План-конспект урока по алгебре «Квадратные уравнения» 8 класс

Составила:

Башкатова Лариса Васильевна,

Учитель математики МБОУ СОШ № 10

Ст. Новопокровская 2014 год.

Цели урока:

1. Образовательные:

- обобщить, систематизировать и совершенствовать знания, умения и навыки учащихся

по теме: «Квадратные уравнения»;

- выработка умения решать квадратные уравнения и умения выбирать нужный,

рациональный способ решения.

1. Развивающие:

- совершенствование интеллектуальных способностей и мыслительных умений

учащихся, коммуникативных свойств речи;

- развитие познавательных процессов, памяти, воображения, внимания,

потребности в нахождении рациональных способов решения;

- формирование активного, самостоятельного, творческого, наглядно-образного и

логического мышления;

- наблюдательности, сообразительности, инициативы;

- умения анализировать, сравнивать и обобщать;

- учить проводить рассуждения, используя математическую речь;

- учить умению сосредотачиваться на учебной деятельности, предупреждать

ошибки и развивать самоконтроль.

1. Воспитательные:

- воспитание интереса и уважения к изучаемому предмету;

- воспитание чувства коллективизма и сопереживания успехам и неудачам своих

товарищей, формирование стремления к достижению конечного результата на

основе совместной деятельности;

- нравственных качеств личности: аккуратности, дисциплинированности, трудолюбия,

математической культуры, ответственности, креативности, требовательности к себе,

доброжелательного отношения к товарищу, любознательности;

- умения корректировать собственные ответы.

Методы обучения: - наглядный,

- практический;

- словесный;

- частично – поисковый,

- исследовательский,

- программированный,

- самопроверка,

- взаимопроверка.

ФОРМЫ ОРГАНИЗАЦИИ УРОКА:

- групповая,

- фронтальная,

- индивидуальная,

- парная.

Тип урока: обобщающий урок по теме: «Квадратные уравнения».

Оборудование: интерактивная доска, доска, мел, маркеры.

1. На каждом столе:

а) таблицы;

б) тексты математического диктанта;

в) работа на два варианта;

г) тексты самостоятельной работы;

д) дополнительные задачи;

е) листы самоконтроля.

Девиз: « Дорогу осилит идущий, а математику мыслящий».

Ход урока.

1. Мотивационная беседа с последующей постановкой целей урока (1 мин.)

- Ребята, что мы изучали на прошлых уроках?

- А как вы думаете, можем ли мы перейти к изучению новой темы?

- Достаточно ли хорошо мы овладели знаниями о квадратных уравнениях?

- Давайте-ка ещё раз проверим ваши знания.

Итак, сегодня мы с вами:

1. Обобщим и систематизируем полученные знания по теме: «Квадратные уравнения».

2. Выявим степень владения навыками решения квадратных уравнений.

3. Психологическая установка на урок: « Понять и быть тем первым, который увидит ход решения».

Консультанты докладывают о готовности класса к уроку, о выполнении домашнего задания.

Запишите в тетрадях тему урока: «Квадратные уравнения».

Ребята, у каждого из вас имеется лист самооценки работы, в котором записаны все этапы урока. Как работать с этими листами вы все хорошо знаете.

Итак, мы начинаем урок с проверки ваших теоретических знаний по теме: «Квадратные уравнения».

1. Актуализация опорных знаний (работа с таблицей) (5мин.).

Учитель делает предварительные записи к уроку в виде таблицы на плакате.

В этой таблице обведены пунктирной линией те записи, которые не должны быть на доске с самого начала урока. Они появляются по мере того, как учащиеся устно отвечают на вопросы учителя. Учитель открывает записи постепенно.

I. ах² + вх + с = 0 а ≠ 0

Теоремы

I₁ в = 0

с = 0

ах² = 0

1 корень

х = 0

I₂ в = 0

с ≠ 0

ах² + с = 0

2 корня,

если:

с <0 u а>0;

с >0 u a <0.

нет корней,

если:

c0;

c <0 u a <0.

I₃ в ≠ 0

с = 0

ах² + вх = 0

2 корня

х(ах+в) = 0

х₁ = 0,

х₂ = - ^в/_а

I₄ а = 1

в ≠ 0, с ≠ 0

х² + рх + g = 0

D > 0, 2 корня

D < 0, нет корней

D = 0, 1 корень

Формулы корней

1) х_1,2 ‗ -в±√в²-4ас

2а

2) х_1,2 ‗ -р ±р² - g

2 4

3) при в = 2m

х_1,2 ‗ - m±√m² - ac

а

Виета

Дано:

х₁ и х₂ – корни

уравнения

х² + рх + g = 0

Доказать:

х₁ + х₂ = - р,

х₁ • х₂ = g .

Обратная

Дано:

Для чисел х₁, х₂, р, g

имеет место:

х₁ + х₂ = -р,

х_{1 •} х₂ = g.

Доказать:

х₁ и х₂ – корни уравнения

х²+рх+g =0

2

Свойства коэффициентов квадратного уравнения ах² + вх + с = 0.

1. Если а + в + с = 0, то х₁ = 1, х₂ = ^с /_a;

2. Если а – в + с = 0, то х₁ = -1, х₂ = - ^с/_а.

Вспомните!!!

1. В каком случае уравнение вида I называется квадратным?

2. Какой вид примет уравнение, если: а) в = 0, с = 0;

б) в = 0, с ≠ 0;

в) в ≠ 0, с = 0?

3. Как называются такие уравнения?

4. Имеют ли корни уравнения I₁, I₂, I₃ .

5. Как называется квадратное уравнение, если а = 1 ?

6. Назовите формулы для вычисления корней приведённого квадратного

уравнения.

7. Назовите словесную формулировку теоремы Виета и теоремы ей обратной.

1. Сколько корней могут иметь квадратные уравнения вида ах² + вх + с = 0,

если D > 0, D = 0, D < 0 ?

1. Какие формулы для нахождения корней вы знаете?

2. Какие корни будет иметь квадратное уравнение ах² + вх + с =0, если сумма коэффициентов а, в и с равна нулю; если а – в + с =0 ?

3. Объясните решение уравнений вида:

а) х² – 3х – 4 = 0 б) 3х² -2х – 1 = 0 в) х² + 8х + 16 = 0

Решение. 1 + 3 – 4 = 0 3 – 2 – 1 = 0 (х + 4)² = 0

х₁ = -1, х₂ = - ^с/а = 4 х₁ = 1, х₂ = ^с/а = - ¹/3 х +4 = 0

х = -4.

Итак, мы с вами вспомнили почти все виды квадратных уравнений и основные формулы для нахождения их корней.

А теперь ребята, отметьте в листах самооценки результаты своей работы на первом этапе (за каждый верный ответ по таблице ставится 1 балл).

Скажите, пожалуйста, а когда люди впервые научились решать квадратные уравнения и чем была вызвана эта необходимость ?

1. Историческая справка о квадратных уравнениях.

Письмо из прошлого (сообщение делает один из учащихся) (1 мин.)

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени

ещё в древности была вызвана потребностью в решении задач, связанных с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения впервые научились решать около 2000 лет до нашей эры вавилоняне. Теорема, выражающая связь между коэффициентами квадратного уравнения и его корнями, носящая имя Виета, была им сформулирована впервые в 1591 году.

Задачи на квадратные уравнения встречаются в трудах индийских математиков

с V века н. э. Одну из задач индийского математика XII века Бхаскары вы попытаетесь решить дома. Мы вернёмся к ней в конце урока.

3

1. « Найди ошибки» (5 мин).

Задания на данном этапе составлены по основным вопросам вашей домашней работы. Внимательно посмотрите на записи на доске и найдите ошибки в решении предложенных вам заданий.

1) Коэффициенты а, в и с уравнений:

5х² – х + 9 = 0 15х² – 3 + х = 0, 2х² - 11 = 0, 9х – х² = 0

а = 5, в = 1, с= 9. а = 15, в= -3, с = 1. а = 2, в=11, с=0. а=9, в=-1, с=0.

2) Сумма и произведение корней уравнения:

х² – 14х + 33 = 0, 35 + 12у + у² = 0.

х₁ + х₂ = - 14, у₁ + у₂ = -12,

х₁ х₂ = 33. у₁ у₂ = 1.

3) Корни уравнения:

(х – 3)(х +12) = 0, (х+8)(2х-5)(х²+25) = 0. 9х² + 3х + 1 = 0

х₁ = 3, х₂ = 12. х₁= -8, х₂= 2,5, х₃ = -5, х₄ = 5. D= 9 - 4•9 < 0

2 корня

х² – 5х + 6 = 0, х² – 2х – 15 = 0, у² – 8у – 9 = 0, х² + х – 12 = 0

х₁ = 2, х₂ = 3 х_{1 =} -5, х₂ = 3 у_{1 =} 1, у₂ = 9 х₁ = -4, х₂ = 3.

Два ученика выполняли некоторые задания из домашней работы на плёнке и с помощью ТСО «Лектор – 2000» объясняют, как они решили уравнения:

а) (х – 5)² – 49 = 0, б) 1 – х² ‗ 1 – 2х + 1

4 3

Подведём итоги (те, кто правильно находил ошибку и давал верный ответ ставит себе 1 балл в листы самоконтроля на этапе «Найди ошибку»).

V. Математический диктант « Я утверждаю» (5 мин.).

А сейчас мы проведём с вами математический диктант: «Я утверждаю».

У каждого из вас на столе листочек и карточка с заданиями. Подпишите листочек и поставьте номера восьми заданий, которые вам нужно будет решить устно или в тетрадях и сверить свои ответы с теми, что предлагает учитель. Те, кто согласен с учителем ставит напротив номера задания знак «+», кто не согласен – знак «-». Работа предлагается на два варианта.

Итак, приступаем к выполнению диктанта.

Я утверждаю:

I вариант II вариант

1. Значение выражения –х² + 2х – 2 1. Значение выражения 2х² + 5х – 2

при х = -1 равно -5. при х = 1 равно 5.

2. Если D > 0, то уравнение 2. Если D < 0, то уравнение

не имеет корней. имеет 2 корня.

3. Уравнение х² – 3х + 2=0 имеет 3. Уравнение х² + х – 2 = 0 имеет

корни х₁ = 1, х₂ = 2. корни х₁ = -2, х₂ = 1.

4. В уравнении х² – 3х – 10 = 0 D=-31. 4. В уравнении х² – 2х – 3 = 0 D=-8.

5. Коэффициенты кв. уравнения 5. Коэффициенты кв. уравнения

2х² + 3х - 1= 0 а=2, в=-3, с=-1. -2х² + х – 5 = 0 а=2, в=1, с=5.

4

6. Уравнение вида х² – (х – 1)²= 0 6. Уравнение вида х² – 4 = (х – 2)²

не является квадратным. является квадратным.

7. Уравнение х²+4=0 имеет 2 корня. 7. Уравнение х²+1=0 не имеет корней.

8. Уравнение х²+4х - 5=0 имеет корни 8. Уравнение х²- 8х+7=0 имеет корни

разных знаков. одинаковых знаков.

А теперь оценим качество вашей работы (поменяйтесь листочками с соседом по парте, проведите взаимопроверку). Ответы к диктанту записаны с обратной стороны доски. Проверяют результаты по системе «+», «-» и выставляют баллы в листы самоконтроля.

Ответы: № I вариант II вариант

1. + + На «5» - 8 ответов,

2. - -

3. + + на «4» - 7 ответов,

4. - -

5. - - на «3» - 5-6 ответов.

6. + -

7. - +

8. + +

Поднимите руки те, кто выполнил работу на «5», на «4», на «3».

Отложите листочки в сторону и продолжайте работать в тетрадях. А в конце урока, когда будете сдавать тетради на проверку, листочки вложите в них.

VI. Решение нестандартных задач (3 мин.).

На прошлом уроке я вам задавала на дом творческую задачу.

Найти рациональным способом корни уравнения: 2000х² – 2006х + 6 = 0.

Некоторые из учащихся оформили решение на доске.

Проверим, какие способы решения они нам предлагают.

1 способ. Учащиеся замечают, что сумма коэффициентов равна нулю.

а + в + с = 0, 2000 – 2006 + 6 = 0.

Следовательно, х₁ = 1 – корень уравнения.

Второй корень легко отыскать, если перейти к приведённому

уравнению: х² – ²⁰⁰⁶/₂₀₀₀x + ⁶/₂₀₀₀ = 0, x² – ¹⁰⁰³/₁₀₀₀x + ³/₁₀₀₀ =0 и

применить теорему, обратную теореме Виета, значит

х₂ = ³/₁₀₀₀ = 0,003

2 способ. х² – ²⁰⁰⁶/₂₀₀₀x + ⁶/₂₀₀₀ = 0,

x² – ¹⁰⁰³/₁₀₀₀x + ³/₁₀₀₀ =0,

x² – х - ³/₁₀₀₀x + ³/₁₀₀₀ =0,

х(х – 1) – ³/₁₀₀₀(x – 1) = 0,

(x - 1)•(x – 0,003) = 0,

x₁ = 1, x₂ = 0,003.

Ответ: х₁ = 1, х₂ = 0,003.

Во время проверки домашней нестандартной задачи один из учащихся решает задачу с параметром у доски.

Задача. При каких значениях параметра к уравнение 25х² – 10х + к = 0

имеет один корень?

Решение. Уравнение имеет один корень, если D = 0, то есть в²-4ас =0.

5

100 – 4•25•к =0, 100к = 100, к = 1.

Ответ: к = 1.

Подведение итогов (за рациональный способ решения – 1 балл в листы самоконтроля).

Ребята, вы видите, что в математике всегда приходится опираться на предыдущие знания, и её нельзя изучать эпизодически, необходима систематическая работа.

Следующий этап нашего урока – самостоятельная работа на два варианта.

VII. Самостоятельная работа по вариантам (5 мин).

У каждого из вас есть карточка, которую нужно заполнить. Подпишите её.

Задание I варианта. По двум известным корням записать приведённое квадратное уравнение, найдя предварительно коэффициенты p и q.

Задание II варианта. Записано приведённое квадратное уравнение, а найти необходимо коэффициенты -р и q, корни уравнения и записать разложение квадратного трёхчлена на множители.

По одному представителю с каждого варианта выходят к доске и заполняют такие же таблицы с обратной стороны доски. Итак, приступаем к выполнению работы.

I вариант

х₁

х₂

р

q

х² + рх + q = 0

2

3

3

-1

-5

1

Ответы: р g х²+ рх + q = 0

-5 6 х² – 5х + 6 = 0

-2 -3 х² - 2х – 3 = 0

4 -5 х² + 4х – 5 = 0

II вариант

Ответы:

x² + рх + q =0

q

-p

x₁

x₂

(x-x₁)(x-x₂)

х² – 7х +12=0

х² +8х + 7 = 0

х²+ 2х –15 =0

q -р х₁ х₂ (х-х₁)(х-х₂)

12 7 3 4 (х - 3)(х - 4)

7 -8 -7 -1 (х +7)(х + 1)

-15 -2 -5 3 (х + 5)(х – 3)

Учащиеся заполняют таблицы. Отвечающие у доски комментируют свои ошибки. Затем все учащиеся сверяют свои ответы с решением на доске, то есть проводится самопроверка по образцу. После этого выставляют по одному баллу за каждое верно выполненное задание в листы самоконтроля.

VIII. Релаксационная пауза. Упражнения для глаз, шеи и рук (1 мин).

А теперь поднимитесь и мы с вами выполним упражнение для глаз, шеи и рук.

Раз, два, три, четыре, пять! Все умеем мы считать,

отдыхать умеем тоже, руки за спину положим,

голову поднимем выше и легко-легко подышим.

Раз – подняться, подтянуться, два – согнуться, разогнуться,

три – мигнули три разка, головою три кивка.

На четыре - руки шире, пять - руками помахать,

шесть – за парту снова сесть.

Приступаем к следующему этапу урока.

6

IX. Разноуровневая самостоятельная работа (12 мин.).

Каждый из вас выбирает задания своего уровня сложности, то есть индивидуально по способностям. На решение заданий в тетрадях отводится 12 минут. Слабым детям разрешается использовать алгоритм решения квадратных уравнений.

I вариант II вариант

I уровень сложности:

1. Найти Д и определить количество корней уравнения.

5х² – 4х – 1 = 0. 2х² + 2х + 3 = 0.

2. Найти корни квадратного уравнения:

а) 6х² – 24х = 0, а) 3х² – 15х = 0,

б) х² + х – 6 = 0, б) х² – х – 2 = 0,

в) 2х² – х – 3 = 0. в) 2х² + х – 3 = 0.

II уровень сложности:

3. Решить уравнения:

а) х² – 7х ـ 1 = 0, а) х² – 5х ـ 3 = 0,

8 2

б) (х – 3)² – 64 = 0, б) (х + 1)² – 16 = 0,

в) х² – 11 ‗ х – х² , в) х² + 2х ‗ х² + 24 ,

7 2 2 7

III уровень сложности:

4. Решить уравнения:

а) х⁴ – 5х² – 36 = 0, а) х⁴ – 3х² – 4 = 0,

б) (х – 1)² -5(х – 1) + 4 = 0. б) (х + 5)² + 8(х + 5) – 9 = 0.

5. Один из корней уравнения

х² + рх + 45 = 0 х² + рх + 72 = 0

равен 5 равен -9

Найдите другой корень уравнения и коэффициент р.

Дополнительное 6 задание.

Сократить дробь: 6х² – х – 1 5х² + 3х -2 .

9х² – 1 25х² - 4

В конце урока тетради сдаются на проверку. Листы самоконтроля вкладываются в тетради.

Ребята, вы оценивали свою работу на отдельных этапах урока. Каждый из вас получил оценку за математический диктант, оценки за самостоятельную работу будут объявлены на следующем уроке. А сейчас мы оценим качество работы класса с учётом баллов из листа самоконтроля. Поднимите руки те, кто набрал 6 и более баллов, не считая диктанта, 4 – 5 баллов, 2 – 3 балла.

7

X. Этап информирования учащихся о домашнем задании,

инструктаж по его выполнению (1 мин.).

Сейчас я хочу проинформировать вас о домашнем задании. Откройте дневники и запишите его. Домашнее задание дифференцированное.

Обязательный минимум: № 546(1), №533(2).

* Творческое задание:

а) Решить уравнение 2006х² +1137х – 869 = 0 рациональным способом,

используя свойство коэффициентов квадратного уравнения;

б) Определить при каком положительном значении р сумма квадратов

корней уравнения х² – рх – 16 = 0 равна 68;

в) «Письмо из прошлого»

«Обезьянок резвых стая, всласть поевши, развлекалась.

Их в квадрате часть восьмая на поляне забавлялась.

А двенадцать по лианам… стали прыгать, повисая…

Сколько ж было обезьянок, вы скажите, в этой стае?»

XI. Подведение итогов. Анализ урока с учениками (1 мин.).

А теперь подведём итоги нашего урока.

1. Вспомните, какая задача была поставлена в начале нашего занятия?

2. Кто доволен своей работой сегодня?

3. Какие трудности возникали во время урока?

4. Что помогло преодолеть эти трудности?

5. Какой этап урока вам понравился больше всего?

6. Какие вопросы, замечания, пожелания учителю?

И в заключение нашего урока я ещё раз хочу подчеркнуть важность изучаемого нами материала. Ведь тема « Квадратные уравнения» занимает одно из центральных мест при изучении курса «Алгебра».

Благодарю за работу!

Спасибо за урок !!!