Открытый урок по алгебре в 9 классе
Тема: «Характеристическое свойство геометрической прогрессии»
Цели урока:
Образовательные: вспомнить и обобщить те знания, которые ученики уже имеют по геометрической прогрессии; активизировать работу по применению этих знаний; вывести и доказать характеристическое свойство геометрической прогрессии; приобрести умение по применению характеристического свойства при решении простых задач.
Развивающие: формировать умения наблюдать, подмечать закономерности, проводить рассуждение по аналогии, делать выводы на основе выявленных закономерностей, строить и интерпретировать модель некоторой реальной ситуации.
Воспитательные: содействовать воспитанию интереса к математике и ее приложениям, а также активности, умению аргументировано отстаивать свои взгляды.
Тип урока: комбинированный урок.
Структура урока
Подготовительный этап.
Актуализация знаний, умений и навыков.
Изучение нового материала.
Отработка знаний, умений и навыков по теме.
Решение задач практического содержания.
Подведение итогов урока и домашнее задание.
Ход урока
Подготовительный этап (3 мин.).
– Сегодня мы с вами выведем новое свойство геометрической прогрессии.
– Но сначала проверим домашнее задание.
Один ученик вызывается к доске и записывает определение геометрической прогрессии, формулу n-го члена геометрической прогрессии и формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии.
С остальными учениками проверяем выполнение домашнего задания, опрашивая с места ответы в домашних заданиях.
№17.25 (а, в) а)
; в)
№17.27 (а, б) а) 
; б) 
№17.28 (а, в) а) 
; в) 
№17.29 (а, в) а) 
, 
, 
в)
, 
,
Актуализация знаний, умений и навыков (7 мин.).
– Чтобы вспомнить все, что вы знаете о геометрической прогрессии, проведем устную работу по карточкам. Будут работать две группы: группа девочек и группа мальчиков.
Каждой группе выдаются карточки с выбором ответа. После выполнения заданий в каждой группе должно получиться свое слово.
-
1 группа.
Карточка №1
Номер
1
Ответ
Найдите знаменатель геометрической прогрессии, если
, 
М. 2
Б.
Х. –2
Г. 0,5
Ответ: Х
-
1 группа.
Карточка №2
Номер
2
Ответ
Найдите первый член геометрической прогрессии, если
, 
Н. 12
А. 3
Ч. 6
О. 1,5
Ответ: А
-
1 группа.
Карточка №3
Номер
3
Ответ
Найдите четвертый член геометрической прогрессии, если
, 
М. 54
Е. 81
Л. 162
К. –54
Ответ: К
-
1 группа.
Карточка №4
Номер
4
Ответ
Найдите знаменатель геометрической прогрессии, если
– возрастающая, 
, 
Р. 2
Б. –4
Ф. 4
В. –2
Ответ: Р
-
1 группа.
Карточка №5
Номер
5
Ответ
Найдите сумму четырех первых членов геометрической прогрессии, если
, 
К. –160
Т. –80
У. –26
Г. 80
Ответ: Т
-
1 группа.
Карточка №6
Номер
6
Ответ
Найдите пятый член геометрической прогрессии, если
И. 8
Ю. 40
Е. 4
А. 2
Ответ: Е
-
2 группа.
Карточка №1
Номер
1
Ответ
Найдите знаменатель геометрической прогрессии
, 
У. –3
С.
Т.
А. 3
Ответ: С
-
2 группа.
Карточка №2
Номер
2
Ответ
Найдите первый член геометрической прогрессии, если
, В. –2
Б.
Ч. 6
Г. 2
Ответ: В
-
2 группа.
Карточка №3
Номер
3
Ответ
Найдите четвертый член геометрической прогрессии, если
, Е. 24
А. –48
Й. –24
И. 48
Ответ: Й
-
2 группа.
Карточка №4
Номер
4
Ответ
Найдите знаменатель геометрической прогрессии, если
– знакочередующаяся, 
, 
Ю. 3
Б. –9
У. 9
О. –3
Ответ: О
-
2 группа.
Карточка №5
Номер
5
Ответ
Найдите сумму четырех первых членов геометрической прогрессии, если
, 
М. –21
Т. –85
Б. –255
Д. 85
Ответ: Т
1 группа
Под числом, соответствующим номеру задания, напишите букву.
1
2
4
2
3
5
6
4
Должно получиться слово ХАРАКТЕР.
2 группа
Под числом, соответствующим номеру задания, напишите букву.
1
2
4
3
1
5
2
4
Должно получиться слово СВОЙСТВО
Примечание:
Если будут присутствовать все ученики, то 1 группа – 4 девочки, 2 – группа – 3 мальчика.
Если не будет 1 девочки, то в группе девочек исключить Карточку №6, а букву в бланк написать учителю.
Карточки с заданием можно раздать с учетом уровня знаний ученика.
– В результате работы в 1 группе получилось слово Характер. По словарю Сергея Ивановича Ожегова характер – это отличительное свойство, качество, особенность кого-либо (чего-либо).
– Итак, сегодня мы с вами выведем еще одно свойство геометрической прогрессии – характеристическое свойство.
Изучение нового материала (14 мин.).
– Вам известно характеристическое свойство арифметической прогрессии, попробуем определить характеристическое свойство для геометрической прогрессии.
Рассмотрим последовательность чисел, являющуюся геометрической прогрессией
: 1, 2, 4, 8, 16, 32, …
Выполните задания:
Найдите произведение членов этой прогрессии:
с номерами 1 и 3
= 4
с номерами 2 и 4
= 16
с номерами 3 и 5
= 64
Сравните полученное произведение с тем членом прогрессии, который находится между ними:
сравнить 4 и 2
сравнить 16 и 4
сравнить 64 и 8
– Какая закономерность существует?
– Произведение 
и 
равно квадрату 
– Произведение и 
равно квадрату
– Произведение и 
равно квадрату
– В результате получили формулу…
– 
для 
– Это свойство геометрической прогрессии называется характеристическим. Оно формулируется так: «Квадрат каждого члена геометрической прогрессии, кроме первого, равен произведению предыдущего и последующего членов».
– Докажем это свойство:
(по определению геометрической прогрессии для 
) 
(по определению геометрической прогрессии)Перемножим
и 
, получим:
для
– Верно и обратное: если последовательность 
, состоящая из чисел, отличных от нуля, такова, что для любого 
выполняется равенство , то – геометрическая прогрессия.
– Доказательство этого утверждения разберите дома самостоятельно по учебнику стр. 166 – 167.
Отработка знаний, умений и навыков по теме (7 мин.).
№17.16 (а) – на доске учитель, ученики помогают.
а) Между числами 18 и 2 вставьте положительное число так, чтобы получилось три последовательных члена геометрической прогрессии.
– Из трех последовательных членов геометрической прогрессии известны первый и третий члены. Найти нужно второй член.
Дано:
, 
, 
, 
Найти:
Решение.
(характеристическое свойство)
или 
Так как по условию , то – не подходит.
Ответ: 
№17.31 (б) – ученики самостоятельно.
б) Между числами 18 и 2 вставьте положительное число так, чтобы получилось три последовательных члена геометрической прогрессии.
Дано:
, 
, 
, 
Найти: 
, 
Решение.
1) 
(характеристическое свойство)
или 
Так как по условию 
, то .
2) 
(по определению)
Ответ: 
,
№17.32 – вызвать к доске.
Найдите те значения t, при которых числа t, 4t, 8 являются последовательными членами геометрической прогрессии.
Дано:
: t, 4t, 8
Найти: t
Решение.
1) Так как t, 4t, 8 – члены геометрической прогрессии, то 
(по определению геометрической прогрессии.
2) (характеристическое свойство)
Получим уравнение: 
или 
Так как , то .
Ответ:
Решение задач практического содержания (8 мин.).
№17.51 – на доске учитель вместе с учениками.
– Бактерия, попав в живой организм, к концу 20-й минуты делится на две бактерии, каждая из них к концу следующих 20 минут делится опять на две и т.д. Найдите число бактерий, образующихся из одной бактерии к концу суток.
этап. Формализация – составление математической модели.
– К концу 1-ых двадцати минут будет 
бактерии.
К концу 2-ых двадцати минут будет 
бактерии.
К концу 3-их двадцати минут будет 
бактерий.
и т.д.
Получили последовательность: 2, 4, 8, …
Так как (
), то данная последовательность является геометрической прогрессией, причем 
– Какой же член геометрической прогрессии соответствует концу суток?
– Для этого нужно знать сколько раз 20 минут укладывается в сутках.
– В одном часе двадцать минут укладывается 3 раза, в сутках 24 часа, поэтому в сутках 72 раза укладывается по двадцать минут.
– Итак, к концу суток в организме будет 
бактерии. Математическая модель задачи будет представлять формулу 72-го члена: 
, где 
, 
этап. Работа с составленной модели.
этап. Ответ на вопрос задачи.
– По вопросу задачи нужно было найти количество бактерий образующихся из одной бактерии, поэтому из полученного числа нужно вычесть исходную бактерию. Значит, к концу суток образовалось 
бактерий.
Ответ: бактерий.
Подведение итогов и домашнее задание (2 мин.).
В начале урока вспомнили определение геометрической прогрессии, формулу n-го члена геометрической прогрессии, формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии, а также вы показали, как можете использовать эти знания при решении заданий.
Потом мы с вами открыли новое для вас характеристическое свойство геометрической прогрессии:
Числовая последовательность является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда квадрат каждого ее члена, кроме первого, равен произведению предшествующего и последующего членов.
,
Затем решили несколько номеров, в которых используется это характеристическое свойство.
В конце урока разобрали задачу практического содержания, в которой применяются свойства геометрической прогрессии.
Домашнее задание:
§17 (стр. 166 – 167) – доказательство.
№17.16(б), 17.31(а), 17.33, 17.52.
Объявить оценки за урок.