Муниципальное общеобразовательное учреждение
средняя общеобразовательная школа № 31
города Мурманска
Приложение к программе элективного курса
Применение математических методов и моделей для решения
экономических задач
(усиление прикладной направленности математики)
8-10 класс
Автор: Иванова Татьяна Ивановна
МОУ СОШ № 31
город Мурманск, 2010 год
Примерные задачи, рассматриваемые в курсе изучения экономического модуля
Понятие спроса и предложения
Микроэкономика занимается анализом деятельности отдельных подразделений хозяйственной системы (отдельных фирм, предприятий, рынков конкретных видов товаров или услуг и т.д.). Одной из важных составляющих такого анализа является изучение взаимодействия спроса и предложения.
Спрос – сложившаяся в определённый период времени зависимость величин спроса на данном товарном рынке от цен, по которым товары могут быть предложены к продаже.
Закон спроса – повышение цен ведёт к уменьшению величины спроса, а снижение цен к её увеличению.
Предложение – сложившаяся в определённый период времени зависимость величин предложения на рынке определённого товара в течение определённого времени (месяца, года) от уровня цен, по которым этот товар могут быть продан.
Закон предложения – повышение цен обычно ведёт к росту величины предложения, а снижение цен – к её уменьшению
Рыночное равновесие – ситуация на рынке, когда предложение и спрос совпадают или эквивалентны при цене приемлемой и для потребителя и для производителя (продавца).
Равновесная цена - цена позволяющая продать весь объём товаров, который изготовители (продавцы) согласны при такой цене пустить на продажу.
Прибыль – превышение выручки от продаж товаров над общей суммой затрат над общей суммой затрат на их изготовление и продажу.
8 класс
задача № 8.1
Повторение курса 7-го класса
(Функции в экономике, спрос и предложение, рыночное равновесие)
Зависимость между ценой товара и готовностью покупателей его купить по этой цене выражается формулой: Q (P) = 15-4P, а зависимость между ценой товара и готовностью продавцов его продать по этой цене выражается формулой: Q (P) = -3+5P.
Определить при какой цене интересы и покупателей, и продавцов будут соблюдены, и сколько товара по этой цене будет продано на рынке.
Решение. I способ (графический).
Построим в системе координат графики данных функций.
Точка их пересечения и даст нам равновесные цену и объём продаж.
Цена: Р = 2 ден.ед.
Объём продаж: Q = 7 ед.
Замечание: следует учесть, что в экономике аргумент функции записывается на вертикальной оси, а значения функции на горизонтальной.
II способ (аналитический).
Составим систему уравнений.
Вывод: при цене 2 ден.ед. на рынке будет продано 7 ед. товара. Это та цена и количество, при которых состояние рынка будет равновесным, т.е. все покупатели, которые хотели купить товар смогут его купить, а продавцы смогут продать весь имеющийся у них товар.
Вопросы:
Изменится ли состояние рынка, если продавцы, желая получить больше прибыли, установят цену выше рыночной? ( Да. Произойдёт затоваривание рынка.)
Изменится ли состояние рынка, если увеличится доход населения?
Задача № 8.2
Дробно - рациональные уравнения
(Решение уравнений, возникающих при исследовании математических моделей экономики)
На линии молочного завода изготавливается два вида мороженого: шоколадное и клубничное. За 8 часов работы с каждой линии сходит одинаковое количество порций мороженого. Но в этот день на шоколадной линии произошла поломка, и выпуск шоколадного мороженого сократился на 2 тыс. порций. При этом по расчётам технологов на изготовление одной порции шоколадного мороженого затрачивается на 1,2 сек. времени больше, чем на выпуск одной порции шоколадного мороженого. Сколько порций клубничного и шоколадного мороженого было выпущено в этот день?
Решение.
Обозначая через Х число порций клубничного мороженого, выпускаемого за 8 часов (480 минут), получаем уравнение:
( 1,2 сек.=0,02 мин.)
Вывод: (традиционный ответ на поставленный вопрос).
Задача № 8.3
Неравенства
(Деятельность банковской системы, простейшие прогнозы выгодности сделки.)
Клиенту предложили сделку: он кладёт деньги в банк, где они каждый месяц удваиваются. В это же время клиент платит банку2400 руб., которые банк изымает из его же денег после каждого их удвоения. Выгодна ли сделка клиенту и, при каком условии?
Решение.
Пусть величина первоначального вклада составляет X рублей.
Тогда условие выгодности сделки может быть записано так:
2Х – 2400 >Х
Х>2400
Вывод: сделка будет выгодна клиенту, если его первоначальный вклад будет
больше 2400 руб.
Вопросы:
Что будет при вкладе 2400 руб.? ( При вложенных 2400 руб.клиент ничего не потеряет, но и ничего не выиграет. )
Что будет при вкладе меньше 2400 руб.? (При вкладе меньше 2400 руб. клиент и вовсе будет нести потери.)
Задача № 8.4
Системы линейных уравнений и системы, сводящиеся к ним
(Определение экономической выгоды)
Затраты на перевозки одного и того же вида груза разными видами транспорта вычисляются по формулам: 
, где х расстояние в сотнях километров; 
- стоимость перевозки в денежных единицах. Определить графически, с какого расстояния более экономичным становится второй вид транспорта по сравнению с первым.
Решение
Построим графики функций . Очевидно, х, у > 0
Пусть А – точка пересечения графиков.
Координаты точки А определим решив систему 
Таким образом, вправо от точки А ( 5; 300) выгоднее перевозка вторым видом транспорта, т.е. начиная с 500 км.
Ответ: 500 км.
Задача № 8.5
Решение систем уравнений второй степени с двумя неизвестными и системы сводящиеся к ним.
(Производительность труда)
Две бригады рабочих начали работу в 8 ч. Сделав вместе 72 детали, они стали работать отдельно. В конце рабочего дня, в 15 ч выяснилось, что за время раздельной работы первая бригада сделала на 8 деталей больше, чем вторая. На другой день первая бригада делала в час на 1 деталь больше, а вторая — на 1 деталь меньше. Работу бригады вновь начали в 8 ч. Сделав 72 детали, стали работать раздельно. Теперь за время раздельной работы первая бригада сделала на 8 деталей больше уже к 13 ч. Сколько деталей в час делала каждая бригада?
Решение.
Пусть: в первый день х деталей в час делала первая бригада,
у деталей в час — вторая бригада.
Тогда: 
часа проработали обе бригады в первый день совместно. Продолжительность первого рабочего дня 7 часов,
поэтому раздельно бригады проработали 
часов.
Тогда (х+1) – производительность труда первой бригады во второй день,
(у-1) - производительность труда второй бригады во второй день, значит во второй день бригады совместно проработали 
часа.
Второй день длился 13-8=5 часов. Значит раздельно бригады проработали 
часов.
Тогда 
- количество деталей, сделанных первой бригадой в первый день за время раздельной работы
- количество деталей, сделанных второй бригадой в первый день за время раздельной работы
Отсюда получим первое уравнение системы
- =8, или 
- количество деталей, сделанных первой бригадой во второй день за время раздельной работы
- количество деталей, сделанных второй бригадой во второй день за время раздельной работы
Составим второе уравнение: - = 8, или
Решим систему способом замены переменных 
Пусть 
, 
, тогда система примет вид 
,
Получаем 
из условия задачи ясно, что х>у, а значит 
>0, поэтому корень 
не подходит, следовательно 
, поэтому х = 13, у = 11
Ответ: первая бригада делала 13 деталей в час, вторая – 11 деталей в час.
Проценты
Простые проценты
Пусть К — сумма начального вклада, р — годовая процентная ставка. Через п лет величина вклада составит
(формула 1)
Начисления на вклад, определяемые формулой (1), называются простыми процентами.
Начисления на вклад по формуле простых процентов –
прообраз арифметической прогрессии
Сложные проценты
Проценты считаются сложными, если начисления на вклад ведутся не от первоначального вклада, а с учетом предыдущих процентных накоплений (т.е. с учетом получения процентов на проценты). Пусть К — начальный денежный вклад под р % годовых. После 
года вклад будет равен:
Величина вклада при сложных процентах, начисляемых не один, а 
раз в год вычисляется по формуле
Начисления на вклад по формуле сложных процентов –
прообраз геометрической прогрессии
Задача № 8.5
Решение квадратных уравнений
(Вычисление ставок процента в банке)
Какой процент ежегодного дохода давал банк, если, положив на счёт 13000 руб., вкладчик через 2 года получил 15730 руб.?
Решение.
Если Х-годовой банковский процент, то по формуле сложных процентов
получаем
,
отсюда
Х=10 и Х= - 210 (искл. по смыслу)
Вывод: банк давал 10 % годового дохода.
Вопросы:
Почему исключили - 210 %? ( Сумма вклада растёт, значит, процент не может быть отрицательным)
Если бы Х = 210 , мы бы тоже его отбросили? ( Да, т.к. он нереален. Ни один банк не станет давать вкладчику за год в качестве процентных отчислений сумму, которая почти в два раза превышает сам вклад.)
9 класс
Задача № 9.1
Прогрессии
(Простые и сложные проценты. Анализ предполагаемой выгоды.)
У нас образовалась прибыль в размере 100у.е. Есть три банка, в которые можно положить деньги: 1-й банк - простые проценты из расчёта 3 % в месяц;
2- й банк – под простые проценты из расчёта 40 % в год;
3 –й банк – под сложные проценты из расчёта 30 % в год.
Мы хотим положить деньги на три года. В каком банке это наиболее выгодно?
Решение.
Простые проценты – прообраз арифметической прогрессии. Постоянно за определённый промежуток (месяц, год) начисляется одна и та же сумма, определённая количеством процентов.
Сложные проценты – прообраз геометрической прогрессии. Каждый год сумма увеличивается в одно и то же число раз.
1. 1-й банк: 
, d=0,03
Найти 
. (Ответ: через 3 года получим 101,08 руб.)
2. 2-й банк: , d= 0,4
Найти 
. (Ответ: через 3 года получим 220 руб.)
3. 3-й банк , q=1,3 (100 %+30 %)
Найти . (Ответ: через 3 года получим 219,7 руб.)
Вывод: выгоднее положить деньги во второй банк.
Вопрос:
Изменится ли что-то, если деньги класть на 5 лет? ( Да. Выгоднее на 5 лет класть деньги в 3-й банк.)
Задача № 9.2
Руководство фирмы считает, что для замены части оборудования потребуется 10 000 тыс ден.ед. На эту сумму в банке был оформлен кредит на 2 года под 6 % годовых. Процентная ставка фиксирована, проценты сложные. Сколько денег ежемесячно должна вносить фирма в банк, чтобы в срок погасить кредит?
Решение.
В нашем случае К =10 000, р =6 %, п = 2. Сумма основного долга и процентов составит
Следовательно, ежемесячные платежи фирмы равны 
Ответ: 468,17 ден. ед.
Задача № 9.3
Наибольшее и наименьшее значение функции
(Решение задач о максимальном выпуске и минимальной стоимости без использования производной)
Пусть некоторая фирма изучила связь между ценой Р (руб.)единицы своего товара и количеством q единиц товара, продаваемого за день, и установила, что
q = 570 – 3р
Выясним, какую цену на товар установит фирма, чтобы выручка от его реализации была наибольшей.
Решение.
1. Поскольку 
и 
, очевидно, что 
2. Пусть u-выручка, значит 
или 
3. Выражение 
принимает наибольшее значение при
р =570/6 = 95,
его значение в этой точке равно 27075 .
Вывод: Оптимальная цена равна 95 руб. При этом выручка составит 27075 руб.
Вопрос:
Будет ли величина прибыли равна 27075 руб.? (Нет. Прибыль – это выручка минус затраты)
Есть ли смысл повышать цену на товар? (Нет, т.к. на промежутке
функция u(P) убывает, а значит, выручка будет падать.)
Задача № 9.3
Уравнения, неравенства, системы
(Рыночное равновесие, динамика равновесия при изменении условий)
Исследования рынка труда города М., показали что на местном рынке труда низкоквалифицированной рабочей силы
спрос на труд имеет следующий вид: L = 5000-2w,
а предложение труда характеризуется функцией: L=1000+2w,
где L-количество работников, а w- величина заработной платы.
Каковы значения зарплаты и численности работников на данном рынке труда, при которых будут удовлетворены и интересы наёмных работников и их работодателей?
Решение.
Рассчитаем условие равновесия рынка, решив систему
Решением системы является пара w=1000, L= 3000
Вывод: Равновесный уровень заработной платы равен 1000 рублей в месяц при численности занятых 3000 чел.
Вопрос:
Перед выборами губернатор города М. пообещал зафиксировать размер минимальной зарплаты на уровне 1500 рублей в месяц и снизить безработицу на рынке низкоквалифицированной рабочей силы.
Прокомментируйте совместность этих целей.
В результате установления минимального размера оплаты труда на уровне 1500 рублей работодатели смогут принять на работу только 2000 человек, а количество желающих работать при этом уровне зарплаты составит 4000 человек. В итоге занятость сократится до 2000 человек при избыточном предложении рабочей силы в 2000 человек.
Таким образом, имеем, что одновременного увеличения зарплаты и сокращения безработицы на рынке труда города М., как обещает губернатор, не произойдёт.
10 класс
« Применение дифференциального исчисления»
Экономический смысл производной
Производственная функция — экономико-математическое уравнение, связывающее переменные величины затрат (ресурсов) с величинами продукции (выпуска).
Применяются для анализа влияния различных факторов на объем выпуска в определенный момент времени.
В отдельной фирме, корпорации и т. п. ПФ описывает максимальный объем выпуска продукции, которую они в состоянии произвести при каждом сочетании используемых факторов производства.
Предельные издержки производства – это дополнительные затраты предприятия для производства дополнительной единицы продукции
Значение производной функции в данной точке есть предельные издержки производства при данном его объёме.
Производительность труда
Пусть дана функция 
, выражающая объём произведённой продукции и за единицу времени t,
а z(t) – производительность труда в момент времени t ,
тогда производительность труда в момент времени есть значение производной функции 
10 класс
Задача № 10.1 (экономический смысл производной)
(Производительность труда)
Объём продукции и, выпускаемой рабочим в течение рабочего дня , выражается формулой
где t — время, ч; причем 1 <t <8. Необходимо вычислить производительность труда через 1 ч после начала и за 1 ч до окончания рабочего дня.
Решение.
Производительность труда z(t) выражается формулой z(t) = u'(t). Тогда
Производительность труда через 1 ч после начала работы определяется как z(1):
z(1) = 112,5,
т.е. через 1 ч после начала работы производительность труда равна 112,5 единиц продукции в час. Производительность труда за 1 ч до окончания работы определяется как z(7):
z(7) = 82,5. единиц продукции в час.
Ответ: 112,5 и 82,5 единиц продукции в час.
Вопрос:
В какой момент рабочего времени производительность труда будет наибольшей?
Задача № 10.2 (экономический смысл производной)
(Предельные издержки производства.)
Пусть функция затрат при производстве апатитового концентрата имеет вид:
К(Х)=
. Определить предельные издержки производства при увеличении объёма выпуска на 
ед. и на 
ед.
Решение:
, 
при Х=2 и Х=10
Вывод: Предельные издержки производства составляют 2,5 ден.ед. при росте объёма производства на 2 ед. и 2,17 при росте объёмов производства на 10 ед.
Вопрос: Выгодно ли данному предприятию наращивать производство, если уровень затрат не изменится?
( С ростом производства затраты на каждую следующую единицу продукции уменьшаются, следовательно, в данном случае увеличивать объём производства выгодно.)
Задача № 10.3 (наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке)
(Анализ затрат при заданном выпуске)
Цементный завод производит X тонн цемента в день. По договору он должен ежедневно поставлять строительной фирме не менее 20 тонн цемента. Производственные мощности завода таковы, что выпуск не может превышать 90 тонн в день.
Определить: 1) при каком объёме производства удельные затраты производства будут наибольшими (наименьшими);
2) выгодно ли строительной фирме быть единственным партнёром завода.
Функция суммарных затрат имеет вид: 
.
Решение:
При данном объёме производства удельные затраты составят:
Наша задача сводится к отысканию наибольшего и наименьшего значений функции на промежутке
, при Х= 49
f(20)= 1760, f(49)=2601, f(90)= 920
Вывод: 1) наибольшая величина затрат на единицу продукции составит 2601ден.единицу при выпуске 49 тонн цемента в день , а наименьшая 920 ден. единиц при выпуске 90 тонн цемента в день.
2) фирме не выгодно быть единственным потребителем цемента, т.к. она переплачивает за товар.
Вопрос: Каковы должны быть ближайшие шаги руководства заводом?
Ответ: Срочный поиск новых потребителей, иначе завод рискует потерять и тех клиентов, которых имеет.
Задача 11.1 (теория вероятностей)
Что более вероятно: узнать в первом встретившемся по приезде в Москву единственного проживающего в этом городе знакомого или отгадать в лотерее 6 номеров из 49?
Население Москвы составляет 8,4 млн.человек.
Решение:
1. Вероятность встретить знакомого = 
2. Сочетание из 49 элементов по 6 есть 
3. Вероятность отгадки равна 
4. Вероятность отгадки в лотерее почти в 1,5 раза меньше.
Литература:
Липсиц И.В. « Экономика» ( Вита-Пресс, 1996 год, Москва)
Макконнелл К.Р. , Брю С.Л. « Экономикс» (Том 1,2. Республика. 1993 год)
Мицкевич А.А. « Экономика в задачах и тестах» (Вита-Пресс, 1998 год, Москва)
Савицкая Е.В. « Уроки математики в школе» (Вита-Пресс, 1997 год)
Симонов А.С. « Некоторые приложения геометрической прогрессии в экономике» (Математика в школе, 1998. № 3)
Симонов А.С. « Проценты и банковские расчёты» (Математика в школе, 1998. № 4)
Коршунова Н., Плясунов В. « Математика в экономике» (Вита-Пресс, 1996, Москва)
Федеральный комплект учебников по алгебре и алгебре и началам анализа.
Гуринович С.Л. «Математика, задачи с экономическим содержанием»,(Минск, 2008 год)
Газета «Математика» № 12, 2009 год
Открытый банк задач по математике
ЕГЭ – 2010 года.
Задачи с экономическим содержанием
В 1( 24 типа задач)
Прототипы № 26621- № 26645
Прототип № 26618
Флакон шампуня стоит 160 рублей. Какое наибольшее число флаконов можно купить на 1000 рублей во время распродажи, когда скидка составляет 25%?
Прототип № 26617
Сырок стоит 7 рублей 20 копеек. Какое наибольшее число сырков можно купить на 60 рублей?
Прототип (№ 26617)
Теплоход рассчитан на 750 пассажиров и 25 членов команды. Каждая спасательная шлюпка может вместить 70 человек. Какое наименьшее число шлюпок должно быть на теплоходе, чтобы в случае необходимости в них можно было разместить всех пассажиров и всех членов команды?
Прототип (№ 26619)
Шариковая ручка стоит 40 рублей. Какое наибольшее число таких ручек можно будет купить на 900 рублей после повышения цены на 10%?
В 5( 19 типов задач)
Прототипы № 26672- № 26690
Прототип: 26672,
Для транспортировки 39 тонн груза на 1100 км можно использовать одного из трех перевозчиков. Стоимость перевозки и грузоподъемность автомобилей для каждого перевозчика указана в таблице. Сколько рублей придется заплатить за самую дешевую перевозку за один рейс?
Перевозчик
Стоимость перевозки одним автомобилем (руб. на 100 км)
Грузоподъемность автомобилей (тонн)
А
3200
3,5
Б
4100
5
В
9500
12
Прототип: 26673,
Интернет-провайдер (компания, оказывающая услуги по подключению к сети Интернет) предлагает три тарифных плана.
Тарифный план
Абонентская плата
Плата за трафик
1. План "0"
Нет
2,5 руб. за 1 Mb.
2. План "700"
600 руб. за 700 Мb трафика в месяц
2 руб. за 1 Mb сверх 700 Mb.
3. План "1000"
820 руб. за 1000 Mb трафика в месяц
1,5 руб. за 1 Mb сверх 1000 Mb.
Пользователь предполагает, что его трафик составит 750 Mb в месяц и, исходя из этого, выбирает наиболее дешевый тарифный план. Сколько рублей заплатит пользователь за месяц, если его трафик действительно будет равен 750 Mb?
Прототип: 26676,
Клиент хочет арендовать автомобиль на двое суток для поездки протяженностью 1000 км. В таблице приведены характеристики трех автомобилей и стоимость их аренды. Помимо аренды клиент обязан оплатить топливо для автомобиля на всю поездку. Какую сумму в рублях заплатит клиент за аренду и топливо, если выберет самый дешевый вариант?
Автомобиль
Топливо
Расход топлива
(л на 100 км)
Арендная плата (руб. за 1 сутки)
1
Дизельное
7
3700
2
Бензин
10
3200
3
Газ
14
3200
Цена дизельного топлива 19 руб. за литр, бензина 22 руб. за литр,
газа 14 руб. за литр
Прототип (№ 26688)
Своему постоянному клиенту компания сотовой связи решила предоставить на выбор одну из скидок. Либо скидку 25% на звонки абонентам других сотовых компаний в своем регионе, либо скидку 5% на звонки в другие регионы, либо 15% на услуги мобильного интернета.
Клиент посмотрел распечатку своих звонков и выяснил, что за месяц он потратил 300 руб. на звонки абонентам других компаний в своем регионе, 200 руб. на звонки в другие регионы и 400 руб. на мобильный интернет. Клиент предполагает, что в следующем месяце затраты будут такими же и, исходя из этого, выбирает наиболее выгодную для себя скидку. Какую скидку выбрал клиент? В ответ запишите, сколько рублей составит эта скидка.
Прототип №26686
В таблице даны условия банковского вклада в трех различных банках. Предполагается, что клиент кладет на счет 10000 р. на срок 1 год. В каком банке к концу года вклад окажется наибольшим? В ответе укажите сумму этого вклада в рублях.
Банк
Обслуживание счета*
Процентная ставка (% годовых)**
Банк А
40 руб. в год
2
Банк Б
8 руб. в мес.
3,5
Банк В
Бесплатно
1,5
В 10( 2 типа задач)
Прототипы № 27954- № 27956
Прототип №27954
Некоторая компания продает свою продукцию по цене 
руб. за единицу, переменные затраты на производство одной единицы продукции составляют 
руб., постоянные расходы предприятия 
руб. в месяц. Месячная операционная прибыль предприятия (в рублях) вычисляется по формуле 
. Определите наименьший месячный объем производства q (единиц продукции), при котором месячная операционная прибыль предприятия будет не меньше 700000 руб.
Прототип (№ 27956)
Для одного из предприятий – монополистов завиcимоcть объeма cпроcа на продукцию q (единиц в месяц.) от цены p (тыc. руб.) задаeтcя формулой q =210-15 p.
Выручка предприятия за меcяц r (тыc. руб.) вычиcляетcя по формуле r = qp.
Определите наибольшую цену p, при которой меcячная выручка cоcтавит не менее 360 тыc. руб. Ответ приведите в тыc. руб.