Квадратный трехчлен и применение его к решению задач с параметром.
Квадратный трехчлен с полным правом можно назвать основной из функций, изучаемых в школьном курсе математики. Поэтому знание свойств квадратного трехчлена и умение применять их являются необходимыми условиями успешного выполнения ЕГЭ и вступительной экзаменационной работы.
Многочисленные задачи из совсем иных, на первый взгляд, областей математики (исследование экстремальных свойств функций, тригонометрические, логарифмические и показательные уравнения, системы уравнений и неравенств) зачастую сводятся к решению квадратных уравнений или исследованию квадратного трехчлена.
В данной работе рассмотрены теоремы о расположении корней квадратного трехчлена и показаны приемы решения задач на основе свойств квадратного трехчлена и графических изображений.
Понятие квадратного трехчлена и его свойства.
Квадратным трехчленом называется выражение вида ax2+bx+c, где a
0. Графиком соответствующей квадратичной функции является парабола. При a0 ветви направлены вверх.
Выражение x2+px+q называется приведенным квадратным трехчленом.
В зависимости от величины дискриминанта D=b2- 4ac возможны следующие случаи расположения графика квадратного трехчлена:
при D>0 существуют две различные точки пересечения параболы с осью Ох (два различных корня трехчлена);
при D=0 эти две точки сливаются в одну, то есть парабола касается оси Ох (один корень трехчлена);
при D<0 точек пересечения с осью Ох нет ( и корней трехчлена нет).
В последнем случае при а>0 парабола лежит целиком выше оси Ох, при а<0- целиком ниже оси Ох (см. приложение 1, приложение 2 и приложение 3).
Знание свойств квадратного трехчлена и умение применять их являются необходимым условием успешного решения многочисленных задач элементарной математики.
Рассмотрим некоторые свойства квадратного трехчлена.
Важнейшей теоремой о корнях квадратного трехчлена является теорема Виета.
Теорема Виета. Между корнями квадратного трехчлена ax2+bx+c и коэффициентами этого
трехчлена существуют соотношения : x1+x2= -b/a,
x1•x2= c/a.
Данная теорема справедлива и для приведенного квадратного трехчлена x2+px+q : x1+x2= -p,
x1•x2= q.
Теорема, обратная теореме Виета, применяется лишь для приведенного квадратного трехчлена.
Если числа x1 и x2 таковы, что x1+x2= -p, x1•x2=q, то x1 и x2 – корни приведенного
квадратного трехчлена.
Теорема Виета успешно применяется при решении различных задач, в частности, задач на исследование знаков корней квадратного трехчлена. Это мощный инструмент решения многих задач с параметрами для квадратичной функции.
Теоремы о знаках корней квадратного трехчлена.
Теорема 1. Для того, чтобы корни квадратного трехчлена имели одинаковые знаки, необходимо и
достаточно выполнения соотношений: D=b2-4ac
0; x1•x2=c/a>0.
При этом оба корня будут положительны, если дополнительно выполняется условие :
x1+x2= -b/a>0 ,
а оба корня будут отрицательны, если x1+x2= -b/a<0.
Теорема 2. Для того, чтобы корни квадратного трехчлена имели разные знаки, необходимо и
остаточно выполнения соотношения x1•x2=c/a<0.
В данном случае нет необходимости проверять знак дискриминанта, поскольку при выполнении условия c/a<0 будет выполняться и условие c•a<0, а это значит, что дискриминант D=b2-4ac>0.
Расположение корней квадратного трехчлена (см. приложение).
Дидактический материал для учащихся.
1. Найти все значения параметра а , при каждом из которых корни квадратного трехчлена х2 +ах+1 различны и лежат на отрезке [0 ; 2].
2. При каких значениях параметра а уравнение х2-(2а-1)х+1-а=0 имеет два различных положительных корня?
3. При каких значениях параметра а уравнение х2-(2а-6)+3а+9=0 имеет корни разных знаков?
4. Найдите все значения параметра а , при которых корни уравнения х2+(а+1)х-2а(а-1)=0 меньше, чем 1 .
5. Найдите все значения параметра а , при которых один из корней уравнения х2-2(а+1)х+4а+1=0 меньше 1, а другой – больше 1?
6. При каких значениях параметра а уравнение 2х2+(3а+1)х+а2+а=2=0 имеет хотя бы один корень?
7. При каких значениях параметра а уравнение (а2+а+1)х2 + (2а-3)х+а-5=0 имеет два корня, один из которых больше 1, а другой меньше 1?
8. При каких значениях параметра а корни уравнения (а-1)х2-2ах +а=3=0 положительны?
9. Существуют ли такие значения параметра а, при которых оба корня уравнения х2-2(а-3)х-а+3=0 заключены в интервале (-3; 0)?
10. При каких значениях параметра а корни уравнения х2-2ах+(а+1)•(а-1)=0 принадлежат отрезку [-5; 5]?
11. При каких значениях параметра а один корень квадратного уравнения х2+(а+1)х-а2=0 больше числа 1/2 , а другой меньше 1/2?
12. При каких значениях параметра а уравнение х2-4х+(2-а)•(2+а)=0 имеет корни разных знаков?
13. При каких значениях параметра а уравнение х2+2(а+1)х+9=0 имеет два различных положительных корня?
14. Найти все значения параметра а при которых все корни уравнения (2-а)х2-3ах+2а=0 больше 1/2?
15. При каких значениях параметра а все корни уравнения х2-2ах+а2-а=0 расположены на отрезке [-2; 6]?
16. При каких значениях параметра а сумма квадратов корней уравнения х2-2ах+2(а+1)=0 равна 20?
17. При каких значениях параметра а сумма корней уравнения х2-2а(х-1)-1=0 равна сумме квадратов его корней?
18. При каких значениях параметра а все получающиеся корни уравнения (а-3)х2-2ах+6а=0 положительны?
19. При каких значениях параметра а все получающиеся корни уравнения (1+а)х2-3ах+4а=0 больше 1?
Литература
Цыганов Ш. “Квадратный трехчлен и параметры”/ Математика- № 5, 1999.
Чулков П.В. “Уравнения и неравенства в школьном курсе математики”, Москва. Педагогический университет “первое сентября”, 2006.
Астров К., “квадратичная функция и ее применение”, М.: Педагогика, 1986.
Задачи с параметрами / Математика- № 43, 2003.
Сканави М.И. “Сборник задач по математике для поступающих в ВУЗы”, М.: “Оникс 21 век”, 2003.