Разработка темы
«Решение тригонометрических уравнений»
в итоговом повторении в 11 классе,
при подготовке к экзаменам.
Цель уроков:
Повторить и систематизировать раннее изученный материал по решению простейших тригонометрических уравнений.
Повторить методы решения уравнений.
Решить сложные уравнения , встречающиеся на ЕГЭ.
Проверить усвоение материала.
1 урок: «Повторение теоретического материала и решение простейших уравнений» (используя компьютерную презентацию).
2-3 уроки: «Семинар по решению одного уравнения несколькими способами».
4-5 уроки: Решение более сложных уравнений, предложенными способами.
6 урок: Контрольное тестирование по теме, с использованием компьютерной программы.
Урок №1: «Повторение теоретического материала и решение простейших уравнений»
Цель:
Повторить и систематизировать раннее изученный материал по решению простейших тригонометрических уравнений.
Решение уравнений, с выбором ответов.
Воспитывать умение применять полученные знания.
Ход урока:
Решение уравнений вида
.Решение уравнений вида
Решение уравнений вида
и 
Итог урока.
Решение сложных уравнений сводится к решению простейших уравнений:
.
и
Вспомним, как они решаются.
Решение простейших тригонометрических уравнений вида:
.
где 
Частные случаи:
Решить уравнения:
Ответ: 
.
Ответ: 
.
Ответ: 
.
Решите самостоятельно и найдите правильный ответ(найти соответствие):
№ уравнения
Уравнение
№ ответа
Ответ
1
a
2
b
3
c
4
d
5
e
2.Решение простейших тригонометрических уравнений вида:
, где 
если 
, то 
Частные случаи:
Решить уравнения:
1.
Ответ: 
.
2. 
Ответ: 
.
3. 
Ответ: 
.
Решите самостоятельно и найдите правильный ответ (найти соответствие):
№ уравнения
Уравнение
№ ответа
Ответ
a
b
корней нет
c
d
e
3.Решение простейших тригонометрических уравнений вида:
Решить уравнения:
1. 
Ответ: 
.
2. 
Ответ: 
.
3. 
Ответ: 
.
Решите самостоятельно и найдите правильный ответ (найти соответствие)
№ уравнения
Уравнение
№ ответа
Ответ
a
b
c
d
Решение простейшего тригонометрического уравнения вида:
решение аналогичное предыдущему случаю.
4.Итог урока:
Сегодня на уроке мы повторили решение простейших тригонометрических уравнений. На следующем уроке будем повторять методы решения тригонометрических уравнений, для этого класс разбивается на 7 небольших групп, каждая из которых покажет выбранный метод решения уравнения:
.
Можно обращаться за консультацией.
Дома повторить пункты № 9,11, учебник под редакцией А.Н.Колмогорова, стр. 93-106, учебник под редакцией А.Г.Мордковича.
Уроки №2-3: «Семинар по решению одного уравнения несколькими способами»
Класс делится на небольшие группы по 2-3 человека, заранее они получают задания по одному из методов решения уравнений, а затем на уроке показывают своё решение. Остальные учащиеся записывают решение и задают интересующие их вопросы, на которые отвечает данная группа.
ЦЕЛИ УРОКА:
систематизировать знания учащихся по теме;
показать различные методы решения тригонометрического уравнения на примере одного уравнения;
воспитание у учащихся культуры мышления;
формирование умений строить логическую цепочку рассуждений;
показать красоту решения уравнений.
ПЛАН УРОКА:
Решение тригонометрических уравнений различными способами;
Используя формул половинного угла;
Используя формулы приведения
Приведение к однородному квадратному уравнению;
Введение вспомогательного угла;
Используя формулы понижение степени;
Используя универсальные подстановки;
Решение уравнения возведением в квадрат;
Итог урока.
ХОД УРОКА :
1. Постановка целей урока и конечного результата (каждая группа объясняет свое решение, используя кодоскоп, отвечает на возникшие вопросы).
1. 
Используя формул половинного угла.
;
;
;
; или 
разделим на 
;
, 
; 
;
, . 
, 
;
, .
Ответ: 
, ; 
, .
2.
Используя формулы приведения
;
из суммы делаем произведение
;
;
;
;
;
, ;
, ;
, ; 
, 
;
, . 
, .
Ответ: , ; , .
3.
Приведение к однородному квадратному уравнению.
;
;
;
; (верно при любых 
)
;
; или 
;
; 
, 
.
, 
.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: , ; , .
4. 
введение вспомогательного угла
;
;
;
;
, ;
, ;
если 
, то
, 
;
, ;
если 
, то
, 
;
, ;
, .
Второй способ:
разделим на 
:
;
;
;
, ;
, или , .
Ответ: , ; , .
5.
Используя формулы понижение степени:
;
Проверка ОДЗ: 
;
;
;
.
Возведем уравнение в квадрат:
, умножим на 2;
;
;
;
;
; или 
;
, ; 
, ;
, ; 
, .
Если 
-нечетное, 
, то 
;
-1=1 – неверно .
Если 
-нечетное, 
, то 
;
;
-1=1 – неверно.
Если k – чётное, , то 
,
следовательно 
,
1=1 верно
если n – чётное, 
,то 
,
следовательно 
,
1=1 верно.
Ответ: , ; , .
6.
Используя универсальные подстановки:
; 
; 
, при 
.
Применение этой подстановки требует большой осторожности! Следует проверить, а не является ли серия корней 
, корнями данного уравнения (иначе будет потеря корней). Это делается путем подстановки в первоначальное уравнение.
;
Если , , то 
;
;
;
– неверно.
Следовательно , не является корнем уравнения.
Выполним подстановку:
, пусть 
;
;
;
;
; или 
;
; 
;
, ; 
, ;
, . 
, .
Ответ: , ; , .
7.
Решим уравнение возведением в квадрат. Надо быть аккуратными – могут появиться лишние корни.
;
;
;
;
;
, ;
, .
Проверка корней:
Если 
; 
;
;
1=1 – верно;
; 
;
;
1=1 – верно;
; ;
;
-1=1 – неверно;
; 
;
-1=1 – неверно;
Ответ: , ; , .
ИТОГ УРОКА:
Сегодня на уроке мы с вами решили одно уравнение семью способами и это ещё не предел методов решения. При решении уравнений вы можете использовать один из предложенных способов, самое главное каждое уравнение имеет решение и его надо найти!
оценивается работа каждого учащегося, подчеркивается самостоятельность, грамотность при выполнении заданий, взаимопомощь, активность.
ЗАДАНИЕ НА ДОМ:
Решите уравнение 
всеми предложенными способами и попытайтесь найти ещё хотя бы один другой способ решения.
Уроки №4-5: «Решение более сложных уравнений, предложенными способами»
ЦЕЛИ УРОКА:
обобщить полученные знания;
научить нахождению чужих ошибок и не делать своих;
показать красоту решения тригонометрических уравнений.
ПЛАН УРОКА:
Разбор ошибок (с использованием кодоскопа);
Решение тригонометрических уравнений различными способами;
Решение уравнений разложением на множители;
Решение с помощью замены переменных;
Решение однородных уравнений;
Решение уравнений методом преобразования суммы или разности тригонометрических выражений в произведения;
Преобразование произведения в сумму;
Введение вспомогательного угла;
Решение линейных уравнений;
Уравнения, решающие оценкой значений левой и правой частей;
Комбинированные уравнения из заданий ЕГЭ.
Итог урока.
1. Разбор ошибок (с использованием кодоскопа)
1. sinx=0.5
x=(-1)narcsin0.5+2
n, 
x=(-1)n 
+ 
,
.
2. cos3x=0.5
3x=arccos0.5+2n, ,
3x= 
+2 n, ,
x=
.
3. sin4x=2
4sinx=2,
sinx=0.5,
x=(-1)narcsin0.5+ n, ,
x=(-1)n+
.
4. tg2x=5
2x=arctg5+ n, ,
x=arctg2.5+ n, .
2. Решение тригонометрических уравнений различными способами.
1. Решение уравнений разложением на множители:
а) sin2x-cosx=0,
2sinx cosx cos x=0,
cosx(2sin x – 1 =0,
2sin x-1 =0 или cos x =0
sinx=0.5 x=
+ k, 
.
x=(-1)n
+ n, 
.
Ответ: (-1)n+ n, , + k, .
Для домашней работы: sinx+cosx=sinxcosx + 1
2. Решение с помощью замены переменных:
а) 6cos 2x+5sinx-7=0,
6(1-sin 2x)+5sinx-7=0,
6-6sin 2x +5sinx-7=0, sinx=t, ItI 
1,
6t2 -5t+1=0,
t=
t=
sinx= или sinx =0.5
x=(-1)narcsin + n, x=(-1)k + k,
Ответ: (-1)narcsin + n, , (-1)k + k,
Для домашней работы: 1) cos 2x + cosx – 2=0;
2) tg 2x – 3tgx + =0.
б) sin 4x+cos 4x – 2sin2x + 
sin 22x=0,
прибавим и вычтем 2sin2x·cos2x для выделения полного квадрата
(sin2x + cos 2x)2- 0.5(4sin2 xcos2x) + sin22x - 2sin2x = 0,
1- sin22x – 2sin2x + sin22x=0,
sin2 2x – 2sin2x + 1 =0, sin2x = t, -1t1
t2 – 8t + 4 = 0,
D=64- 16 = 48 , D>0, 2 корня
t = 4- 2
,
t = 4 +2, (не удовлетворяет условию -1t1)
sin2x = 4-2 ,
2x = (-1)k arcsin(4-2 ) + k, 
x = (-1)karcsin(4 - 2)+ k, .
Ответ: (-1)karcsin(4 - 2)+ k, .
3. Решение однородных уравнений
asin x +bcosx = 0
asin 2x + bcosxsinx + c cos 2x = 0
Метод: разделив обе части уравнения на sinx( sin 2x) или на cosx(cos 2x) отличных от нуля, иначе не выполняется основное тригонометрическое тождество, получим уравнение линейное или квадратное относительно новой переменной:
atgx + b = 0, a tg 2x + btgx + c =0
Решим уравнение:
6sin 2x + sinx cosx – cos 2x = 2,
6sin 2x + sinx cosx – cos 2x -2 sin 2x – 2 cos 2x =0,
4sin 2x + sinxcosx -3cos 2x = 0 /Разделим на cosx, cosx отличен от нуля
4tg 2x + tgx – 3 =0
tgx=t,
4t2 + t -3=0,
t= -1, t =
tgx = -1, tgx=
x= - 
+ Пn, . x = arctg + Пk, .
Ответ: - + Пn, , arctg + Пk, .
Для домашней работы: sin 5x +cos5x = 0,
3sin 2x – 2sinx cosx – cos 2x = 0.
4. Решение уравнений методом преобразования суммы или разности тригонометрических выражений в произведения
Необходимо действовать по принципу: «увидел сумму, делай произведение»
cos3x + sin2x – sin4x =0,
cos3x + 2 cos
sin
= 0,
cos3x- 2 cos3x sinx = 0,
cos3x (1 – 2sinx) = 0,
cos3x = 0 sinx = 0.5
3x = + П n, , x= (-1)k+ Пk, .
x=+ 
n,
первая серия корней содержит полностью вторую серию корней, следовательно
Ответ: + k, .
5. Преобразование произведения в сумму:
sin5x cos3x = sin6xcos2x,
0.5(sin2x + sin8x) = 0.5(sin8x + sin4x),
sin2x + sin8x =sin8x + sin4x,
sin2x – sin4x = 0,
-2 sinx cos3x =0,
sinx = 0 cos3x = 0
x = П n, 3x = +П k, ,
x = +П k, .
Ответ: П n, , +П k, .
6. Введение вспомогательного угла:
(a,b,c отличные от нуля)
; 
.
Решим следующее уравнение
разделим на 
(так как 
)
,
, 
, 
.
,
,
, ,
, .
Ответ: 
Для домашней работы: 1)
,
2)
3)
.
7. Решение линейных уравнений:
1 способ:
Используя универсальную подстановку:
, 
, 
, но применение этой подстановки требует большой осторожности! Следует проверить, не является ли 
корнем данного уравнения ( иначе будет потеря корня). Это делается путем подстановки данной серии корней в первоначальное уравнение.
Подставим 
и убедимся, что это корень уравнения
,
0-1= -1,
- 1= -1(верно).
пусть 
2 способ решения этого уравнения:
sinx+cosx= -1,
если 
если 
Ответ: 
8. Уравнения, решающие оценкой значений левой и правой частей:
а
) 2sin3x+4cosx=7
Следовательно:
Мы доказали, что данная сумма не должна превосходить 6, а по условию она равна 7, значит уравнение не имеет решения.
б) 3cos3x+cosx=4,
, 
то равенство возможно, если имеет решение система:
,
подставим во второе уравнений значение переменной первого уравнения:
, получили верное равенство, следовательно 
, является решением системы уравнений.
Ответ: 
9. Комбинированные уравнения из заданий ЕГЭ
Чаще всего при решении уравнения используется несколько способов, например С1 из ЕГЭ 2002г.
D<0, решений нет.
Ответ: 
.
Домашнее задание:
Задание В3 из ЕГЭ 2003:
Найти сколько корней имеет уравнение:
Домашнее задание:
Решить уравнение: ЕГЭ-2006:
Домашнее задание: 
Задание С2 из демоверсии 2007 года:
Домашнее задание:
Итог урока
Сегодня на уроке мы повторили и разобрали различные способы решения тригонометрических уравнений.
Домашнее задание было выдано в течение урока, а так же вам необходимо подготовиться к контрольному тесту по данной теме, который будете сдавать на компьютерах.
Каждый отвечающий получил оценку.
Урок №6: Контрольное тестирование по теме, с использованием компьютерной программы.
Тест по теме «Тригонометрические уравнения». Для запуска программы выполните следующие действия:
На диске CD-ROM открыть папку «ТРИГОНОМ_УРАВНЕНИЯ»
Запустить программу trigon.exe
В появившемся окне выбрать нужный вариант.
Решить предложенное уравнение и выбрать вариант ответа. Нажав на кнопку соответствующую варианту ответа, произойдет переход к следующему заданию. Всего заданий для каждого варианта семь.
После выполнения всех заданий компьютерная программа выдаст результат на экран. Программа ставит следующие оценки:
«ОТЛИЧНО» – при всех правильных ответах;
«ХОРОШО» – при одном неверном ответе;
«УДОВЛЕТВОРИТЕЛЬНО» – при двух неверных ответах;
«НЕУДОВЛЕТВОРИТЕЛЬНО» – при трех и более неверных ответах;
Для выхода из программы нажмите кнопку «Выход».