Разработка темы:
Решение квадратных уравнений
Учитель – Тхайшаова Н.Г.
Тема: Квадратные уравнения. Способы их решения.
Цель: Научить решать квадратные уравнения различного вида разными способами.
Количество часов уроков: 2 урока (спаренные ).
План
Повторение темы «Линейные уравнения»
Новый материал. Тема: «Квадратные уравнения»
Полные квадратные уравнения;
Неполные квадратные уравнения;
Из истории квадратных уравнений;
Решение неполных квадратных уравнений;
Способ выделения квадрата двучлена при решении полных кв. уравнений;
Графический способ решения полных квадратных уравнений;
Вывод формул для решения полных кв. уравнений;
Теорема Виетта (для полных кв. уравнений при а=1 и при а ≠1)
Обобщение темы.
Задания к зачету.
Викторина.
Итог урока и домашнее задание.
Ход урока.
Вспомним виды уравнений.
(я пишу уравнение, а ребята называют его вид)
5х-3=2+4х
3х2-14=8х-х2
х3+27=0
ах+в=с-х
ах2+вх=с
Сделаем вывод, что такое уравнение. Всякое равенство, содержащее неизвестную величину, обозначенную какой-либо буквой, называется уравнением.
Так что же такое решить уравнение? Решить уравнение – это значит найти все его корни или убедиться в их отсутствии.
Например: уравнение ½=0 не имеет решения.
Для решения уравнений вызываю трех учеников.
3х-2=5х+4
Ответ: х=-3
|х-1 | +2=3
решение: |х-1 |=
Следовательно, решение уравнения разбивается на решение двух систем.
а)
не является решением уравнения, т.к. 0,5<1
в)
Т.к. ¾<1, то x=¾ является решением уравнения.
Ответ: ¾
(3х+4в)+(7в+2х)=13в и указать при каких «в» корень уравнения положительное число.
х=16в, при в >0 корень уравнения х >0
Ответ: 16в, корень уравнения положительное число, при в >0.
Новый материал.
Изучение темы «Квадратные уравнения»
Что же такое квадратные уравнения? Какие они бывают? (даем опрос)
Уравнения вида ах2+вх=0 ,ах2=0,ах2+с=0 , где а, в, с – некоторые числа, отличные от нуля, называются неполными квадратными уравнениями.
Немного истории.
Рассмотрим решение неполных квадратных уравнений.
а) ,
где (- ) < 0
Пример 8х2-8=0
х2=1
х=±1
Ответ: +1
2х2=0
х2=0/2
х2=0/2
х2=0
х=0
Ответ: х=0
в)
Пример 5х2-2х=0
х(ах+в)=0
х=0 или х=0,4
Ответ: 0; 0,4
Пример 1 решить уравнение
х2 + 8х - 33=0 (а≠в)2=а2+2ав+в2
х2 + 8х – 33 = (х2 + 2х × 4+16) – 16 - 33=(х+4)2 - 49
(х+4)2 - 49=0
(х+4)2 = 49
х+4=±
х+4 = ±7
х = -4±7
итак х1=-4+7
х1=3
х2=-4-7
х2=-11
Ответ: 3; -11
Пример 2 решить уравнение
2х2 - 9х+4=0
2(х2 - х+2)=0 равноценно уравнению х2 - х+2=0
х2- +2=(х2 - 2х + ) - + 2 = (х - )2 - = (х - )2 -
(х - )2 - = 0
х1= + = 4
х2= - =0,5
Ответ: 4; 0,5
Графический способ решения уравнения
Вывод формул для решения неполных квадратных уравнений.
Если в=2к, то формула (2) примет вид:
, где Д = к2 - ас
Пример1 2х2-5х+2=0
х1=2
х2=0,5
Пример 2 х2-6х+9=0
в=6 - четное число
к=-6÷2=-3
Д=0
х= = =3
Любое квадратное уравнение (полное) можно привести к виду x2+pх+q делением обеих частей уравнения на q≠0. Такое уравнение называется приведенным квадратным уравнением. Корни приведенного квадратного уравнения можно найти по формуле
где а=1; в=р; с=q
Пример 2х2 - 8х - 42=0
х2 + 4х - 21=0
Используя формулу (1) получим
х1=3; х2=-7
Ответ: 3; -7
Рациональные корни квадратных уравнений нетрудно находить устно, использовав теорему Виетта.
Теорема Виетта:
Теорема Виетта для приведения квадратного уравнения.
х2+px-q=0
х1+x2=-p
х1*x2=q
Свести данное уравнение
ах2+вх+с=0
у2+ву+ас=0
а2х2+вах+ас=0 умножить обе части на «а» и обозначить ах=у
у2+ву+ас=0 1)решить по теореме Виетта
2)разделить каждый корень на «а»
Примеры 2х2-3х-9=0
(2х)2-3*2х-18=0/2
2х=у
у2-3у-18=0
у1=-3; у2=6
х1=- ; х2=3
4х2-х-5=0/4
(4х)2-4х-20=0
4х=у
у2-у-20=0
у1= 5; у2 = - 4
х1= =1 ¼; х2 = - = - 1
а – в + с = 0; х1 = - 1 ; х2 = -
Ответ : 1 ¼; -1
Обобщение темы.
Сделаем обобщение пройденной на уроке темы в виде таблиц, которые занесем в карточки индивидуального пользования.
Таблица 1. Полные квадратные уравнения.
Доп. условия
Корни уравнения
ах2+вх+с=0
Пример
1) в - четное
, к= ½,
где Д=к2-ас
5х2-6х-8=0
Д1=9+40=49
х1= ; х1=2
х2= ; х2=-0,8
2) в - нечетное
,
где Д=в2-4ас
2х2-5х+2=0
Д=25-16=9
х1= ; х1=2
х2= ; х2=0,5
3) а=1
в=р
е=q
х2+4х-5=0
х=-2±
х=-2±3
х1=-5; х2=1
Таблица 2. Неполные квадратные уравнения.
Уравнение
Корни уравнения
Пример
1) ах2=0
х=0
2х2=0; х=0
2) ах2+вх=0
х1=0
х2= -
5х2+4х=0
х=0; х= -
3) ах2+с=0
х=± √ - ,
где <0
7х2-3=0
х=±√
Таблица 3. Теорема Виетта.
Уравнение
Условие
Пример
ах2+вх+с=0
х1+х2= -
х1∗х2 =
2х2- 9х+10=0
у1=5; у2=4
х1=2,5; х2=2
x2+рх+q=0
х1+х2 =-p
х1∗х2 =q
х2+5х+6=0
х1= - 2; х2= - 3
Задания к зачету.
Запишем уравнения для самостоятельного решения.
3х + 8=18 - 2х
5 - |1-3х | = 4х
(2х - 4а)+(4х + 5а)=19а
х2 - 11х - 60=0
х2 - 6х + 9=0
2х2 - 5х + 2=0
- 4х2+7х + 2=0
25=26х - х2
- 11х=11
=
0,7х2=1,3х+2
х2=2х-7
у2-10у-25=0
299х2+100х=500-101х2
3р2+3=10р
4х2=7х+7,5
(3х-1)(х+3)=х(1+6х)
5х2=0
6х2-16х=0
7х2+5=0
8х2-1=0
3х2-3х+1=0
2х2-3х-1=0
у2=52у-576
(х+1)2=7918-2х
Викторина.
Теперь, когда мы закончили изучение темы урока, проведем небольшую викторину.
(за верный ответ выдается красный жетон. Ученикам, имеющим 10 жетонов ставится «5», имеющим 8,9 жетонов – «4».)
Вопросы викторины.
Как называется уравнение? (показываю заранее подготовленные карточки).
Уравнения: а) 5х2 - 6х+1=0
б) х2 -7х+5=0
в) 5х2 -1=0
Ответ: а) полное квадратное уравнение
б) приведенное квадратное уравнение
в) неполное квадратное уравнение
Как называется выражение и какой буквой обозначается. (показываю карточки).
Выражение: а) в2-4ас
б) к2-ас
а) Д1 дискриминант
б) Д1 дискриминант
Указать правильный ответ при решении уравнения.
5х2+3=0
Решений нет
±
±
Решить устно:
х2+16х+63=0
9; 7
-9; 7
-7; 9
-7; -9
Решить устно:
3х2-4х-4=0
6; -2
2; -6
- ; 2
; -2
Назвать корни квадратного уравнения:
х2-4х+3=0
3; 1
21
1; 2; 3
1; 2
Решить уравнение
3х2-7х+4=0
1 ; 1
-1 ; -1
-1 ; 1
Правильные ответы к вопросам 3-7.
3 а) ; 4 d) ; 5 c); 6 a); 7 b)
Итог урока и домашнее задание.
Запишем домашнее задание.
Вывод формул корней квадратного уравнения.
Теорема Виетта (с доказательством)
Решить уравнения:
3(х-5) - 2х=6х
- = 1
|х - 1 | +5=6х
2(х + а)-3х=5а
8х2-1=0
8х2+8=0
5х2 - 4х+5=0
5х2 - 4х-1=0
х2 - 4х - 5=0
2х2 — 3+2=0
х2-9х-10=0