Конспект урока по Алгебре «Решение показательных уравнений» 11 класс

Методическая разработка урока алгебры в 11 классе

Тема урока: Решение показательных уравнений.

Аудитория: 11 класс

Место урока в теме: урок знакомства с методами решения показательных уравнений, на предыдущем уроке введено определение показательного уравнения, представлен способ решения простейших показательных уравнений (приведение к одному основанию), ранее закончена тема «Показательная функция».

Цели урока: обучающие: на конец урока учащиеся:

• формулируют определение показательного уравнения;

• умеют распознавать показательные уравнения среди различных уравнений;

• выбирают способы решения показательных уравнений;

• решают показательные уравнения изученными ранее способами (с помощью учителя, по образцу);

развивающие:

• развитие логического мышления, умения анализировать, сопоставлять;

• формирование грамотной математической речи.

Формы, методы и приемы: фронтальная работа, работа в группах, поисковый метод.

Ход урока:

1. Мотивация учащихся. Постановка целей урока.

Учитель: Вы знаете, что предстоящий экзамен по математике проверяет в том числе умение решать уравнения. Вам известны многие виды уравнений и на прошлом уроке мы познакомились еще с одним - с простейшими показательными уравнениями. Исходя из своего опыта решения уравнений вы, конечно, понимаете, что класс показательных уравнений не ограничивается простейшими уравнениями. А это значит, что...

Учащиеся пробуют сформулировать тему и содержание урока.

Учитель: Да, сегодня нам предстоит познакомится с другими “представителями класса показательных уравнений” и, конечно, попытаться найти способы их решения.

Сначала давайте вспомним, какие уравнения нам известны и какими способами мы их решаем. Перед вами уравнения, ваша задача – определить вид каждого уравнения и назвать способ его решения.

1. х ² + 7х + 6 = 0 3^{х + 1} = 2 – х

2. 3six ² x – 5sin x – 2 = 0 9) += 2

3. 2х ⁴ - 27х² + 81 = 0 10) 2х³ – 18х – 3х² + 27 = 0

4. 3х ² - 8x = 0 11) 7^{3х – 15} =

5. 2 ^{2 – х} = 8 12) = х + 2

6. = 13) sin 2x + cos 2x = 0

7. sin² x + 2sin x cos x – 3cos ² х = 0 14) 2sin x cos x + sin x = 0

Учащиеся: уравнение 1) - квадратное, решается по формулам (через дискриминант); 4) – неполное квадратное уравнение, решается вынесением за скобку общего множителя (разложение на множители) и применением правила о равенстве нулю произведения нескольких множителей; уравнение 2) – тригонометрическое, с помощью замены сводится к квадратному; Уравнение 3) – биквадратное, также решается сведением к квадратному с помощью замены; уравнение 6) – линейное; уравнения 5), и 11) – это показательные уравнения, т.к. переменная находится в показателе степени. 5) и 11) можно отнести к простейшим показательным уравнениям и решить их сведением обеих частей к одному основанию. Однако к 8-му уравнению этот способ решения применить нельзя. Уравнение 7) – тригонометрическое, однородное , для его решения применяется почленное деление на sin² x или на cos² x, таким образом получается тригонометрическое уравнение, сводящееся к квадратному. Уравнение 12) – дробно-рациональное, можно решить по свойству пропорции. Но его можно еще решить графическим способом, который, надо заметить, не всегда может дать точный ответ. Уравнение 9) тоже дробно-рациональное, для решения используется приведение к общему знаменателю и свойство пропорции. Уравнение 13) – однородное тригонометрическое, способ решения – почленно разделить на cos²x. Уравнение 10) – уравнение третьей степени, можно попробовать разложить на множители и применить правило равенства нулю произведения нескольких множителей. Уравнение 14) – тригонометрическое, также решается разложением на множители.

Учитель: Молодцы! Верно названы все виды уравнений, способы их решения. Вы, наверное, заметили, что одни и те же способы решения предлагались для разных видов уравнений. Так может быть эти способы могут помочь и при решении показательных уравнений? Я предлагаю сейчас обсудить этот вопрос.

2. Работа в группах. (класс заранее поделен на группы по 3-4 человека)

Каждой группе предлагается набор уравнений. Группе необходимо найти универсальный способ решения всех предложенных уравнений. Время работы в группах оговаривается заранее (не более 15 минут). После завершения работы представители групп должны познакомить класс с найденными способами решения уравнений (на примере решения одного уравнения).

Наборы уравнений для групповой работы:

1 группа: 2^х – 1 = √ х

3^х+2 = - х + 3

= 2х + 5

2 группа: 4^х-3 + 4^х = 260

5^х+1 + 5^х + 5^х-1 = 31

7 ^х - = 6

3 группа: 2 ^{2х –} 3*2^х + 2 = 0

9 ^х + 2 * 3 ^х - 8 = 0

2 ^{2х+1 –} 5 * 2^х - 88 = 0

4 группа: 3^х = 5^х

25^х = 7^2х

3 * 2^2х + 6^х - 2 * 3^2х = 0

В завершении этой части урока названы следующие способы решения показательных уравнений:

• графический способ ( построение в одной системе координат графика показательной или логарифмической функции и графика функции, задающей правую часть уравнения; ответ – абсцисса точки пересечения графиков);

• замена переменной и сведение к алгебраическому уравнению;

• способ разложения на множители (вынесение общего множителя за скобку);

• для однородных уравнений – почленное деление на выражение, не равное нулю;

• решение простейших уравнений с использованием утверждения: а ^{f (x)} = a ^{g (x)} f(x) = g(x) (решение простейшего уравнения встечается почти во всех видах уравнений на заключительном этапе решения).

Решения уравнений сохраняются в течение урока на доске, учитель по необходимости корректирует образцы записи решения уравнений.

3. Формирование умений и навыков решения уравнений.

Самостоятельная работа учащихся по решению уравнений представленными выше способами.

Уравнения для самостоятельного решения:

1. 2^2x – 6 * 2^x + 8 = 0

2. 9^х + 8 * 3^х = 9

3. 5^{2x + 1} – 26 * 5 ^x + 5 = 0

4. 3^x = х²

5. = x + 11

6. 2^х – 2^х-2 = 3

7. 3^х+2 + 3^х = 810

8. 5^х - = 4

9. 64 * 8^2х + х * 8^2х = 0

10. 7 * 5^х = 5 * 7^х

11. 3 * 2^2х + 6^х – 2 * 3^2х = 0

12. 3 * 4^х – 5 * 6^х + 2 * 9^х = 0

4. Рефлексия. Самооценка.

Учитель: Вот и подходит к концу сегодняшний урок. Что нового вы на этом уроке узнали?

Учащиеся: Узнали больше о показательных уравнениях. Убедились в том, что новые уравнения можно решать «старыми» способами.

Учитель: И в заключении каждому предлагается оценить результат своей работы на уроке. Заполните, пожалуйста, итоговую таблицу.

Знаю

Решаю по образцу

Решаю без образца

Определение показательного уравнения

Простейшие показат. уравнения

Графический способ

Разложение на множители

Замена переменной

Почленное деление для однородных показат. урав.

1. Домашнее задание.

Учитель: Предлагаемое сегодня домашнее задание будет у каждого из вас свое. Каждый определит его сам: параграф 46 задачника содержит множество показательных уравнений, решаемых различными способами, в том числе и такими, о которых (применительно к показательным уравнениям) не было сказано на уроке. Очень бы хотелось в домашней работе увидеть уравнения, решаемые различными способами.

Урок окончен, всем спасибо за работу.

Используемая литература:

• А.Г. Мордкович. Алгебра и начала анализа (в 2-х частях)

• Открытый банк задач ЕГЭ по математике

• М.А. Попов. Контрольные и самостоятельные работы по алгебре и началам анализа: 11 класс: к учебнику А.Г. Мордковича

• А.Г. Мордкович, Е.Е. Тульчинская. Алгебра и начала анализа. 10 – 11 классы. Контрольные работы для общеобразовательных учреждений.

• В.С. Крамор Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. М., Просвещение, 1990.