logb a = 1/ loga b), получим уравнение
Замена loga f(x)=t, tÎR приводит его к квадратному
At2 + Ct + B = 0.
Из уравнений loga f(x)= t1 , logb f(x)= t2 найдем значения x и выберем среди них принадлежащие области определения уравнения:
f(x) > 0, f(x) ¹1.
Пример. Решить уравнение
Решение. Область определения уравнения находим из условий x+2>0, x+2 ¹ 1, т.е. x >–2, x ¹ –1.
Умножим обе части уравнения на log5 (x+2) ¹0, получим
или, заменив log5 (x+2) = t, придем к квадратному уравнению
t 2 – t – 2 = 0, t1 = –1, t2 =2.
Возвращаемся к первоначальной переменной:
log5 (x+2) = –1, x+2 = 1/5, x = –9/5,
log5 (x+2) = 2, x+2 = 25, x = 23.
Оба корня принадлежат области определения уравнения.
Ответ: x = –9/5, x = 23.
в) log2х – 2 logх2 = –1
Решение:
ОДЗ: x > 0, х ≠ 1
Используя формулу перехода к новому основанию, получим
Обозначим
Ответ: 
4. Приведение некоторых уравнений к логарифмическим логарифмированием обеих частей.
Переход от уравнения вида f(x) = g(x) к уравнению
loga f(x) = loga g(x), который возможен если f(x) >0, g(x) >0, a >0,
a ¹ 1, называется логарифмированием.
Методом логарифмирования можно решать :
Уравнения вида 
Уравнения вида 
Уравнения вида
Область определения уравнения – интервал (0, ¥). Прологарифмируем обе части уравнения по основанию a, затем применим формулы логарифма степени и произведения
Приведем подобные и получим линейное уравнение относительно
loga x.
Пример. Решить уравнение 32log4 x+2=16x2.
Решение. Область определения x >0. Прологарифмируем обе части по основанию 4.
Используя свойства логарифмов, получим
Ответ x = 1/4
Уравнения вида
Область определения уравнения – интервал (0, ¥). Прологарифмируем обе части уравнения по основанию a, получим
Применим формулы логарифма степени и логарифма произведения
Введем новую переменную t=loga x , tÎR. Решив квадратное уравнение At2 + (B–a)t–loga C=0, найдем его корни t1 и t2. Значение x найдем из уравнений t1 = loga x и t2=loga x и выберем среди них принадлежащие области определения уравнения.
Пример 1. Решить уравнение
Решение. Область определения уравнения х > 0. Так как при х > 0 обе части уравнения положительны, а функция y = log3 t монотонна, то
(1 + log3 x) log3 x = 2.
Введём новую переменную t, где t = log3 x, tÎR.
(1 + t) t = 2, t 2 + t – 2 = 0, t1 = –2, t2 = 1.
log3 x = –2 или log3 x = 1,
x = 1/9 или х = 3.
Ответ. х = 1/9; х = 3.
Пример 2. Решить уравнение
Решение. Область определения уравнения х >1. Обе части уравнения положительны, прологарифмируем их по основанию 2, получим
Применим формулы логарифма степени и логарифма частного:
Введем новую переменную t=log2x, получим квадратное уравнение
t2 - 3t + 2 = 0,
t1 = 2, t2 = 1, тогда log2 x = 2 или log2 x =1.
Ответ. x = 4, x = 2.
Домашнее задание:
Проверочная работа
В работе предлагаются задания тренировочного и обобщающего характера.
Цели заданий:
проверить знание основных методов решения логарифмических уравнений,проверить умение определять метод решения уравнения,проверить умение реализовать выбранный метод.
Работа рассчитана на 40 минут, подготовлена в 8 вариантах.
Работа состоит из 3 частей. Задания первой части (базовой уровень) содержит задания с выбором ответа (А1-А3) . Задания второй части (повышенный уровень) с кратким ответом (В1-В3) . Третья часть – содержит задания с развернутым ответом. (С 1).
Материал по данной теме был усвоен учащимися следующим образом: обученность - 52% , качество 33%. В таблице дан подробный анализ работы:
А1
А2
А3
В1
В2
В3
С1
74%
68%
69%
45%
62%
37%
12%
Во второй строке таблицы указан процент правильно выполненного задания.
Учитывая контингент учащихся данного класса, можно сделать вывод о
том, что в целом учащиеся усвоили материал по данной теме.
Приложение
