Практичне заняття
1. Довести, що . Починаючи з якого n маємо
Виберемо довільне число і покажемо, що існує такий номер N, що для всіх членів послідовності з номерами n > N виконується нерівність
(1)
Для визначення N досить розв’язати нерівність (1) відносно n:
.
Отже, якщо , то нерівність (1) виконується для будь-якого наперед заданого числа
. Якщо
, то за N беремо цілу частину виразу
, тобто N =
. А якщо
, то за N можна взяти 1 або будь-яке інше натуральне число.
Зокрема, при , N =
. Отже, при
дістанемо
2. З’ясувати, чи має границю послідовність (xn), якщо:
а) б)
в)
а) Оскільки то послідовність (
) обмежена. Неважко бачити, що
для всіх
, тобто (
) монотонно зростає. Отже, вона має границю.
б) Члени послідовності з парними номерами прямують до 1 при , оскільки
. А члени послідовності з непарними номерами прямують до 2 при
. Отже, згідно з означенням, послідовність немає границі, тобто є розбіжною.
в) Дана послідовність є добутком нескінченно малої послідовності , оскільки
, і обмеженої послідовності
, тому що
. Тоді за властивістю 2) задана послідовність має границю, що дорівнює 0.
3. Обчислити границі:
а) б)
в) г)
д) ; е)
є)
ж)
а) скористаємось теоремою про границю двох послідовностей. Неважко побачити, що границя першого доданка дорівнює 0, а другий доданок є добутком нескінченно малої послідовності на обмежену послідовність
, тому його границя також дорівнює нулю. Отже, за властивістю 1( задана послідовність є нескінченно малою.
б) У даному випадку чисельник і знаменник мають нескінченні границі, тому користуватись теоремою про границю частки не можна. Перетворимо дріб, поділивши чисельник і знаменник на (найвищий степінь n). Дістанемо
Оскільки маємо
,
,
,
, то, застосувавши теорему про границю суми і добутку, помічаємо, що границя чисельника дорівнює 1, а знаменника 3. за теоремою про границю частки маємо
в) Поділимо чисельник на знаменник дробу на , а потім скористаємось теоремою про границю суми і частки. Дістанемо
г) Аналогічно попередньому маємо
Оскільки при
, а знаменник є нескінченно малою послідовністю, то задана послідовність є нескінченно великою, тобто
У прикладах б) - г) порівняйте старші степені чисельників і знаменників заданих дробів і зробіть висновок відносно одержаних відповідей.
д) У даному випадку маємо різницю двох нескінченно великих послідовностей. Позбавимося ірраціональності в чисельнику, вважаючи, що знаменник дорівнює 1, і застосуємо теорему про зв’язок нескінченно малої і нескінченно великої послідовностей. Матимемо.
е) Поділивши чисельник і знаменник виразу, що стоїть в дужках, на n і скориставшись властивістю степеня, дістанемо
Користуючись теоремою про границю добутку, частки і формули (1), маємо
є) Оскільки , то
. Тоді
ж) Маємо границю послідовності комплексних чисел. Обчислимо границі дійсної та уявної частин цієї послідовності. Оскільки
, то
Вправи для самоперевірки
1. Довести, що:
а) б)
в)
2. Обчислити і визначити номер N (
) такий, що
при всіх
, коли:
а) б)
Відповідь: а) ; б)
3. Зясувати, чи має границю послідовність , якщо:
а) ; б)
;
в)
Відповідь: а) так; б) так; в) ні.
4. Обчислити границі:
1) 2)
3)
4) 5)
6) 7)
9)
10) 11)
12) 13)
14) 15)
16) 17)
18)
Відповідь: 1) -2; 2) 0; 3) ; 4)
5)
; 6) 6; 7) 1;
2;
9) ; 10) 3; 11)
; 12) 0; 13)
; 14)
; 15)
;
16) ; 17)
; 18)
.
5. Обчислити суму всіх членів спадної геометричної прогресії 1,
Відповідь: S=3.
1. Знайти
Використовуючи теорему про границю добутку маємо:
Оскільки
аналогічно
Відповідь: - 9.
2. Знайти
.
3. Знайти
Завдання для перевірки знань
1. Довести, що при послідовність 3,
має границею число 2.
2. Довести, що при послідовність
має границею число 1,5.