Практичне заняття
1. Довести, що 
. Починаючи з якого n маємо 
Виберемо довільне число 
і покажемо, що існує такий номер N, що для всіх членів послідовності з номерами n > N виконується нерівність
(1)
Для визначення N досить розв’язати нерівність (1) відносно n:
.
Отже, якщо 
, то нерівність (1) виконується для будь-якого наперед заданого числа . Якщо 
, то за N беремо цілу частину виразу 
, тобто N = 
. А якщо 
, то за N можна взяти 1 або будь-яке інше натуральне число.
Зокрема, при 
, N = 
. Отже, при 
дістанемо 
2. З’ясувати, чи має границю послідовність (xn), якщо:
а) 
б) 
в) 
а) Оскільки 
то послідовність (
) обмежена. Неважко бачити, що 
для всіх 
, тобто () монотонно зростає. Отже, вона має границю.
б) Члени послідовності з парними номерами прямують до 1 при 
, оскільки 
. А члени послідовності з непарними номерами прямують до 2 при . Отже, згідно з означенням, послідовність немає границі, тобто є розбіжною.
в) Дана послідовність є добутком нескінченно малої послідовності 
, оскільки 
, і обмеженої послідовності 
, тому що 
. Тоді за властивістю 2) задана послідовність має границю, що дорівнює 0.
3. Обчислити границі:
а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
; е) 
є) 
ж) 
а) скористаємось теоремою про границю двох послідовностей. Неважко побачити, що границя першого доданка дорівнює 0, а другий доданок є добутком нескінченно малої послідовності 
на обмежену послідовність 
, тому його границя також дорівнює нулю. Отже, за властивістю 1( задана послідовність є нескінченно малою.
б) У даному випадку чисельник і знаменник мають нескінченні границі, тому користуватись теоремою про границю частки не можна. Перетворимо дріб, поділивши чисельник і знаменник на 
(найвищий степінь n). Дістанемо
Оскільки 
маємо , 
, 
, 
, то, застосувавши теорему про границю суми і добутку, помічаємо, що границя чисельника дорівнює 1, а знаменника 3. за теоремою про границю частки маємо
в) Поділимо чисельник на знаменник дробу на 
, а потім скористаємось теоремою про границю суми і частки. Дістанемо
г) Аналогічно попередньому маємо
Оскільки 
при , а знаменник є нескінченно малою послідовністю, то задана послідовність є нескінченно великою, тобто 
У прикладах б) - г) порівняйте старші степені чисельників і знаменників заданих дробів і зробіть висновок відносно одержаних відповідей.
д) У даному випадку маємо різницю двох нескінченно великих послідовностей. Позбавимося ірраціональності в чисельнику, вважаючи, що знаменник дорівнює 1, і застосуємо теорему про зв’язок нескінченно малої і нескінченно великої послідовностей. Матимемо.
е) Поділивши чисельник і знаменник виразу, що стоїть в дужках, на n і скориставшись властивістю степеня, дістанемо
Користуючись теоремою про границю добутку, частки і формули (1), маємо
є) Оскільки 
, то
. Тоді 
ж) Маємо границю послідовності комплексних чисел. Обчислимо границі дійсної та уявної частин цієї послідовності. Оскільки
, то 
Вправи для самоперевірки
1. Довести, що:
а) 
б) 
в) 
2. Обчислити 
і визначити номер N (
) такий, що 
при всіх 
, коли:
а) 
б) 
Відповідь: а) 
; б) 
3. Зясувати, чи має границю послідовність 
, якщо:
а) 
; б) 
;
в) 
Відповідь: а) так; б) так; в) ні.
4. Обчислити границі:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
9) 
10) 
11) 
12) 
13) 
14) 
15) 
16) 
17) 
18) 
Відповідь: 1) -2; 2) 0; 3) 
; 4) 
5) 
; 6) 6; 7) 1; 2;
9) 
; 10) 3; 11) 
; 12) 0; 13) ; 14) 
; 15) 
;
16) 
; 17) 
; 18) .
5. Обчислити суму всіх членів спадної геометричної прогресії 1, 
Відповідь: S=3.
1. Знайти 
Використовуючи теорему про границю добутку маємо:
Оскільки 
аналогічно 
Відповідь: - 9.
2. Знайти 
.
3. Знайти 
Завдання для перевірки знань
1. Довести, що при послідовність 3, 
має границею число 2.
2. Довести, що при послідовність 
має границею число 1,5.
