РАЗВИТИЕ ПОЗНАВАТЕЛЬНЫХ СПОСОБНОСТЕЙ УЧАЩИХСЯ.
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЛОГИКО- СМЫСЛОВЫХ СХЕМ ПРИ ОБУЧЕНИИ
МАТЕМАТИКЕ.
Урок алгебры в 10 классе
Тема урока: «Решение уравнений, приводимых к квадратным, рациональными способами».
Данная тема не входит в программный материал. Изучается эта тема с целью развития познавательного интереса к данной теме, умения нестандартно, творчески подходить к решению самых разнообразных задач. Поскольку в курсе алгебры и начала анализа 10-11 кл. содержится много уравнений, одним из способов, решения которых является «приведение уравнения к квадратному», то овладение рациональными способами решения квадратных уравнений является актуальным. Эта тема является одним из пунктов логико-смысловой модели темы «Квадратные уравнения».
Исходя из анализа уровня обученности, считаю, что в этом классе более приемлем дифференцированный подход к обучению. С этой целью для работы на уроке запланирована двухуровневая самостоятельная работа. Норма оценки и подбор упражнений в каждом уровне позволяют учащимся самостоятельно определить для себя темп работы и количество выполненных заданий. В ходе урока учащиеся продолжают развитие самоконтроля, взаимоконтроля и самооценки. Используя логико-смысловую модель, учащиеся делают выводы, обобщения.
Урок алгебры в 10 классе
Тема урока: ««Решение уравнений, приводимых к квадратным, рациональными способами».
Цели урока:
Обобщить и систематизировать знания учащихся о рациональных способах решения квадратных уравнений.
Развивать умение применять полученные знания на практике: умение делать выводы; умение работать в должном темпе; умение осуществлять самоконтроль.
Воспитание положительной мотивации к обучению.
Ход урока.
Этап организации урока. Внешняя и внутренняя готовность учащихся к уроку.
I Организационный этап урока:
а) приветствие;
б) визуальная проверка готовности учащихся к уроку;
в) информация о теме урока и его задачах;
г) запись темы урока в тетрадь учащихся;
Целесообразность изучения данной темы.
Мотивация запоминания и длительного хранения в памяти.
Повторение и анализ основных фактов.
Демонстрация наглядности
Решение обучающей цели урока.
Проверка знаний.
II (Фронтальная работа с классом)
Воспроизведение и коррекция опорных заданий.
Ребята, сегодня мы продолжаем систематизацию и обобщение по теме: «Решение квадратных уравнений».
Мы уже много раз говорили о том, что в курсе математики очень много задач решается с помощью квадратных уравнений. Поэтому очень важно научиться решать эти уравнения быстро. На сегодняшнем уроке мы с вами повторим и обобщим знания о решении квадратных уравнений рациональными способами. Эти знания понадобятся вам при изучении следующей темы. Необходимость решения квадратных уравнений быстро обусловлена введением ЕГЭ.
Задание: Провести обобщение темы «Квадратные уравнения» используя логико-смысловую модель.
(Двое ребят по схеме устно проводят систематизацию материала, используя схему, класс помогает в случае необходимости).
б) Математический диктант.
I вариант: 2х2+3х-5=0
II вариант: 2х2-5х+3=0
Реализация воспитательной цели урока.
6 (верно выполненных) заданий – 3 балла
4 задания – 2 балла
2 задания – 1 балл
Система упражнений:
Назовите коэффициенты а, в, с в данном уравнении.
Найдите произведение коэффициентов а и с.
Разложите полученное число на множители.
Выберите ту пару чисел, сумма которых равна – в.
Запишите сумму коэффициентов а, в, с и вычислите её.
Решите данное уравнение, используя формулы.
Самопроверка:
Сверившись с ответами, оцените каждое правильно выполненное задание в 0,5 балла.
I вариант:
а=2, в=3, с=-5
а*с=2*(-5)=-10
-10=-1*10=1*(-10)==-2*5=2*(-5)
а+в+с=2+3+(-5)=0
-5*2; -5+2=-3
Д=49>0, 2 корня х1=1; х2=
Ответ: -
; 1
II вариант:
а=2, в=-5, с=3
а*с=2*3=6
6=-1*(-6)=1*6=-2*(-3)=2*3
2*3; 2+3=5
а+в+с=2+(-5)+3=0
Д=1>0, 2 корня х1=1; х2=
Ответ: 1;
Дополнение записей на доске.
Повторение основополагающих знаний.
Применение знаний к выполнению практических заданий.
Реализация развивающей цели урока.
Демонстрация возможности выбора оптимального метода решения квадратного уравнения.
II (Фронтальная работа с классом)
Постановка вопросов.
- Каков результат, ребята, вы получили при выполнении задания №5?
- Определите взаимосвязь между одним из корней уравнения и коэффициентами а и с.
- Что можно сказать о втором корне уравнения?
Итак, мы выявим закономерную связь между коэффициентами уравнения и его корнями. Вспомните словесную группировку этого свойства.
На доске: ах2+вх+с=0
Если а+в+с=0, то х1=1, х2=
Ребята, мы с вами знакомы с ещё одним свойством коэффициентом квадратного уравнения. Кто его нам напомнит.
На доске: ах2+вх+с=0
Если а + (-в) + с = 0, то х1 = -1, х2 = -
Устно:
Задание: решите квадратное уравнение.
1 балл. №1 132х2+247х+115=0Так как 132+(-247)+115=0, то х1=-1, х2=-
1 балл №2 -345х2+137х+208=0Так как -345+137+208=0, то х1=1, х2=-
2 балла №3 mх2-3mх+2m=0Так как m-3m+2m=0, то х1=1, х2=
=2
Вернёмся к уравнению 2х2+3х-5=0. Какой ещё рациональный метод можно использовать при решении этого уравнения? Верно, «Метод переброски». В чём суть этого метода?
*
2 х2 + 3х – 5 =5
2*5 = -10 → 2=t1 Промежуточные корни, причём
↓ t1+t2=-3 и t1*t2=2*(-5) =-10
-5 = t2
x1 = 
; x2 = 
Примечание: коэффициент а умножается на коэффициент с, как бы «перебрасывается» к нему.
Этот способ применим, когда можно легко найти корни, используя теорему обратную теореме Виета.
Перенос повторенных знаний и их применение в новых или изменённых условиях.
Осуществление дифференцированного подхода к обучению.
Умение применять знания в нестандартных ситуациях.
III Завершающий контроль.
(проверка усвоенного на уроке)
I группа ребят выполняет индивидуальные задания, пользуясь таблицами коррекции знаний (см. Приложение).
II группа ребят работает устно, используя набор упражнений (см. Приложение).
После устной работы группа II работает самостоятельно над решением квадратных уравнений, выбирая оптимальный способ решения. Затем выполняют самооценку.
В это время на доске идёт:
а) демонстрация решения одного и того же уравнения разными способами. После самостоятельной работы идёт устное обсуждение решения.
б) решение уравнения, приводимого к квадратному.
2 балла:
а) При каком значении р один из корней уравнения х2 – рх + 6 = 0 равен 1? Найти х2
Ответ: р = 7, х2 = 6
3 балла:
б) Решите уравнение, используя введение нового неизвестного:(у2 + 2у + 4)2 – 7(у2 + 2у + 4) + 12 = 0
Пусть у2+ 2e + 4 = t , тогда
t 2 – 7t + 12 = 0?
t1 = 3, t2 = 4
у2 + 2у + 4 = t1, 2. у2 + 2у + 4 = t2у2 + 2у + 4 = 3, у2 + 2у + 4 = 4,у2 + 2у + 1 = 0, у2 + 2у = 0,т.к. 1+(-2) + 1 = 0, то у(у + 2) = 0, тоу1 = - 1; у2 = - 1. у3 = 0 или у+2 = 0 у4 = - 2
Ответ: -2; -1; 0.
IV Постановка домашнего задания.
Реализация развивающей цели урока
V Итог урока.
а) Самооценка учащимися своей работы на уроке (на доске помещены нормы оценок).
б) Ещё раз повторить словесную группировку свойств и «метода переброски».
I УРОВЕНЬ
Знаки корней уравнения ах2 + вх + с = 0
Если а > 0; в > 0, с > 0, то х1< 0, х2 < 0
Если а > 0; в > 0 , с < 0, (а > 0; в< 0 , с > 0) то х1 и х2 имеют разные знаки, причём меньший из них имеет знак коэффициента в.
УПРАЖНЕНИЯ
№1. Устно. Решите уравнение:
а) 19х2 – 24х + 5 = 0;
б) х2 + 17х + 16 = 0;
в) 2х2 – 9х + 9 = 0;
г) х2 – 11х + 30 = 0. (1 балл)
№2. При каком значении р один из корней уравнения х2 – рх + 9 = 0 равен 1? Найдите х2. (2 балла)
№3. Решите уравнение, используя введение нового неизвестного:
а) (5х + 1)2 + 6(5х +1) – 7 = 0 (2 балла)
б) (2х2 + 3х)2 - 7(2х2 + 3х) = -10 (2 балла)
в)* (х2 + х + 1)2 – 3х2 – 3х – 1 = 0 (3 балла)
Выполни самопроверку, используя ответы.
Оцени каждое правильно решённое уравнение.
Желаю удачи!
ОТВЕТЫ.
№2.
1 способ: х2 – рх + 9 = 0, х1 = 1? Найти р и х2.
Воспользуемся свойством коэффициентов. Если а + в + с = 0, то х1=1.
а = 1; в = - р; с = 9
1 – р + 9 = 0, значит р = 10, тогда
х2 = 
Ответ: х2 = 9, р = 10.
2 способ: х2 – рх + 9 = 0, х1 = 1? Найти р и х2.
По теореме обратной теореме Виета.
х1*х2 = 9 → 1*х2 = 9, х2 = 9
х1 + х2 = р, т.к. х1 = 1, то 1 + 9 = 10, р = 10
Ответ: х2 = 9, р = 10.
№3.
а) (5х + 1)2 + 6(5х +1) – 7 = 0
Пусть 5х + 1=t, тогда уравнение примет вид t2 + 6t – 7 = 0,
По теореме обратной теореме Виета:
t1 = 1;
5х + 1 = t1
5х + 1 = 1
5х = 0
х1 = 0
t2 = -7
5х + 1 = t2
5х + 1 = -7
5х = -8
х2 =
Ответ: 
; 0.
б) (2х2 + 3х)2 - 7(2х2 + 3х) = -10
Пусть 2х2 + 3х =t, тогда уравнение примет вид t2 - 7t = -10,
t1 = 2;
2х2 + 3х = t1
2х2 + 3х = 2
2х2 + 3х - 2= 0
х1 =
; х2 = 
t2 = 5
2х2 + 3х = t2
2х2 + 3х = 5
2х2 + 3х – 5 = 0
х3= 1; х4 =
Ответ: -2,5; -2; ; 1.
в)* (х2 + х + 1)2 – 3х2 – 3х – 1 = 0
(х2 + х + 1)2 – 3х2 – 3х – 1 – 2 +2 = 0
(х2 + х + 1)2 – 3(х2 – х + 1) +2 = 0
Ответ: 0; -1; - 
; - 
II УРОВЕНЬ
Решение квадратных уравнений с использованием таблиц коррекции знаний.
Внимательно просмотри задание и определись с выбором варианта.
Если испытываешь затруднения, то обратись за помощью к левому столбцу таблицы. Прочитай свойство (метод), рассмотри приведённый пример.
Попробуй решить задание самостоятельно, пользуясь образцом.
Пользуясь готовыми ответами, выполни самопроверку (взаимопроверку).
Оцени каждое правильно решённое задание в 1 балл.
Подсчитай полученное число баллов и проставь его на полях тетради.
Я думаю, что у тебя всё получится!
1. свойства коэффициентов квадратного уравнения.
Правило, образец
Задание
ах2 + вх + с = 0
1. Если а + в + с = 0, то х1 = 1, х2 = 
Пример 1: х2 + 5х – 6 = 0
а = 1, в= 5, с = -6.
Т.к. а + в + с = 1 + 5 + (-6) = 0,
То х1 = 1; х2 = 
.
Ответ: -6; 1.
2. Если а +(-в) + с =0, то х1 =-1, х2=-.
Пример 2: -2х2 - 3х – 1 = 0
а = -2, в= -3, с = -1
Т.к. а + в + с = -2 + (-(-3)) + (-1)= 0,
То х1 = -1; х2 = 
.
Ответ: -1; 
.
I вариант
№1. 5х2 - 4х – 1 = 0
№2. х2 - 4х – 5 = 0
№3. х2 + 6х + 5 = 0
№4. 7х2 - 8х + 1 = 0
№5. 3х2 - 5х + 2 = 0
II вариант
№1. х2 - 3х – 4 = 0
№2. 4х2 + 6х – 10 = 0
№3. 2х2 + 5х + 3 = 0
№4. х2 + 10х - 11 = 0
№5. 3х2 - 4х + 1 = 0
*
№1. х2 - 9х – 10 = 0
№2. 2х2 - 3х + 1 = 0
№3. ах2 - 2ах + а = 0
№4. вх2 + 3вх + 2в = 0
№5. 5сх2 – 6сх + с = 0
2. «МЕТОД ПЕРЕБРОСКИ».
Правило, образец
Задание
ах2 + вх + с = 0, а ≠ 0
*
а х2 + вх + c = 0
a * c → t1 * t2
t
1*t2 = a*c,
=> х1 =
, х2 = 
t1 + t2 = - в
Пример:
*
2 х2 – 9х + 10 = 0
а*с = 2*10 = 20
20 = 5*4
х1 = 
; х2 = 
.
Ответ: 2; 2,5.
I вариант
№1. 2х2 - 9х + 9 = 0
№2. 5х2 +12х + 4 = 0
№3. 7х2 - 4х - 11 = 0
№4. 2х2 - 11х + 15 = 0
№5. -3х2 + 13х - 10 = 0
II вариант
№1. 2х2 - 7х + 6 = 0
№2. 2х2 - х – 1 = 0
№3. -3х2 + 2х + 5 = 0
№4. 5х2 - 6х + 1 = 0
№5. 4х2 + 7х - 2 = 0
*
№1. 3х2 - 11х – 14 = 0
№2. 3m2 + 11m + 6 = 0
№3. 5t2 – 11t + 6 = 0
№4. 2а2 + а - 10 = 0
№5. -6у2 + 5у - 1 = 0
ОТВЕТЫ:
1. Свойства коэффициентов квадратного уравнения.
I вариант.
№1. т.к. 5 + (-4) + (-1) = 0, то х1 = 1; х2 = - 
;
№2. т.к. 1 + 4 - 5 = 0, то х1 = -1; х2 = 5;
№3. т.к. 1 + (-6) + 5 = 0, то х1 = -1; х2 = -5;
№4. т.к. 7 - 8 + 1 = 0, то х1 = 1; х2 = 
;
№5. т.к. 3 - 5 + 2 = 0, то х1 = 1; х2 = 
.
II вариант.
№1. т.к. 1 + 3 - 4 = 0, то х1 = -1; х2 = 4;
№2. т.к. 4 + 6 - 10 = 0, то х1 = 1; х2 = - 
;
№3. т.к. 2 - 5 + 3 = 0, то х1 = -1; х2 = - 
;
№4. т.к. 1 + 10 - 11 = 0, то х1 = 1; х2 = - 11;
№5. т.к. 3 - 4 + 1 = 0, то х1 = 1; х2 = 
.
*
№1. т.к. 1 + 9 - 10 = 0, то х1 = -1; х2 = 10;
№2. т.к. 2 - 3 + 1 = 0, то х1 = 1; х2 =
;
№3. т.к. а – 2а +а = 0, то х1 = 1; х2 = 
;
№4. т.к. в -3в + 2в = 0, то х1 = -1; х2 = - 
;
№5. т.к. 5с – 6с + с = 0, то х1 = 1; х2 = 
.
ОТВЕТЫ:
2. «Метод переброски».
I вариант.
№1. х1 = 
=3; х2 = =1,5.
№2. х1 = 
=-2; х2 = 
.
№3. х1 = 
; х2 = 
.
№4. х1 = ; х2 = 
.
№5. х1 = -
=-1; х2 = -
.
II вариант.
№1. х1 = =3; х2 = =0,5.
№2. х1 = ; х2 = 
.
№3. х1 = 
; х2 = 
.
№4. х1 = 
; х2 = 
.
№5. х1 = -
; х2 = 
.
*
№1. х1 = -1; х2 = 
№2. х1 = 
; х2 = 
.
№3. х1 = ; х2 = 
.
№4. х1 = 
; х2 = 
.
№5. х1 =
; х2 = 
.