МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
«КАЧУЛЬСКАЯ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА»
План-конспект урока
математики в 10 классе по теме
«Отбор корней в тригонометрических уравнениях»
Составитель:
учитель математики
высшей квалификационной категории
МБОУ «Качульская СОШ»
Каратузского района
Красноярского края
Кармышева Т.И
Тип урока: урок повторения, обобщения и систематизации изученного материала.
Цель урока:
совершенствовать навыки решения простейших тригонометрических уравнений;
закрепить умение выполнять отбор корней тригонометрического уравнения на числовой окружности, перебором по параметру и с помощью решения неравенства;
стимулировать учащихся к овладению рациональными приёмами и методами решения тригонометрических уравнений;
развивать логическое мышление; умение выделять главное, проводить обобщение, делать верные логические выводы;
воспитывать качества характера: настойчивость в достижении цели, умение не растеряться в проблемной ситуации.
Ход урока
I. Организационный момент.
Проверка готовности к уроку, приветствие.
II. Актуализация опорных знаний (учащимся предлагается заполнить третий столбец таблицы: формулы решения простейших тригонометрических уравнений).
Значения
а
Уравнение
Формулы решения уравнений
sinx=a
sinx=a
уравнение решений не имеет
а=0
sinx=0
а=1
sinx= 1
а= -1
sinx= -1
cosx=a
cosx=a
уравнение решений не имеет
а=0
cosx=0
а=1
cosx= 1
а= -1
cosx= -1
tgx=a
ctgx=a
III.Практическая работа по выполнению заданий стандартного типа и упражнений, требующих переноса знаний в изменённые ситуации
№1 а) Решите уравнение 2sin3x-2sinx+cos2x=0.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-7π/2; - 2π].
Решение.
б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку [-7π/2; -2π]
Получим числа: - 7π/2; -19π/6;-5π/2.
Ответ: а)π/2+πn, π/6+2πn, 5π/6+2πn, nЄZ; б) - 7π/2, -19π/6,-5π/2.
№2 а) Решите уравнение 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
.
Решение:
а) sin 2x = cosx2sin x cos x = cos xcos x (2sin x – 1) = 0cos x = 0 или 2sin x – 1 = 0 
Отбор корней 
Ответ: , , ; 
.
№3 а) Решите уравнение 
. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Решение:Сделаем замену 
, получим квадратное уравнение 
корнями которого являются числа
и 
Уравнение 
не имеет решений, а из уравнения 
находим искомые корни:
или 
, 
.
Найдем корни, принадлежащие отрезку Решим неравенства:
или 
;
Соответствующие найденным значениям параметров корни: 
и 
.
Ответ:
.Заданному отрезку принадлежат корни
и
№4 а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
.Решение:а) Запишем уравнение в виде
Значит, или sin x = 0, откуда 
, 
,или cos x = -0,5 откуда
, 
.
б) С помощью числовой окружности отберем корни уравнения, принадлежащие отрезку .
Получим числа: 
, 
и 
.
Ответ:а)
, ; 
, ;б), и 
№5 а)Решите уравнение 3sin2x = 10 cos2x – 1
б) Найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку 
.
Решение: Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством и формулой двойного угла для синуса. Получим уравнение
6sinxcosx = 10cos2x – sin2x – cos2x, т.е. sin2x – 9cos2x+ 6sinxcosx = 0
, т.к. в противном случае sinx = 0, что не может быть, так как не существует углов, для которых одновременно синус и косинус равные нулю в виду sin2x+ cos2x = 0.
Разделим обе части уравнения на cos2x получим
tg2x+ 6tgx – 16 = 0
Пусть tgx = t, тогда t2+ 6t – 16 = 0, t1 = 2,t2 = –8.
tgx = 2 или tg = –8; 
Рассмотрим каждую серию отдельно, находя точки внутри промежутка 
, и по одной точке слева и справа от него.
1) 
.
Если к=0, то x=arctg2. Этот корень принадлежит рассматриваемому промежутку.
Если к=1, то x=arctg2+
. Этот корень тоже принадлежит рассматриваемому промежутку.
Если к=2, то 
. Ясно, что данный корень не принадлежит нашему промежутку.
Мы рассмотрели одну точку справа от данного промежутка, поэтому к=3,4,… не рассматриваются.
Если к = –1, получим 
– не принадлежит промежутку 
.
Значения к = –2, –3,…не рассматриваются.
Таким образом, из данной серии два корня принадлежат промежутку
Это 
2) 
Аналогично предыдущему случаю убедимся, что при п = 0 и п = 2, а, следовательно, при п = –1, –2,…п = 3,4,… мы получим корни, не принадлежащие промежутку . Лишь при п=1 получим 
, принадлежащий этому промежутку.
Ответ: 
IV. Самостоятельная работа
Решите уравнения:
а) 2cos2x+(2-√2)sinx+√2-2=0.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-3π; -2π].
Решение.
a) 2(1-sin2x)+2sinx-√2sinx+√2-2=0; 2-2sin2x+2sinx-√2sinx+√2-2=0; -2sinx(sinx-1)-√2(sinx-1)=0;
б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку [-3π; -2π].
Получим числа: -11π/4;-9π/4.
Ответ: а) π/2+2πn, -π/4+2πn, -3π/4+2πn, nЄZ; б) -11π/4, -9π/4.
а) Решите уравнение cos(3π/2-2x)=√2sinx.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [3π; 9π/2]
Решение.
б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку [3π; 9π/2].
Получим числа: 13π/4;3π;4π.
Ответ: а)πn, ±3π/4+2πn, nЄZ; б) 13π/4,3π, 4π.
а) Решите уравнение1/tg2x – 3/sinx+3=0.
б) Укажите корни, принадлежащие отрезку [-4π; -5π/2]
Решение.
б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку [-4π;-5π/2].
Получим числа: -19π/6;-7π/2;-23π/6.
Ответ: а)π/2+2πn, π/6+2πn, 5π/6+2πn, nЄZ; б)-19π/6,-7π/2,-23π/6. Выполненная самостоятельная работа сдается учителю на проверку.
V. Подведение итогов урока. Рефлексия. Задание на дом.
1) № 149 (учебник Алгебра и начала анализа под редакцией. А.Н. Колмогорова).
2) Решить уравнение: (cos x – sin x) 
=0
Литература
Колмогоров А.Н. Алгебра и начала анализа, учебник для 10-11 классов общеобразовательной школы, «Просвещение»,2010г.
Попов М.А. Контрольные и самостоятельные работы по математике -10 класс, «Экзамен»,2012г.
Ивлев Б.М. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа 10 класс, «Просвещение», 2008г.
Максимовская М.А. Тесты. Математика 5-11 классы, «Олимп», 2008г
КорешковТ.А. Математика. ЕГЭ. Типовые тестовые задания, «Экзамен», 2005-2010г.
Креславская О.А. Математика. ЕГЭ. Сдаём без проблем, «Эксмо», 2012г.
Денищева Л.О. Математика. ЕГЭ-2009-2013, «Интеллект -
Центр», 2008-2012г.