Применение скалярного произведения векторов
на уроках алгебры.
Учитель математики лицея №344
г. Санкт-Петербург, Воробей И.М.
Основная цель : ознакомить с данным методом и показать его эффективность при решении уравнений , систем уравнений и некоторых других алгебраических задач.
Векторный метод может быть успешно применен не только в геометрии , но и в алгебре.
Сначала напомним определение и свойства скалярного произведения векторов.
Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними :
=||
|
|
, где α – угол между векторами и
Так как |
, то ||||
||| , следовательно ,
≤|||| .
Если векторы и коллинеарные , то 
|= ||
|. В случаи , когда
, 
= |||.
Если векторы имеют известные в прямоугольной системе координат координаты , т.е. =
; и вектор { 1 ; 1 } .
= 
; | |=
= 
; | |= 
.
Т.к. 
||,то 
.
Итак , 
По условию 
Но = |
|| , если векторы и сонаправленные , т.е.
. Откуда 
Ответ : 1.
Пример 2. Решить уравнение 
.
Решение. ОДЗ: 
Пусть {
и { 1; 1}.
|| = 
; || = ; 
;
; 
.
Равенство возможно только , если векторы 
сонаправленные ,т.е.
; 
.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: 1 
.
Пример 3. Решить систему уравнений 
.
Решение . Пусть { 
, а 
;|
; 
.
По условию 
следовательно , |
; |
.
Т.к 
, то 
а по условию 
Значит, векторы сонаправленные . Имеем 
; 
. Из 1-ого уравнения получаем 
Ответ: 
Пример 4. Решить систему уравнений 
.
Решение . Рассмотрим вектор 
и вектор 
;
|
из условия имеем |
|
; |
Следовательно, исходя из условия, имеем 
. Это равенство возможно , если векторы и сонаправленные ,т.е. 
; 
. Подставляя во 2-ое уравнение системы получим 
. Тогда 
. Исходная система имеет восемь решений.
Ответ : (
; 
;
Пример 5. Доказать , что система уравнений
не имеет решений.
Доказательство. Пусть 
, |
. По условию 
значит , |
. Т.к. 
, то 
Из условия 
. Значит , система не имеет решений , что и требовалось доказать.
Пример 6 . При каком значении 
функция 
принимает наибольшее значение ?
Решение . D(y) = [ - 2 ; 6 ] . Рассмотрим векторы {
и 
; |
; | ; |
.
Т.к. , то 
Итак , наибольшее возможное значение функции равно 4. Равенство достигается , если .
Т.е. 
. Решив это уравнение , получим , что 
- корень уравнения.
Ответ : при функция принимает наибольшее значение.
Пример 7 . Найти наибольшее значение выражения 
.
Решение . Рассмотрим векторы {
и 
.
; 
Т.к. , то получаем 
Итак , наибольшее значение выражения 
равно 17 .
Ответ : 17 .
Пример 8 . При всех значениях параметра 
решить уравнение
.
Решение . ОДЗ ( для параметра 
: 
.
Рассмотрим векторы 
и 
; |
.
Т.к. 
, то 
.
Равенство возможно , если 
,т.е. 
(*) . При 
исходное уравнение имеет единственный корень 
Решая уравнение (*) , получим 
.
Ответ: при 
;
при 
уравнение решений не имеет.
Пример 9 . При каких значениях параметра уравнение 
имеет решение. Найти его .
Решение . ОДЗ ( для параметра ) : 
Рассмотрим 
;
Т.к. , то 
. Равенство возможно , если векторы сонаправлены , т.е. 
.
Если 
, то уравнение примет вид 
, откуда 
Если 
, то из пропорции получим 
; 
,
откуда 
Ответ: 
уравнение не имеет решений , если 
Пример 10 . Доказать неравенство 
Доказательство . Докажем это неравенство с помощью скалярного произведения векторов. Рассмотрим два вектора 
и 
.
Т.к. , то 
, что и требовалось доказать .
Пример 11 . Доказать , что если 
Доказательство . Рассмотрим векторы 
и 
; 
. Т.к и по условию 
, то получим 
. Что и требовалось доказать .
Было рассмотрено несколько математических задач , которые решены «векторным» методом , точнее с помощью скалярного произведения векторов. Главная трудность в использовании этого метода в решении задач заключается в выборе векторов. Нужно выбрать координаты векторов 
и 
так , чтобы уравнение приняло вид 
.