Расположение корней квадратного трехчлена.
Пусть числа х1 и х2 – корни квадратного трехчлена f(x)= ax2+bx +c, причем х1< x2 , D=b2-4ac≥0 , а≠0 и даны А и В – некоторые точки на оси Ох. Тогда:
Теорема 1. Оба корня меньше числа А, то есть х1<А, х2<А тогда и только тогда, когда
а>0 (1) а<0 (4)
х0 = -b/2a < A (2) или х0 = - b/2a f (A) > 0 (3) f(A) < 0 (6) Если в первой системе объединить условия (1) и (3) , а во второй условия (4) и (6), то получим новую систему : x0= -b/2a < A, a∙ f(A) >0 . Теорема 2. Корни лежат по разные стороны от числа А, то есть х1<А<х2 тогда и только тогда, когда а>0 или a<0 f (A) <0 f(A)>0 Запишем условия данных систем одним неравенством: a∙f(A) <0 . Теорема 3. Оба корня больше числа А, то есть х1>А и х2>А тогда и только тогда, когда а>0 (1) a<0 (4) х0 >А (2) или x0 >A (5) f(A) >0 (3) f(A)<0 (6) Объединяя в первой системе условия (1) и (3), а во второй системе условия (4) и (6) , получим: х0 > А, а∙f(A) >0 . Теорема 4. Оба корня лежат между числами А и В, то есть А<х1<В и А<х2<В тогда и только тогда, когда a>0 (1) a<0 (5) A F (A) >0 (3) f(A) <0 (7) f(b) >0 (4) f(B) < 0 (8) Объединив условия (1), (3) и (4) первой системы и условия (5), (7) и (8) второй системы, получим А < х0 < В, a∙f(A) > 0, a∙f(B) > 0. Теорема 5. Корни лежат по разные стороны от отрезка [A;B], то есть х1< А < В < х2 тогда и только тогда, когда а>0 a<0 f(A)<0 или f(A)>0 f(B)<0 f(B)>0 Упростив данные системы, получим : a∙f(A)<0, a∙f(B)<0 . Рассмотрим вопросы практического применения теорем о знаках квадратного трехчлена и теорем о расположении корней квадратного трехчлена. Задача 1. При каких значениях параметра а уравнение х2+2∙(а+1)х+9=0 имеет два различных положительных корня? Решение. Так как по условию корни различны, то D>0. Воспользуемся теоремой 1( о знаках корней квадратного трехчлена). Составим систему : D= (a+1)2- 9 >0, (a-2)∙(a+4)>0, x1∙x2=9>0, <> a< -1. -2∙(a+1)>0.