Конспект урока по Алгебре «РЕШЕНИЕ СЛОЖНЫХ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ»

РЕШЕНИЕ СЛОЖНЫХ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ

Математический вечер для учащихся старших классов

Цель урока:

  • Сформировать умения учащихся решать сложные логарифмические неравенства, а также неравенства смешанного типа.

  • Не допускать ошибок в проводимых преобразованиях. Следить за тем, чтобы каждое действие не расширяло и не сужало область допустимых значений неравенства, то есть не приводило ни к потере, ни к приобретению посторонних решений.

  • Развитие у учащихся логического мышления . Умение учащихся оперировать такими понятиями, как система неравенств (пересечение множеств), совокупность неравенств (объедение множеств), осуществлять отбор решений неравенства, руководствуясь его областью допустимых значений

  • Освоение всеми учащимися алгоритмов решения сложных логарифмических неравенств, закрепление теоретических знаний при решении конкретных примеров;

  • Развитие культуры научных и учебных взаимоотношений между учениками и между учениками и учителем; воспитание навыков совместного решения задач.

«В науке нет широкой столбовой дороги,

и только тот может достигнуть её сияющих вершин,

кто не страшась усталости,

карабкается по её каменистым тропам.»

К. Маркс

Ход урока

  1. Организационный момент (формулировка темы, постановка целей и задач урока перед учащимися, план хода урока)

  2. Актуализация опорных знаний проводится в форме беседы по лекционному материалу по данной теме.

  • Понятие сложного логарифмического неравенства

Под сложным логарифмическим неравенством понимают неравенство вида , где – один из знаков неравенств: .

  • Алгоритм решения сложного логарифмического неравенства

Так как при функция является возрастающей, а при – убывающей, то для решения сложного логарифмического неравенства необходимо рассмотреть два случая, т. е. решить совокупность двух систем:

http://is.tstu.ru/direct1/bilet/matem/2-2001/Image200.gif

Решение сложных логарифмических неравенств методом эквивалентной замены их одной системой неравенств

Решение сложных логарифмических неравенств совокупностью двух систем можно значительно упростить, применяя эквивалентную замену:

    1. Решение задач:.

Пример 1.

Решается двумя способами(совокупностью двух систем; эквивалентной системой) на доске разными учениками одновременно. Далее проводится обсуждение каждого из методов решения, определяется более рациональный

.Решение:

1 способ

Данное неравенство равносильно совокупности двух систем рациональных неравенств:

x

6

3

2

1

x

6

1

0

Решение совокупности:

x

6

3

2

1

0

Ответ. .

2 способ

Данное неравенство равносильно системе рациональных неравенств:

x

6

3

2

1

0

Ответ. .

Пример 2. Решите логарифмическое неравенство:

  \[ \log_{x+1}(x^3+3x^2+2x)<2. \]

Решается учеником на доске с комментариями

Решение. Область допустимых значений неравенства определяется следующей системой:

  \[ \begin{cases} x+1>0, \\ x+1\ne 1,\\ x(x+1)(x+2)>0 \end{cases}\Leftrightarrow x\in (0;+\mathcal{1}). \]

Видно, что в области допустимых значений выражение, стоящее в основании логарифма, всегда больше единицы, а потому равносильным по теореме 2 будет переход к следующему неравенству:

  \[ x^3+3x^2+2x<x^2+2x+1\Leftrightarrow x^3+2x^2-1<0\Leftrightarrow \]

  \[ (x+1)(x^2+x-1)<0\Leftrightarrow \]

  \[ x\in\left(-\mathcal{1};-\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)\cup\left(-1;\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right). \]

С учетом области допустимых значений получаем окончательный ответ:

  \[ x\in\left(0;\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right). \]

Пример 3 .

Решается учеником на доске с комментариями

Решение:

Данное неравенство равносильно системе рациональных неравенств:

x

-1

0

1

2

Ответ. .

Пример 4. Решите неравенство ≥ 0.

Решение. Заменим данное неравенство равносильной системой, используя метод рационализации

> 0

3 – x > 0

x > 0

x ≠ 3

x ≠ 1

(x – 3)(x – 1)(- 1) ≥ 0

(x – 1)(- 1) > 0

x > 0

x ≠ 3

x ≠ 1

(x – 1)(3 – x –x2) ≤ 0

(x – 1)(3 – x – 1) > 0

x < 3

x > 0

x ≠ 1

1 < x < 2

< 2.

При решении неравенства (х – 1)(х – 2) < 0 системы учтены условия x < 3, x > 0, x ≠ 1. Условие 1 < x < 2 позволяет исключить множитель x – 1 > 0 в первом неравенстве системы.

Ответ: .

Пример 5. Решите неравенство:

  \[ \frac{2\log_3(x^2-4x)}{\log_3 x^2}\leqslant 1. \]

Решение.

Область допустимых значений неравенства определяется системой неравенств:

  \[ \begin{cases} x^2-4x>0, \\ x^2>0, \\ x^2\ne 1 \end{cases}\Leftrightarrow x\in(-\mathcal{1};-1)\cup(-1;0)\cup(4;+\mathcal{1}). \]

I способ. Воспользуемся формулой перехода к новому основанию логарифма и перейдем к равносильному в области допустимых значений неравенству:

  \[ \log_{x^2}(x^2-4x)^2\leqslant 1. \]

Неравенство будет равносильно двум системам. Первой:

  \[ \begin{cases} x\in(-1;0), \\ (x^2-4x)^2\geqslant x^2 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} x\in(-1;0), \\ x^2(x-5)(x-3)\geqslant 0 \end{cases}\Leftrightarrow \]

  \[ x\in (-1;0). \]

И второй:

  \[ \begin{cases}x\in(-\mathcal{1};-1)\cup(4;+\mathcal{1}), \\ x^2(x-5)(x-3)\leqslant 0 \end{cases}\Leftrightarrow x\in(4; 5]. \]

Итак, окончательный ответ:

  \[ x\in(-1;0)\cup(4;5]. \]

II способ. Решаем методом интервалов. Преобразуем неравенство к виду:

  \[ \frac{2\log_3(x^2-4x)-\log_3 x^2}{\log_3 x^2}\leqslant 0\Leftrightarrow \]

Вычтем из знаменателя \log_3 1. Это ничего не изменит, поскольку \log_3 1 = 0.

  \[ \frac{\log_3(x^2-4x)^2-\log_3 x^2}{\log_3 x^2-\log_3 1}\leqslant 0 \]

С учетом того, что выражения \log_3 f - \log_3 g и f-g — одного знака при f,\,g>0, в области допустимых значений имеет место следующий равносильный переход:

  \[ \frac{(x^2-4x)^2-x^2}{x^2-1}\leqslant 0\Leftrightarrow \]

  \[ \frac{(x^2-5x)(x^2-3x)}{x^2-1}\leqslant 0. \]

Решение дробно-рационального неравенства

Множество решений данного неравенства

Итак, x\in(-1;1)\cup [3;5], а с учетом области допустимых значений получаем тот же результатx\in(-1;0)\cup (4;5].

  1. Подведение итогов урока. Рефлексия.

  2. Домашнее задание.

  1. Решите неравенство

.

Ответ:

  1. Решите неравенство

< 1.

Ответ: (log310; + ).

  1. Решите неравенство

.

Ответ: .

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: