Конспект урока алгебры и начала анализа в 11 классе
по теме: «Тригонометрические уравнения (урок обобщения и систематизации знаний)»
учителя математики МОУ СОШ № 2 г. Питкяранта РК
Никитиной С.В.
Тип урока: Урок обобщения и систематизации.
Методы:
- частично-поисковый;
- поисковый;
- проблемный;
-исследовательский – решение познавательных обобщающих задач;
- системные обобщения;
- самопроверка;
- самооценка.
Использованные технологии: технология сотрудничества – работа в малых группах, когда успех всех зависит от успеха каждого; информационная технология – использование возможностей компьютера.
Цель урока: Обобщить и систематизировать знания по теме «Тригонометрические уравнения», продолжить работу по подготовке к ЕГЭ.
Ход урока:
1°. Орг. момент
2°. Разминка
3°. Повторение.
4°. Решение простейших тригонометрических выражений. Индивидуальные задания.
5°. Работа в группах.
6°. Индивидуально-дифференцированная работа.
7°. Итог урока.
8. Задание на дом.
Формы организации труда:
- индивидуальная;
- фронтальная;
- групповая;
- индивидуально-дифференцированная.
1°. Орг. момент.
Сегодня на уроке мы обобщаем и систематизируем полученные знания по теме «Тригонометрические уравнения», напоминая основные и специальные методы их решения, повторяя формулы и приёмы и тем самым – продолжаем подготовку к ЕГЭ
Девизом урока предлагаю слова Сухомлинского, зашифрованные в ребусе. Для этого надо решить устные упражнения и по ответам находить слова этого крылатого выражения:
1) sin (π+ x)
2) arccos (-x)
3) sin x = 0
4) 2 cos x = 1
5) 5sin2x-7+5cos2x
6) arctg 1
7) cos x = a
ctg x = a
9) x2 + 5x +6 =0
10)sin π/4 +cos π/2
11) sin (-x)
12)arcsin(-/2)
13)y = cos(x-π)
14)arcctg(-1)
15) arccos (- 1/2)
16) sin (3π/2 – x)
17) ctg(- x)
18)arcsin(-1)+arccos1
19) sin x = a
20) tg x = a.
21) tg π/4
22) 72
23) sin2x+ tgxctg x +cos2x
24)
X =
У Ч И Т Е Л Ь
Б У Д У Щ Е М
-2 и 3
В Ы
– sin x
С Е Г О Д Н Я
–
У Ч И Т Е Л Я,
В
X = arcctg a + πn, n ЄZ
И
X= arctg a + πn,nЄZ
В
π– arccos x
М Ы
2
П Р О Г Р Е С С А
-
Н О
X= (- 1)narcsin a +πn, n Є Z
И Н А Ч Е
X=πn, nЄZ
У Ч И М С Я
У Ч Е Н И К
X=
В М Е С Т Е
2
Б У Д Е Т
М О И
49
НЕ
– cos x
Д О Л Ж Е Н
– 2
Я
2
Н А У К Е
– sin x
У Ч Е Н И К И.
– ctg x
П Р Е В З О Й Т И
ВАШ
На плакате появляется эпиграф урока: “Сегодня – мы учимся вместе: я, ваш учитель и вы мои ученики. Но в будущем ученик должен превзойти учителя, иначе в науке не будет прогресса ”. (Сухомлинский)
На доске записаны уравнения. Исходя, из записей на доске определите тему нашего урока.
« Решение тригонометрических уравнений»
Верно, подготовка к ЕГЭ.
Давайте подумаем, что мы должны хорошо знать, для того, чтобы решить тригонометрическое уравнение.
Выслушиваются ответы учащихся (формулы по тригонометрии, решение простейших тригонометрических уравнений, способы решения уравнений и т.д.)
Слабым учащимся дается задание заполнить таблицу в парах
Задание: заполнить 3 столбец таблицы
-
Значения
а
Уравнение
Формулы решения уравнений
sinx=a
sinx=a
уравнение решений не имеет
а=0
sinx=0
а=1
sinx= 1
а= -1
sinx= -1
cosx=a
cosx=a
уравнение решений не имеет
а=0
cosx=0
а=1
cosx= 1
а= -1
cosx= -1
tgx=a
ctgx=a
Для остальных:
2°. Разминка. Диктант «Верно - неверно» (самопроверка)
3.Три слабых ученика к доске - решить простейшие уравнения (тем, кто записывал формулы)
А1
А3
А 4
Проверяют сильные ученики
4.Классу задания: на доске записаны уравнения, разделите их на группы по способам решения
3 sin²x + cos²x = 1 - sinx cosx
4 соs²x - cosx – 1 = 0
2 sin² x/2 + cosx = 1
cosx + cos3x = 0
2 sinx cos5x – cos5x = 0
2sinxcosx – sinx = 0
3 cos²x - cos2x = 1
6 sin²x + 4 sinx cosx = 1
4 sin²x + 11sinx = 3
sin3x = sin17x
А для этого надо вспомнить методы решения тригонометрических уравнений, которые мы знаем
Обсудите в парах, какие способы вам известны.
Учащиеся вспоминают и называют способы. Затем показывается слайд с методами решения.
После этого учащимся дается задание по вариантам (для проверки поменялись тетрадями вариант со своим вариантом)
Вариант I
Предложите способ решения данного тригонометрического уравнения:
1)приведение к квадратному;
2)приведение к однородному;
3)разложение на множители;
4)понижение степени;
5)преобразование суммы тригонометрических функций в произведение.
Уравнение
Способы решения
1
2
3
4
5
а)3 sin²x + cos²x = 1 - sinx cosx
б)4 соs²x - cosx – 1 = 0
в)2 sin² x/2 + cosx = 1
г) cosx + cos3x = 0
д)2 sinx cos5x – cos5x = 0
Вариант II
Предложите способ решения данного тригонометрического уравнения:
1)приведение к квадратному;
2)приведение к однородному;
3)разложение на множители;
4)понижение степени;
5)преобразование суммы тригонометрических функций в произведение.
Уравнение
Способы решения
1
2
3
4
5
а)2sinxcosx – sinx = 0
б)3 cos²x - cos2x = 1
в)6 sin²x + 4 sinx cosx = 1
г)4 sin²x + 11sinx = 3
д) sin3x = sin17x
5.Физминутка
Задание для снятия утомляемости глаз: нельзя водить руками, а лишь только глазами В таблице расположены числа от 1 до 20, но четыре числа пропущены. Ваша задача: назвать эти числа.
5
13
18
3
19
1
8
16
12
14
20
10
4
9
15
6
6.Дома было дано задание, придумать как можно больше способов решения уравнения
К доске выходят три ученика и записывают по 2 различных способа (объясняют)
7.Учащимся предлагается выполнить задание С1:
а) Решите уравнение .б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
.Решение.
а) (один ученик у доски): Так как (формула косинуса двойного угла),
(формула приведения), то
,
,
(вынесение за скобки общего множителя).Корни уравнения:
,
.б) Работа по группам:
1 группа. Отбор корней по единичной окружности.
Корни уравнения изображаются точками А и В, а корни уравнения
- точками C и D, промежуток
изображен жирной дугой (см. рис.). В указанном промежутке содержатся три корня уравнения:
и
.
б)Ответ:
.2 группа. Отбор корней по графику.б) Корни, принадлежащие промежутку
, отберем по графику
. Прямая
(ось
) пересекает график в единственной точке
, абсцисса которой принадлежит промежутку
.Прямая
пересекает график ровно в двух точках, абсциссы которых принадлежат
(см. рис.). Так как период функции
равен
, то эти абсциссы равны, соответственно,
и
.
В промежутке
содержатся три корня:
.3 группа. Отбор корней перебором значений.б) Пусть
.
Подставляя
, получаем
. Промежутку
принадлежит только
.Пусть
. Подставляя
, получаем:
.Промежутку
принадлежат только
.Промежутку
принадлежат корни:
.
4 группа. Отбор корней аналитически с помощью неравенств.
б) Отберем корни, принадлежащие промежутку.Пусть
.
. Тогда
.Корень, принадлежащий промежутку
:
.Пусть
Z.Тогда
.Корень, принадлежащий промежутку
:
.Пусть
Z.Тогда
.Корень, принадлежащий промежутку
:
.Промежутку
принадлежат корни:
.
8. Работа в группах.
Каждой группе предложено несколько уравнений. Необходимо, если возможно, определить вид уравнений и метод, который будет использоваться в решении этих уравнений. Решить уравнения и одно - два из них (по выбору группы) записать на доске и прокомментировать решение.
1 группа Уравнения, решаемые алгебраическими методами (методом разложения на множители, методом введения новой переменной). Выбрать корни принадлежащие промежутку [п/2; 2п] в 1 и 2 уравнениях
2 группа Однородные уравнения и сводимые к ним. Выбрать корни принадлежащие промежутку [п/2; 2п] в 1 и 2 уравнениях
3 группа Неоднородные уравнения. Выбрать корни принадлежащие промежутку [ п/2; 2п] в 1 и 2 уравнениях
4 группа Уравнения, решаемые при помощи преобразований, на основе формул преобразования сумм в произведение, произведения в сумму, понижения степени. Выбрать корни принадлежащие промежутку [п/2; 2п] в 1 и 2 уравнениях
9. Решение уравнений
Индивидуально-дифференцированная работа. Дети выбирают сами. Сколько успеют, остальное по выбору решают дома.
На “3”. Решите уравнения: 1) sinx =
2) cos2 x – 9 cos x + 8 = 0
3)
На “4”. Решите уравнение:
1) cos 2x – 9cos x +8=0
2) sin 2x sin 3x=0
3) cos x + sin x = 0
4) (cos x – 1)
На “ 5”. Решите уравнение:
1) 2cos2x + 3sin x = 0
2) 3 sin x cos x – cos2 x = 0
3) Найдите среднее арифметическое корней уравнения
cos2 x + sin x cos x = 1 на промежутке [-π;π]
4)
5) 3 – 4 sin2 (3x+
6) | cos | = 2cos x –sin x.
10.Итог урока.
По окончании урока каждый ученик сам себя оценивает, отмечает это в листе учета. Подводятся итоги урока, анализируется работа каждого ученика.
Ф.И учащегося____________________________________________________________
№
Название этапа
Количество верных шагов
Оценка
Оценка
1
Девиз
2
Разминка (верно – неверно)
3
Повторение. (Выбор способа решения уравнения)
4
Индивидуальное задание
5
Работа в группах.
6
Индивидуально-дифференцированная работа.
8. Домашняя работа индивидуально-дифференцированная, причем каждому ученику есть возможность “ продвинуться”, те кто решал на “3” дома будет решать на “4”, кто на “4”,тот на “5”,а кто на “5”, тот на “5/5”.
Предлагаю закончить урок словами Я.А.Коменского: “ Считай несчастным тот день или тот час, в который ты не усвоил ничего нового и ничего не прибавил к своему образованию ”.