Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального

образования МО «Академия социального управления»

Дополнительное профессиональное образование

Кафедра математических дисциплин

ПРОЕКТ

Реализация требований ФГОС ООО при обучении учащихся 7 класса

теме: «Системы линейных уравнений»

Выполнил

слушатель учебного курса

«Актуальные проблемы развития профессиональной компетентности учителя математики (в условиях реализации ФГОС)»

учитель математики МАОУ лицей № 14 им. Ю.А. Гагарина

Щёлковского муниципального района Московской области

Гудкова Алла Борисовна

Руководитель курса:

к.п.н. доцент кафедры

математических дисциплин

Ерина Татьяна Михайловна

Москва 2013

Содержание

Стр.

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. Теоретические основы обучения теме «Системы линейных уравнений».

§ 1. Эссе «Концепции духовно-нравственного развития и воспитания личности гражданина России»

§ 2. Логико-математический анализ содержания темы «Системы линейных уравнений»

§ 3. Цели обучения теме «Системы линейных уравнений»

3.1. Развитие познавательных УУД

3.2. Развитие регулятивных УУД

3.3. Развитие коммуникативных УУД

3.4. Развитие личностных УУД

ГЛАВА 2. Методические рекомендации обучения теме «Системы линейных уравнений».

§ 4. Карта изучения темы и её использование

4.1. Диагностируемые цели обучения теме «Системы линейных уравнений»

4.2. Логическая структура и содержание темы «Системы линейных уравнений»

4.3. Средства обучения теме (в том числе ИТ)

§ 5. Учебный план темы «Системы линейных уравнений».

§ 6. Примеры реализации целей обучения теме «Системы линейных уравнений»

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы

Приложение

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность

Цель проекта: Реализация требований ФГОС ООО при изучении темы:

Для достижения поставленной цели необходимо решение следующих задач.

Задачи исследования.

1. Выявить теоретические основы обучения теме, связанные с реализацией ФГОС ООО.

2. Выполнить отбор средств обучения теме, в том числе средства ИКТ

3. Разработать таблицу целей и карту обучения теме.

4. Составить учебную рабочую программу «Тематическое и почасовое планирование образовательных результатов освоения математики (в соответствии с темой).

5. Разработать методические рекомендации обучения теме и применить их в учебном процессе (фрагментов двух – трёх уроков, иллюстрирующих развитие и формирование УУД при обучении данной теме школьного курса математики).

Решение поставленных задач потребовало использования следующих методов исследования: анализ психолого-педагогической, математической и методической литературы по проблеме исследования, учебников и учебных пособий по математике; беседы с учителями, тестирование учащихся, проведение опытной проверки.

4-6

7-13

14-18

19-21

22-26

27-36

38-41

§ 1. Эссе «Концепции духовно-нравственного развития и воспитания личности гражданина России»

Н.А. Бердяев писал: «Высшие цели жизни не экономические и не социальные, а духовные. Величие народа, его вклад в историю человечества определяется не могуществом государства, не развитием экономики, а духовной культурой».

Образованию отводится ключевая роль в духовно-нравственной консолидации российского общества, в его сплочении перед лицом внешних и внутренних вызовов, в укреплении социальной солидарности, в повышении уровня доверия человека к жизни в России, к согражданам, обществу, государству, настоящему и будущему своей страны.

Наиболее системно, последовательно и глубоко духовно-нравственное развитие и воспитание личности происходит в сфере общего образования, где развитие и воспитание обеспечено всем укладом школьной жизни.

Новая российская общеобразовательная школа должна стать важнейшим фактором, обеспечивающим социокультурную модернизацию российского общества.

Именно в школе должна быть сосредоточена не только интеллектуальная, но и гражданская, духовная и культурная жизнь школьника. Отношение к школе как единственному социальному институту, через который проходят все граждане России, является индикатором ценностного и морально-нравственного состояния общества и государства.

Концепция представляет собой ценностно-нормативную основу взаимодействия общеобразовательных учреждений с другими субъектами социализации – семьёй, общественными организациями, религиозными объединениями, учреждениями дополнительного образования, культуры и спорта, средствами массовой информации. Целью этого взаимодействия является совместное обеспечение условий для духовно-нравственного развития и воспитания обучающихся.

Концепция определяет:

• характер современного национального воспитательного идеала;

• цели и задачи духовно-нравственного развития и воспитания детей и молодежи;

• систему базовых национальных ценностей, на основе которых возможна духовно-нравственная консолидация многонационального народа Российской Федерации;

• основные социально-педагогические условия и принципы духовно-нравственного развития и воспитания обучающихся.

Общеобразовательные учреждения должны воспитывать гражданина и патриота, раскрывать способности и таланты молодых россиян, готовить их к жизни в высокотехнологичном конкурентном мире. При этом образовательные учреждения должны постоянно взаимодействовать и сотрудничать с семьями обучающихся, другими субъектами социализации, опираясь на национальные традиции.

Концепция формулирует социальный заказ современной общеобразовательной школе как определённую систему общих педагогических требований, соответствие которым обеспечит эффективное участие образования в решении важнейших общенациональных задач.

Важнейшей целью современного отечественного образования и одной из приоритетных задач общества и государства является воспитание, социально-педагогическая поддержка становления и развития высоконравственного, ответственного, творческого, инициативного, компетентного гражданина России.

Духовно-нравственное развитие и воспитание личности начинается в семье. Семейные ценности, усваиваемые ребенком с первых лет жизни, имеют непреходящее значение для человека в любом возрасте. Взаимоотношения в семье проецируются на отношения в обществе и составляют основу гражданского поведения человека.

Следующая ступень развития гражданина России – это осознанное принятие личностью традиций, ценностей, особых форм культурно-исторической, социальной и духовной жизни его родного села, города, района, области, края, республики. Через семью, родственников, друзей, природную среду и социальное

окружение наполняются конкретным содержанием такие понятия, как «малая Родина», «Отечество», «родная земля», «родной язык», «моя семья и род», «мой дом».

Более высокой ступенью духовно-нравственного развития гражданина России является принятие культуры и духовных традиций многонационального народа Российской Федерации.

Духовно-нравственное развитие и воспитание обучающихся должны быть интегрированы в основные виды деятельности обучающихся: урочную, внеурочную, внешкольную и общественно полезную.

В МАОУ лицей № 14 имени Ю.А. Гагарина большое внимание уделяется духовно-нравственному развитию обучающихся: на уроках, в процессе внеурочной деятельности внедряется социокультурная программа «Истоки», проводится большая работа по патриотическому воспитанию, к которой привлекаются ветераны Великой Отечественной войны и воины-интернационалисты. В школе создан замечательный музей боевой славы «Чкаловцы». Учащиеся 4 классов осваивают программу «Основы религиозной культуры и этики», а ученики 5 и 8 классов изучают предмет «Родное Подмосковье».

Воспитание человека, формирование свойств духовно-развитой личности, любви к своей стране, потребности творить и совершенствоваться есть важнейшее условие успешного развития России.

§ 2. Логико-математический анализ содержания темы.

Образовательными и воспитательными целями при обучении учащихся 7 класса теме «Системы линейных уравнений» является;

продолжение формирования представлений о математике как универсальном языке науки, средстве моделирования явлений и процессов, об идеях и методах математики;
продолжение овладения математическими знаниями и умениями, необходимыми в повседневной жизни, для изучения школьных естественных дисциплин;
раскрытие конструктивной природы математических понятий;

построение системы математических правил на основе логической связи их между собой;
раскрытие операционного состава единого математического приема неполной индукции, используемого при доказательстве основного содержания изучаемой темы;
воспитание средствами математики культуры личности,
понимание значимости математики для научно-технического прогресса;
отношение к математике как к части общечеловеческой культуры через знакомство с историей развития математики.

Ориентация учебного процесса на достижение данных целей позволяет учителю концентрировать внимание на главном, определять порядок и перспективы работы, осуществлять ясность и гласность в совместной работе учителя и учащихся. Это дает учителю возможность разъяснять учащимся ориентиры в их общеучебной работе, создавать эталоны оценки результатов обучения.

Материал данной темы составляет важную часть школьного курса математики, что и определяет цели ее изучения: в процессе обучения происходит

ознакомление обучающихся с основами наук; развивается логическое мышление, формируются и закрепляются вычислительные навыки. Материал данной темы находит широкое применение при изучении других тем школьного курса математики, так же и других смежных дисциплин, помогают тем самым реализовать межпредметные связи.

Изучение данной темы способствует развитию алгоритмической культуры, критичности мышления. В процессе обучения закрепляется, углубляется и повторяется пройденный материал, решаются разнообразные практические задачи.

При изучении теме «Системы линейных уравнений» можно выделить основные направления ее развертывания в школьном курсе математики:

теоретико - математическая, которая раскрывается в двух аспектах: в изучении наиболее важного класса линейных уравнений, в изучении обобщенного приема и методов решения систем линейных уравнений.
эффективное средство закрепления, углубления, повторения и расширения теоретических знаний;
развитие творческой математической деятельности обучающихся.

Для обучения данной темы по учебнику: Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г.,

Нешков К.И., Суворова С.Б. «Алгебра 7 класс» отводится 17 часов при 4 уроках алгебры в неделю.

1) П 40. Линейное уравнение с двумя переменными – 2 часа;

2) П 41. График линейного уравнения с двумя переменными – 2 часа;

3) П 42. Системы линейных уравнений с двумя переменными – 2 часа;

4) П 43. Способ подстановки – 3 часа;

5) П 44 Способ сложения – 2 часа;

6) П 45 Решение задач с помощью систем уравнений – 5 часов;

Контрольная работа – 1 час.

Обучение теме «Глава VI Системы линейных уравнений» начинается с создания положительной мотивации к ее изучению. Познавательным мотивом является рассмотрение проблемы решения уравнений в натуральных числах в

работах известного греческого математика Диофанта (III в.), в связи с чем уравнения с несколькими переменными, для которых требуется найти решения в натуральных или целых числах, называют диофантовыми уравнениями. Учебно–познавательным мотивом является интерес к решению текстовых задач алгебраическим способом. Очень важны для обучающихся 7 класса узкие социальные мотивы: овладение способом налаживания сотрудничества в учебном труде. Учебно - познавательными действиями при обучении данной темы является распознавание, сравнение, сопоставление, конкретизация общего способа решения для данного типа задач.

Основной учебной задачей при изучении темы «Системы линейных уравнений» является формирование понятий:

линейное уравнение (Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида ax+by=c, где x и y – переменные, a, b и c – некоторые числа);
решение уравнения (Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство);
равносильные уравнения (Уравнения с двумя переменными, имеющие одни и те же решения, называют равносильными).
свойства уравнений

(если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному;

если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному);

график уравнения (графиком уравнения с двумя переменными называется множество всех точек координатной плоскости, координаты которых

являются решениями этого уравнения; графиком линейного уравнения с двумя переменными, в котором хотя бы один из коэффициентов при переменных не равен нулю, является прямая);
решение системы уравнений (решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство. Решить систему уравнений - значит найти все ее решения или доказать, что решений нет.);
способ подстановки

(Алгоритм:

1. выражают из какого-нибудь уравнения системы одну переменную через другую;

подставляют в другое уравнение системы вместо этой переменной полученное выражение;
решают получившееся уравнение с одной переменной;
находят соответствующее значение второй переменной);

способ сложения

(Алгоритм:

1. умножают почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами;

складывают почленно левые и правые части уравнений системы;
решают получившееся уравнение с одной переменной;
находят соответствующее значение второй переменной);

решение задач с помощью систем уравнений

(Алгоритм:

1. обозначают некоторые неизвестные числа буквами и, используя условие задачи, составляют систему уравнений;

решают систему;
истолковывают результат в соответствии с условием задачи).

Для осознанного усвоения алгоритма решения линейных уравнений можно начинать со схемы уравнения и определения его компонентов, определяя логическую цепочку в конструировании определения понятия.

Линейное уравнение с одной переменной:

уравнение и
стандартный вид: ах + в=0, где а, в – числа, х – переменная.

Решение линейного уравнения:

ах = -в,

если а ≠ 0,

то х = -

- единственный корень

если а = 0

в = 0,

то х – любое число

в ≠ 0,

то корней нет.

Прием саморегуляции при решении систем линейных уравнений.

№

Прием выполнения заданий типа: решить систему уравнений

Рефлексия

Выбрать способ решения системы уравнений.

Какие способы решения системы уравнений я знаю?

Вспомнить алгоритм выбранного способа решения.

Знаю ли я алгоритм выбранного способа решения системы уравнений?

Выяснить какие свойства уравнений необходимо применить в процессе решения системы выбранным способом.

Знаю ли я свойства уравнений с двумя переменными?

Выполнить необходимые преобразования.

Полезно указать соответствующее свойство при выполнении преобразований.

Сделать проверку.

Знаю ли я как делать проверку?

Записать ответ.

Знаю ли я как записывать ответ?

Линия уравнений в курсе алгебры 7 класса имеет не только важное теоретическое значение, но и служит практическим целям. Подавляющее большинство задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению различного вида уравнений и систем уравнений.

Преемственность в работе над задачей в курсе математике реализуется посредством эвристического алгоритма на всех этапах решения задачи:

1 этап – анализ содержания задачи;

2 этап – моделирования условия;

3 этап – выделение опорных знаний и основных задач ;

4 этап – моделирование решения задачи;

5 этап – подведение итогов по решению задачи;

6 этап – выполнение возможных обобщений.

Образовательные цели/задачи при обучении темы «Системы линейных уравнений»:

иметь представление о правилах решения уравнений и систем уравнений;
овладеть умением решать сложные системы уравнений различными способами, решать текстовые задачи на составление систем уравнений.

Для создания положительной мотивации при изучении темы можно предложить занимательные задачи, которые решаются с помощью систем уравнений, интересные факты из истории математики по теме «Системы линейных уравнений».

Анализ задачного материала темы

№ задач

По

способу

задания

По характеру требований

По сложности (I, II, III уровни)

По способу решения

По дидактической цели

№№ 1025-1036

Задачи представлены математическим текстом.

Распознать линейное уравнение.

Найти решение линейного уравнения.

I – 1025-1028.

II – 1029-1034.

III – 1035, 1036.

Арифметический.

№ 1030-1034 – на применение свойств уравнений.

№ 1036 - задание с параметром.

Отработка понятий: линейное уравнение, решение линейного уравнения, свойства уравнений.

№ №

1037-1042

Текстовые задачи.

Решить практическую задачу.

II – 1037 -1040.

III – 1041, 1042.

Решение текстовых задач с помощью уравнений.

Отработка решения задач с помощью уравнения с двумя переменными в натуральных числах.

№№ 1045-1047

Задачи представлены математическим текстом.

Определить принадлежность данной точки графику уравнения

I – 1045, 1046.

II – 1047.

Арифметический.

Отработка понятия график линейного уравнения.

№№ 1048.

Задачи представлены математическим текстом.

Построить график уравнения

I – 1048.

II – 1049.

III – 1050.

На построение графика уравнения.

Отработка навыка построения графика уравнения

№№ 1051-1053.

Задачи представлены математическим текстом.

Найти координату точки по заданной второй координате

II – 1051, 1052.

№ 1053 – на определение расположения графика уравнения в координатных четвертях

Алгебраический.

Отработка навыка нахождения координаты точки по заданной координате

№№ 1056-1059

1062-1064

Задачи представлены математическим текстом.

Проверить, является ли пара чисел решением системы уравнений.

Выяснить, сколько решений имеет система уравнений.

I – 1056-1058.

II – 1059

III – 1062-1064

Алгебраический

Отработка понятия решение системы уравнений

№№ 1060--1061

Задачи представлены математическим текстом.

Решить систему уравнений

II – 1060, 1061.

Графический

Отработка графического способа решения систем уравнений.

№№ 1068-1078.

Задачи представлены математическим текстом.

Решить систему уравнений.

I – 1068-1072

II – 1073-1076

III – 1077-1078.

Алгебраический.

Отработка способа подстановки.

№№ 1082-1096.

Задачи представлены математическим текстом.

Решить систему уравнений.

I – 1082-1085

II – 1086, 1092-1096

III – 1087-1091.

Алгебраический.

Отработка способа сложения.

№№ 1099-1122

Текстовые задачи.

Решить задачу

I – 1099-1102.

II – 1103-1114.

III – 1116-1122.

Старинные задачи: №1104, 1105, 1115

Алгебраический

Отработка способов решения систем уравнений при решении текстовых задач

§ 3. Цели обучения теме «Системы линейных уравнений»

За последние десятилетия в обществе произошли кардинальные изменения в представлении о целях образования и путях их достижения. В жизни каждого человека необходимостью и реальностью становится непрерывное образование. В общественном сознании происходит переход от понимания социального предназначения школы как задачи простой передачи знаний, умений и навыков от учителя к ученику к новому пониманию функции школы. Приоритетной целью школьного образования становится развитие у учащихся способности самостоятельно ставить учебные цели, проектировать пути их достижения, контролировать и оценивать свои достижения. Иначе говоря, формирование умения учиться. В связи с этим Стандартом второго поколения предусмотрено прежде всего формирование у учащихся универсальных учебных действий.

Выделяются четыре вида УУД: 1) личностные; 2) регулятивные; 3) общепознавательные; 4) коммуникативные.

Личностные универсальные учебные действия включают: смысло-образование, нравственно-этическое оценивание, самопознание и самоопределение. Владение этими действиями позволяет ученику построить образ своего «Я», способствует личностному, профессиональному, жизненному самоопределению и построению жизненных планов во временной перспективе. Эта группа УУД направлена на установление учащимся значения результатов своей деятельности для удовлетворения своих потребностей, мотивов, жизненных интересов; установление связи между целью учебной деятельности и ее мотивом - определение того, «какое значение, смысл имеет для меня учение».

Выделение морально-этического содержания событий и действий; построение системы нравственных ценностей как основания морального выбора; нравственно-этическое оценивание событий и действий с точки зрения моральных норм; ориентировка в моральной дилемме и осуществление личностного морального выбора – составляющие личностных УУД.

К регулятивным УУД относятся: 1) целеполагание (постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно и усвоено учащимся, и того, что еще неизвестно); 2) планирование (определение последовательности промежуточных целей с учетом конечного результата; составление плана и последовательности действий); 3) прогнозирование (предвосхищение результата и уровня усвоения, его временных характеристик); 4) контроль (сличение способа действия и его результата с заданным эталоном, с целью обнаружения отклонений и отличий от эталона); 5) коррекция (внесение необходимых дополнений и корректив в план, и способ действия в случае расхождения эталона, реального действия и его продукта); 6) оценка (выделение и осознание учащимся того что уже усвоено и что еще подлежит усвоению, осознание качества и уровня усвоения); 7) волевая саморегуляция, как способность к мобилизации сил и энергии, к волевому усилию в преодолению препятствий, эмоциональная устойчивость к стрессам, эффективные стратегии совладания с трудными жизненными ситуациями).
Общепознавательные УУД: общеучебные, логические, постановка и решение проблем.

К общеучебным УУД относятся: самостоятельное выделение и формулирование учебной цели; информационный поиск; знаково-символические действия; структурирование учебной информации и знаний; произвольное и осознанное построение устного и письменного речевого высказывания; смысловое чтение текстов различных жанров; извлечение информации в соответствии с целью чтения; рефлексия способов и условий действия, их контроль и оценка; критичность; выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от условий;

К логическим общепознавательным действиям относятся: анализ объекта с выделением существенных и несущественных признаков; синтез, как составление целого из частей, в том числе с восполнением недостающих компонентов; выбор оснований и критериев для сравнения, классификации, сериации объектов; подведение под понятие, выведение следствий; установление причинно-следственных связей; построение логической цепи рассуждения; выдвижение гипотез, их обоснование; доказательство.

Постановка и решение проблем включает: формулирование проблемы; самостоятельное создание способов решения проблем творческого и поискового характера.

Группа коммуникативных УУД включает: планирование учебного сотрудничества; постановку вопросов; построение речевых высказываний; лидерство и согласование действий с партнером.

Таблица целей обучения теме «Решение систем линейных уравнений»

(Алгебра. 7 класс. Изд. 18-е / Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. – М.: Издательство «Просвещение», 2009 г.)

Формулировки обобщённых целей

Формулировки учебных задач, с помощью которых достигается обобщённая цель

Опознаваемость целей

цель считается достигнутой, если ученик:

на первом уровне

на втором уровне

на третьем уровне

Ц 1:

Приобре-тение и преобра-зование УИ, формиро-вание ПУД

а) анализирует УИ и составляет схему определения понятия: «линейное уравнение с двумя переменными», «решение уравнения с двумя переменными», «график уравнения с двумя переменными», «решение системы уравнений с двумя переменными», «способ подстановки», «способ сложения»; б) анализирует решение задач из учебника, обобщает их решении с помощью готового предписания; в) подводит решённые задачи под готовое предписание; г) перечисляет новые преобразования и правила, используя учебник.

а) составляет схему определения понятия «решение уравнения с двумя переменными», «график уравнения с двумя переменными», «решение системы уравнений с двумя переменными», «способ подстановки», «способ сложения», «алгоритм решения задач с помощью систем уравнений» сравнивая набор объектов, сверяясь с учебником; б) выполняет анализ и обобщает решение задач одного типа и составляет предписание, используя карточку-информатор

а) исследует заданные объекты и самостоятельно составляет схему определения понятия«решение уравнения с двумя переменными», «график уравнения с двумя переменными», «решение системы уравнений с двумя переменными», «способ подстановки», «способ сложения», «алгоритм решения задач с помощью систем уравнений» б) обобщает решение задач одного типа и составляет предписания для решения практических задач.

а) схема определения понятия; б) предписания для решения текстовых задач; в) общие приёмы поиска алгоритма решения систем уравнений.

Приём саморегуляции;

таблицы с предписаниями; карточки-информаторы

Ц 2:

контроль усвоения теории

а) формулирует определения понятия: «линейное уравнение с двумя переменными», «решение уравнения с двумя переменными», «график уравнения с двумя переменными», «решение системы уравнений с двумя переменными», «способ подстановки», «способ сложения» б) выполняет преобразование систем уравнений, используя УИ, предписание, карточку-информатор; в) проговаривает предписания для решения практических задач и решает задачи, используя их; г) рассказывает краткие сведения из истории темы;

д) устанавливает связи данного понятия с ранее изученными; е) применяет правила решения уравнений и алгоритмы решения систем уравнений; ж) обосновывает и доказывает верность выбранного способа решения систем уравнений.

Ц 3:

Примене-ние знаний и умений

Умеет а )решать уравнения с одной переменной; б) решать системы уравнений способом подстановки и способом сложения; в) использовать решение систем уравнений для решения практических задач; г) строить график линейного уравнения с двумя переменными; д) решать систему уравнений с двумя переменными графическим способом.

д) использовать приём саморегуляции для выполнения заданий повышенного уровня сложности; е) составлять задания по теме.

Ц 4: формир-ование коммуни-кативных умений

На своём уровне освоения темы: а) работая в группе, оказывает помощь, рецензирует ответы товарищей, организует взаимоконтроль, взаимопроверку на всех этапах УПД по выполненным заданиям предыдущих уровней с обоснованием; б) оказывает помощь, работающим на предыдущих уровнях; в) составляет контрольную работу в соответствии со своим уровнем освоения темы, предлагает её решить и проверяет решение; г) осуществляет поиск информации для подготовки письменного сообщения и устного выступления в соответствии с изучаемой темой.

Приёмы контроля, оценки; таблица коммуника-тивной компетентности

Ц 5:

формиро-вание организа-ционных умений

В соответствии со своим уровне освоения темы а) сам выбирает уровень освоения темы; б) выбирает темы для дополнительного изучения; в) формулирует цели своей учебной деятельности; г) осуществляет самопроверку с использованием образцов, алгоритмов, приёмов; д) оценивает сою УПД по данным объективным критериям; по собственным критериям, сравнивая их с объективными критериями; е) делает выводы по итогам предыдущей УПД о дальнейших действиях, направленных на коррекцию УПД

Приёмы постановки целей и саморегуляции УПД

УИ - учебная информация; ПУД – познавательные; КУД – коммуникативные; УПД – учебная познавательная деятельность

ГЛАВА 2. Методические рекомендации обучения теме «Системы линейных уравнений».

§ 4. Карта изучения темы «Решение систем линейных уравнений» и её использование.

Логическая структура и цели изучения темы (таблица целей)

Ц 1,5

Ц 2-4

Ц 1,2,4

Ц 2-4

Ц 1,3,4

Ц 2 -4

Ц 1,5

Ц 2,4

Ц 2 - 5

Ц 1,4

Ц 2 - 4

Ц1,4,5

Ц 2-4

Ц2-5

Ц 2 - 5

Ц 2, 3, 5

Ц 2, 3, 4, 5

П. 40

П. 41

С/Р

П. 42

С/Р

П. 43

С/Р

П. 44

С/Р

П. 45

С/Р

П. 45

Подг. к КР

Контрольная работа

Урок

коррекции

II. Блок актуализации знаний учащихся

Знать: преобразования первой и второй групп, определения: линейных уравнений с одной переменными, решения уравнения, правила решения линейных уравнений с одной переменной, графика линейной функции, приём решения текстовых задач. Уметь: решать линейные уравнения, строить график линейного уравнения

III. Предметные результаты (Ц 2, 3 таблицы целей): уметь решать системы линейных уравнений и применять полученные знания для решения текстовых задач, используя понятия: определение системы, решить систему, решение системы; способы решения систем (подстановки, сложения, графический).

YI. Образцы заданий итоговой контрольной работы (Ц 5)

Y. Средства обучения теме

1 уровень

Баллы

2 уровень

Баллы

3 уровень

Баллы

1) Решить системы ур-ний:

2) На 1 плащ и 3 куртки пошло 9 м ткани, а на 2 плаща и 5 курток – 16 м. Сколько ткани требуется на пошив плаща и сколько – на пошив куртки?

3) Прямая у = kx + b проходит через точки А и В. Найдите k и b и запишите уравнение этой прямой, если А(0; 2), В(3; -1).

4) Найдите значения a и b, при которых решением системы уравнений является пара x = 1, y = 1:

1) Решить системы уравнений:

2) 2 гири и 3 гантели весят 47 кг, а 3 гири тяжелее 6 гантелей на 18 кг. Сколько весит гиря и сколько - гантель?

3) График линейной функции проходит через точки А и В. Задайте эту функцию формулой, если А(-5; 32), В(3; -8).

4) Разность квадратов двух натуральных чисел равна 25, а сумма этих чисел тоже равна 25. Найдите эти числа.

1) Решить системы уравнений:

2) Катер за 3 ч по течению и 5 ч против течения проходит 76 км. Найдите скорость течения и собственную скорость катера, если за 6 ч по течению катер проходит столько же, сколько за 9 ч против течения.

3) График линейной функции проходит через точки А и В. Задайте эту функцию формулой, если А(4; 2), В(-4; 0).

4) Решите уравнение:

учебник;
схема определения понятия;
приём решения систем: способом подстановки; способом сложения; графическим способом;
приёмы саморегуляции при выполнении преобразований и решения уравнений и систем линейных уравнений;
предписания для решения текстовых задач.

YI. Задания для внеаудиторной самостоятельной работы (Ц 2, 3, 5)

1 уровень (обязательный уровень стандарта): №№ 1028,1048,1060, 1061, 1070, 1083, 1099, 1101

2 уровень: №№1033,1050,1063, 1073, 1087, 1107, 1109, 1112, 1114

3 уровень: №№1036,1052,1078, 1095, 1115, 1116, 1118

4 уровень: №№ (со звёздочкой)1042,1119, 1120, 1121, 1122

YII. Темы индивидуальных заданий (Ц 5)

Системы Диофанта. 2) Решение систем линейных уравнений с модулем. 3) Самостоятельно выбранная тема.

YIII. Метапредметные результаты: перечень учебных действий (умений) для освоения темы (Ц 1 - 5)

Познавательные УУД

Регулятивные УУД

Коммуникативные УУД

Личностные УУД

Сравнение, обобщение, конкретизация, анализ;

составление схемы определения понятия, подведение под понятие;

постановка и решение проблемы при составлении задачи

Выбор и принятие целей, составление плана, самоконтроль, самооценка, соотнесение своих знаний с той учебной информацией, которую нужно усвоить;

приёмы саморегуляции

Взаимоконтроль, взаимопроверка, распределение обязанностей в группе, умение слушать, выступать, рецензировать, писать текст выступлений

Рефлексия собственной деятельности, смысло-образование, нравственно-этическое оценивание, самопознание и самоопределение

Средства обучения теме (в том числе ИТ)

Учебно-методический комплект

Алгебра. 7 класс. Изд. 18-е / Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. – М.: Издательство «Просвещение», 2009 г.
Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и геометрии для 7 класса. Ершова А.П., Голобородько В.В. - М.: Издательство «ИЛЕКСА», 2012 г.
Дидактические материалы по алгебре для 7 класса. Звавич Л.И., Кузнецова Л.В., Суворова С.Б. – М.: Издательство «Просвещение», 1998 г.
Алгебра. Рабочая тетрадь для 7 класса общеобразовательных учреждений. Миндюк М.Б., Миндюк Н.Г. М.: Издательство «ГЕНЖЕР», 1997 г.

Каталог электронных ресурсов по теме проекта.

http://www.school-collection.edu.ru
http://www.fcior.edu.ru
http://nsportal.ru/shkola/algebra/library/urok-algebry-7-klass-sistemy-dvukh-lineinykh-uravnenii-s-dvumya-peremennymi-k
http://interneturok.ru/ru/school/algebra/7-klass
http://www.openclass.ru
http://festival.1september.ru
http://pikalova-ms.narod.ru/internet_urok1.htm

§ 5. Учебный план темы «Системы линейных уравнений».

Учебный план темы

Примерная форма примерной рабочей учебной программы по математике (фрагмент)

Утверждаю Согласовано Рассмотрено

Директор МАОУ Лицей № 14 Зам. директора по УВР на заседании ШМО

Ф.И.О. Северина Л.Н. Ф.И.О. Середина А.В. протокол № __

от ________________

Руководитель ШМО

Ф.И.О. Щербань С.А.

Тематическое и почасовое планирование образовательных результатов освоения математики

на 2012/2013 учебный год (фрагмент)

Класс: __7А_

Учитель: Гудкова А.Б.

Количество часов: на учебный год: _170 в неделю: 5

Плановых контрольных уроков: I ч. – 42; II ч. –36; III ч. – 52; V ч. – 40.

Планирование составлено на основе источников:

- Федерального компонента образовательного стандарта основного образования по математике;

- Примерной программы основного общего образования по математике;

- Авторской программы Макарычева Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешкова К.И., Суворовой С.Б.

Тематическое планирование составил: Гудкова А.Б. Дата 2012 Роспись _____________

Условные обозначения: ПУУД – познавательные УУД; ПЛ УУД - познавательные логические УУД; ПО УУД - познавательные общеучебные УУД; РУУД – регулятивные УУД; КсУУД – коммуникативные УУД сотрудничество; КрУУД – коммуникативные УУД для общения: развитие устной и письменной речи; Ц1 – Ц 5 – цель 1 – 5; ДЗ – домашнее задание; УПД – учебно-познавательная деятельность.

№ уро-

ков

Раздел, тема урока

Форма урока; форма обучения

Предметные и метапредметные результаты

Ц 1 (ПЛ УУД), Ц 2 (ПО УУД, РУУД), Ц 3 , Ц 4 (КсУУД, КРУУД), Ц 5 (ПОУУД, РУУД)

1 - 12

Название темы

«Решение систем линейных уравнений»

Средства обучения

1) учебник

2) подсказки к поиску решения задач;

3) предписания…

4) карточки с приёмами;

5) Карта темы

Уроки: семинар, практикум, лекция, др.

Фронтальная, индивидуальная и

групповая

формы обучения

Ц 1: приобретение и преобразование учебной информации, формирование ПУД

Ц 2: контроль усвоения теоретических знаний

Ц 3: применение знаний и интеллектуальных умений при решении задач

Ц 4: формирование коммуникативных умений через: включение в групповую работу; взаимопомощь, рецензирование ответов; организацию взаимоконтроля и взаимопроверки на всех этапах УПД

Ц 5: формирование организационных умений (целеполагание, планирование, реализация плана, саморегуляция УПД

Способ подстановки

Урок изучения нового материала

Фронтально-индивидуальная

Ц 1: анализирует УИ и составляет схему определения понятия: «способ подстановки», «равносильные системы уравнений», «алгоритм решения системы уравнений способом подстановки».

Ц 5: введение в тему, постановка и формулирование целей своей учебной деятельности.

Решение систем уравнений способом подстановки.

Практикум

групповая работа

Ц 2: контроль правильности применения схемы определения понятия: «алгоритм решения системы уравнений способом подстановки».

Ц 4: работая в группе, оказывает помощь, рецензирует ответы товарищей, организует взаимоконтроль, взаимопроверку на всех этапах УПД по выполненным заданиям предыдущих уровней с обоснованием; оказывает помощь, работающим на предыдущих уровнях;

Решение систем уравнений способом подстановки.

Урок смешанного типа

Самостоятельная работа

Ц 3: применение знаний и интеллектуальных умений при решении заданий повышенной трудности

Ц 5: саморегуляция УПД

Способ сложения

Урок изучения нового материала

Групповая работа

Ц 1: анализирует УИ и составляет схему определения понятия: «способ сложения», «алгоритм решения системы уравнений способом сложения».

Решение систем уравнений способом сложения.

Урок смешанного типа

Самостоятельная работа

Ц 2: контроль правильности применения схемы определения понятия: «алгоритм решения системы уравнений способом сложения».

Ц 3: применение знаний и интеллектуальных умений при решении заданий повышенной трудности

Решение задач с помощью систем уравнений.

Урок изучения нового материала

Групповая работа

Ц 1: анализирует УИ и составляет схему определения понятия: «алгоритм решения задач с помощью систем уравнений».

Ц 5: саморегуляция УПД

Решение задач с помощью систем уравнений.

Практикум:

Фронтальная и парная формы

Ц 2: контроль правильности применения схемы определения понятия: «алгоритм решения задач с помощью систем уравнений».

Ц 3: применение знаний и интеллектуальных умений при решении задач повышенной трудности

Решение задач с помощью систем уравнений.

Фронтальная и парная формы

Самостоятельная работа

Ц 3: применение знаний и интеллектуальных умений при решении текстовых старинных задач

Ц 5: саморегуляция УПД

Решение задач с помощью систем уравнений.

Фронтальная и парная формы

Ц 3: применение знаний и интеллектуальных умений при решении задач повышенной трудности

Ц 5: саморегуляция УПД

Решение задач с помощью систем уравнений.

Обобщающий урок

Ц 3: применение знаний и интеллектуальных умений при решении задач повышенной трудности

Ц 5: саморегуляция УПД

Контрольная работа

Практикум

Индивидуальная

Ц 2, 3, 5: выбирает задачи своего уровня сложности , решает их, осуществляет самопроверку; делает выводы о качестве собственных знаний, необходимых для выполнения контрольной работы

Урок коррекции и рефлексии

Рефлексивный семинар

Индивидуальная, парная (взаимопомощь)

Ц 2, Ц 3, Ц 4: анализирует собственные ошибки с помощью товарища и исправляет их;

Ц 5: вспоминает планируемые цели своей учебной деятельности; оценивает свою итоговую деятельность по данным объективным критериям; по собственным критериям, сравнивая их с объективными критериями; е) делает выводы о результатах своей деятельности, дальнейших действиях, планирует коррекцию учебной познавательной деятельности

Внеурочная самостоятельная деятельность:

I. Тематика для подготовки рефератов, выступлений на конференцию, математический вечер, декаду математики и др. (по итогам изучения курса за четверть)

1) Системы Диофанта. 2) Решение систем линейных уравнений с модулем.

§ 6. Примеры реализации целей обучения теме

«Системы линейных уравнений»

Тема: «Способ сложения»

Тип урока: ОНЗ

Основные цели:

сформировать умение применять еще один способ решения систем линейных уравнений с двумя переменными - способ сложения;
тренировать универсальные учебные действия;
сформировать мотивацию к учебной деятельности как одно из средств развития и социализации личности учащихся.

Материалы к занятию

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, интерактивная доска.

Демонстрационный материал: компьютерная презентация, содержащая: 1) задание для актуализации знаний;

2) алгоритм решения систем уравнений способом сложения; 3) подробный образец для самопроверки.

Раздаточный материал: 1) задание для актуализации знаний; 2) пробное задание; 3) задание для первичного закрепления; 4) задания для этапа включения в систему знаний; 4) задания для самостоятельной работы.

Деятельность учителя

Деятельность ученика

УУД

1. Мотивация к учебной деятельности.

- «Образование - клад,

Труд - ключ к нему»

П.Буаст

- Почему так говорят? Обсудите в парах свое мнение.

- Зачем учиться каждый определяет для себя сам. Знание - спутник человеку на его пути.

- Что нового вы узнали на предыдущих уроках?

- Сегодня вы продолжаете изучать способы решения систем уравнений.

Высказывают свое мнение по поводу

афоризма.

Способы решения систем уравнений: графический и подстановки.

Познавательные:

осознанное и произвольное построение речевого высказывания в устной форме.

Коммуникативные:

планирование учебного сотрудничества, умение полно и точно выражать свои мысли.

Личностные:

самоопределение, смыслообразование.

2. Актуализация знаний и фиксирование индивидуального затруднения в пробном действии.

Слайд (алгоритм решения системы уравнений методом подстановки)

На доске система уравнений

- Сформулируйте алгоритм решения системы уравнений методом подстановки (последовательно открывает шаги на слайде):

1.Выразить из одного уравнения системы одну переменную через другую.

2.Подставить полученное выражение вместо переменной в другое уравнение.

3.Решить уравнение с одной переменной.

4.Найти значение второй переменной.

5.Записать ответ.

Учитель записывает на доске под диктовку учащихся.

у = 7-2х
4х - (7-2х) = 5

4х-7+2х = 5

6х = 5+7

6х = 12

Х = 2

у = 7-22 = 3

Ответ: (2; 3)

- Как мы решили эту систему?

- С какой целью?

Задание на затруднение.

- А теперь вам надо исключить у из рассмотрения другим способом – сложить оба уравнения системы.

- Возникнут ли у вас затруднения при выполнении задания?

На доске карточки с формулировками возможных затруднений:

1. Я не могу сложить оба уравнения.

2. Я не могу доказать, что сложил уравнение правильно.

Запишите номер карточки, на которой ваше затруднение, озвучьте возможные затруднения

Формулируют алгоритм решения систем уравнений способом подстановки.

Учащиеся работают в тетрадях и комментируют решение.

Выразили у из 2-го уравнения и подставили в первое.

Временно исключили из рассмотрения переменную у.

Записывают номера карточек.

Познавательные:

ОУД: осознанное и произвольное построение речевого высказывания в устной форме.

Знаково-символические действия;

Л: анализ, синтез, сравнение

Регулятивные:

целеполагание,

волевая саморегуляция.

Коммуникативные:

умение полно и точно выражать свои мысли

Личностные:

мотивация учебной деятельности, смыслообразование.

3. Выявление причины затруднения.

- Какое задание должны были выполнить?

Почему возникло затруднение?

Исключить у, сложив оба уравнения системы.

Не знаем способа сложения.

Познавательные:

анализ, постановка и формулирование проблемы

Регулятивные:

волевая саморегуляция

Коммуникативные:

учет разных мнений.

Личностные:

Смыслообразование.

4. Построение проекта выхода из затруднения.

- Сформулируйте цель вашей деятельности.

- Сформулируйте тему урока.

Открывается тема урока на доске.

- Итак, у вас возникло затруднение при сложении уравнений системы.

Узнать способ сложения для решения систем уравнений.

Способ сложения.

Познавательные:

Построение логической цепи рассуждений, постановка познавательной цели, знаково-символические действия, выбор наиболее эффективных способов решения задач, определение основной и второстепенной информации.

Регулятивные:

Планирование, прогнозирование, познавательная инициатива, постановка вопросов.

Коммуникативные:

Формирование и аргументация своего мнения и позиции, понимание относительности мнений и подходов для решения проблем, адекватное использование речи для планирования и регуляции своей деятельности.

Личностные:

Самоопределение, нравственно-этическое оценивание.

5. Реализация проекта выхода из затруднения.

Сложим уравнения так: по отдельности составим сумму левых частей, сумму правых частей уравнений и полученные суммы приравняем.

+ Прямая соединительная линия 4

- Приведем подобные слагаемые.

4х-у+2х+у=5+7

6х=12

- Получили уравнение с одной переменной.

Х=2

- Почему у исключился?

- Как найти у?

22+у=7

4+у=7

у=7-4=3 Ответ (2;3)

Итак, вы решили систему уравнений? Как вы это сделали?

Алгоритм на слайде

1.Сложить почленно левые и правые части уравнений так, чтобы одна переменная исключилась. Коэффициенты при одной переменной должны быть противоположными числами

2. Решить полученное уравнение с одной переменной.

3. Найти значение второй переменной.

6. Первичное закрепление во внешней речи.

- Что теперь надо сделать?

- Решите систему уравнений способом сложения:

Сложим уравнения, чтобы исключить у, х-у+х+у=12
Решим уравнение

2х=12

Х=6

Найдем у. 6+у=7

у=1

Ответ: (6;1)

Записывают решение в тетрадях.

Коэффициенты при у – противоположные числа 1 и -1.

Подставим найденное значение х в любое уравнение системы.

Мы создали алгоритм решения.

Формулируют алгоритм.

_____________________________

Научиться использовать алгоритм для решения систем уравнений.

Ученик у доски, комментируя свои действия, записывает решение; остальные работают в тетрадях.

Познавательные:

Анализ, синтез, сравнение, обобщение, аналогия, знаково-символические действия, установление причинно-следственной связи, подведение под понятие.

Регулятивные:

Волевая саморегуляция, познавательная инициатива.

Коммуникативные:

Личностные:Самоопределение, нравственно-этическое оценивание.

Познавательные:

Построение логической цепи рассуждений, знаково-символические действия, осознанное и произвольное построение речевого высказывания.

Регулятивные:

Контроль в форме сличения способа действия и его результата с заданным эталоном с целью обнаружения отклонений от него, коррекция.

Коммуникативные:

Планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками

Личностные:

смыслообразование.

7. Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону.

- Проверим, как каждый из вас понял новый способ решения систем уравнений.

1 вариант.

2 вариант.

3 вариант.

- Выбирайте один из трех вариантов. Уровень сложности заданий повышается с увеличением номера варианта.

Вариант 1 (левое крыло)

Решение: Сложим уравнения так,

чтобы исключалась переменная у:

2х+у+3х-у=11+9

5х=20

Х=4

Подставим значение х в 1-ое

уравнение системы 2х+у=11:

2*4+y=11

8+y=11

y=3

Ответ: (4;3)

Вариант 2 (правое крыло)

Сложим уравнения

2x+11y+10x-11y=15+9

12x=24

X=2

Подставим X=2 в 1 уравнение

4+11y=15

11y=11

y=1

Ответ:(2;1)

Вариант 3 (боковая доска)

Умножим все члены 2 уравнения на (-1)

Сложим уравнения системы

x+y+(-x)+3y=12

4y=12

y=3

Подставим y=3 в исходное уравнение системы

X+y=7

X+3=7

X=4

Ответ: (4;3)

- У кого задание вызвало затруднение?

На каком шаге алгоритма?

В чём причина затруднения?

У кого правильно?

Самостоятельно решают, проверяют с подробным образцом.

Формулируют затруднения, отвечают на вопросы учителя.

Познавательные:

Анализ, сравнение, знаково-символические действия, использование общих приемов в решении задачи.

Регулятивные:

Самостоятельный учет выделенных ориентиров действия в новом учебном материале, волевая саморегуляция, познавательная инициатива, контроль в форме сличения способа действия и его результата с заданным эталоном с целью обнаружения отклонений от него, коррекция.

Коммуникативные:

Достижение договоренностей и согласование общего решения, адекватное использование речи для планирования и регуляции своей деятельности.

Личностные:

Развитие этических чувств и регуляторов морального поведения.

8. Включение в систему знаний.

- Новый способ можно использовать при решении уравнений с параметрами:

1. При каких значениях а и b решением системы уравнений является пара чисел (2;-1)?

а)

Ответ: a = 11 b = -14

2. При составлении уравнения прямой, проходящей через 2 точки A(2;3) и B(-1;4).

Ответ:

Работают в тетрадях. У доски работают два сильных ученика, комментируя решение.

Познавательные:

Анализ, синтез, сравнение, поиск и выделение необходимой информации, умение структурировать знания, знаково-символические действия, использование общих приемов решения задач.

Регулятивные:

Контроль и коррекция.

Коммуникативные:

Формулирование и аргументирование своего мнения, адекватное использование речи для планирования и регуляции своей деятельности.

Личностные:

Нравственно-этическое оценивание усваиваемого материала.

9. Рефлексия учебной деятельности на уроке.

- Что нового узнали сегодня?

- Что создали вы?

- Где сможете применять новые знания?

-Оцените свою деятельность на уроке:

Нарисуйте в тетради

Блок-схема: процесс 8 - если все поняли

Блок-схема: извлечение 9

- если не все понятно.

Домашнее задание: п. 44 № 1083 (а, б);

№ 1085 (а, б); 1087 (б).

Отвечают на вопросы учителя, оценивают свою деятельность на уроке.

Познавательные:

осознанное и произвольное построение речевого высказывания, контроль и оценка процесса и результатов деятельности

Регулятивные:

Планирование, оценка.

Коммуникативные:

адекватное использование речи для планирования и регуляции своей деятельности.

Личностные:

Самооценка на основе критерия успешности, формирование внутренней позиции («я» -концепция).

Литература.

Федеральный государственный образовательный стандарт основного общего образования, утвержденный приказом Министерства образования и науки Российской Федерации от 17.12. 2010 г. № 1897.
Федеральный государственный образовательный стандарт общего образования. Среднее (полное) общее образование.

Проект стандарта разработан Институтом стратегических исследований в

образовании Российской академии образования.

Руководители разработки проекта: Кезина Л.П., академик РАО; Кондаков А.М., научный руководитель ИСИО РАО, член-корреспондент РАО. Москва, 2011.

Концепция духовно-нравственного развития и воспитания личности гражданина России. А.Я. Данилюк, А.М. Кондаков, В.А. Тишков, Москва, «Просвещение», 2009.
Фундаментальное ядро содержания общего образования (проект). Москва, 2009.
Примерная основная образовательная программа образовательного учреждения. Основная школа. Москва, «Просвещение», 2011.
Методика формирования универсальных учебных действий при обучении геометрии. Л.И. Боженкова. Москва. БИНОМ. Лаборатория знаний, 2013.
Алгебра в схемах и таблицах. Л И. Боженкова. Москва, 2013.
Алгебра. 7 класс. Изд. 18-е / Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. – М.: Издательство «Просвещение», 2009 г.
Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и геометрии для 7 класса. Ершова А.П., Голобородько В.В. - М.: Издательство «ИЛЕКСА», 2012 г.
Дидактические материалы по алгебре для 7 класса. Звавич Л.И., Кузнецова Л.В., Суворова С.Б. – М.: Издательство «Просвещение», 1998 г.
Алгебра. Рабочая тетрадь для 7 класса общеобразовательных учреждений. Миндюк М.Б., Миндюк Н.Г. М.: Издательство «ГЕНЖЕР», 1997 г.

Приложение.

Тема индивидуальных заданий: «Системы Диофанта».

Диофант Александрийский

Диофа́нт Александри́йский (др.-греч. Διόφαντος ὁ Ἀλεξανδρεύς; лат. Diophantus) — древнегреческий математик, живший предположительно в III веке н. э.

Биография

Латинский перевод Арифметики (1621)

О подробностях его жизни практически ничего не известно. С одной стороны, Диофант цитирует Гипсикла (II век до н. э.); с другой стороны, о Диофанте пишет Теон Александрийский (около 350 года н. э.), — откуда можно сделать вывод, что его жизнь протекала в границах этого периода. Возможное уточнение времени жизни Диофанта основано на том, что его Арифметика посвящена «достопочтеннейшему Дионисию». Полагают, что этот Дионисий — не кто иной, как епископ Дионисий Александрийский, живший в середине III в. н. э.

В Палатинской антологии содержится эпиграмма-задача, из которой можно сделать вывод, что Диофант прожил 84 года:

Прах Диофанта гробница покоит; дивись ей и каменьМудрым искусством его скажет усопшего век.Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком.И половину шестой встретил с пушком на щеках.Только минула седьмая, с подругой он обручился.С нею, пять лет проведя, сына дождался мудрец;Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил.Отнят он был у отца ранней могилой своей.Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе,Тут и увидел предел жизни печальной своей.

(Пер. С. Н. Боброва)

В честь Диофанта назван кратер на Луне.

Арифметика Диофанта

Основное произведение Диофанта — Арифметика в 13 книгах. К сожалению, сохранились только 6 первых книг из 13.

Лист из Арифметики (рукопись XIV века). В верхней строке записано уравнение: .

Первая книга предварена обширным введением, в котором описаны используемые Диофантом обозначения. Неизвестную Диофант называет «числом» (ἀριθμός) и обозначает буквой ς, квадрат неизвестной — символом (сокращение от δύναμις — «степень»). Предусмотрены специальные знаки для следующих степеней неизвестного, вплоть до шестой, называемой кубо-кубом, и для противоположных им степеней. Знака сложения у Диофанта нет: он просто пишет рядом положительные члены, причём в каждом члене сначала записывается степень неизвестного, а затем численный коэффициент. Вычитаемые члены также записываются рядом, а перед всей их группой ставится специальный знак в виде перевёрнутой буквы Ψ. Знак равенства обозначается двумя буквами ἴσ (сокращение от ἴσος — «равный»). Сформулированы правило приведения подобных членов и правило прибавления или вычитания к обеим частям уравнения одного и того же числа или выражения: то, что потом у ал-Хорезми стало называться «алгеброй и алмукабалой». Введено правило знаков: минус на минус даёт плюс; это правило используется при перемножении двух выражений с вычитаемыми членами. Всё это формулируется в общем виде, без отсылки к геометрическим истолкованиям.

Бо́льшая часть труда — это сборник задач с решениями (в сохранившихся шести книгах их всего 189), умело подобранных для иллюстрации общих методов. Главная проблематика Арифметики — нахождение положительных рациональных решений неопределённых уравнений. Рациональные числа трактуются Диофантом так же, как и натуральные, что не типично для античных математиков.

Сначала Диофант исследует системы уравнений 2-го порядка от 2 неизвестных; он указывает метод нахождения других решений, если одно уже известно. Затем аналогичные методы он применяет к уравнениям высших степеней.

В X веке Арифметика была переведена на арабский язык, после чего математики стран ислама (Абу Камил и др.) продолжили некоторые исследования Диофанта. В Европе интерес к Арифметике возрос после того, как Рафаэль Бомбелли обнаружил это сочинение в Ватиканской библиотеке и опубликовал 143 задачи из него в своей Алгебре (1572). В 1621 году появился классический, подробно прокомментированный латинский перевод Арифметики, выполненный Баше де Мезириаком. Методы Диофанта оказали огромное влияние на Франсуа Виета и Пьера Ферма; впрочем, в Новое время неопределённые уравнения обычно решаются в целых числах, а не в рациональных, как это делал Диофант.

В XX веке под именем Диофанта обнаружен арабский текст еще 4 книг Арифметики. И. Г. Башмакова и Е. И. Славутин, проанализировав этот текст, выдвинули гипотезу, что их автором был не Диофант, а хорошо разбиравшийся в методах Диофанта комментатор, вероятнее всего — Гипатия.

Другие сочинения Диофанта

Трактат Диофанта О многоугольных числах (Περὶ πολυγώνων ἀριθμῶν) сохранился не полностью; в сохранившейся части методами геометрической алгебры выводится ряд вспомогательных теорем.

Из сочинений Диофанта Об измерении поверхностей (ἐπιπεδομετρικά) и Об умножении (Περὶ πολλαπλασιασμοῦ) также сохранились лишь отрывки.

Книга Диофанта Поризмы известна только по нескольким теоремам, используемым в Арифметике.

Литература

Сочинения

Греческие тексты («Арифметика» и схолии) по изданию Таннери
Диофант Александрийский. Арифметика и книга о многоугольных числах. Пер. И. Н. Веселовского; ред. и комм. И. Г. Башмаковой. М.: Наука (ГРФМЛ), 1974. 328 стр. 17500 экз.
В серии «Collection Budé» начато издание: опубликованы 2 тома (кн. 4-7).

О нём

Башмакова И. Г. Диофант и Ферма (к истории метода касательных и экстремумов). Историко-математические исследования, 17, 1967, с. 185—204.
Башмакова И. Г. Диофант и диофантовы уравнения. М.: Наука, 1972. 68 стр. 40000 экз.
- (Репринт М.: ЛКИ, 2007)
Башмакова И. Г. Арифметика алгебраических кривых (от Диофанта до Пуанкаре). Историко-математические исследования, 20, 1975, с. 104—124.
Башмакова И. Г., Славутин Е. И., Розенфельд Б. А. Арабская версия «Арифметики» Диофанта. Историко-математические исследования, 23, 1978, с. 192—225.
Башмакова И. Г., Славутин Е. И. История диофантова анализа от Диофанта до Ферма. М.: Наука, 1984.
История математики с древнейших времён до начала XIX столетия. Под ред. А. П. Юшкевича. том I: С древнейших времён до начала Нового времени, М., Наука, 1970.
Славутин Е. И. Алгебра Диофанта и её истоки. Историко-математические исследования, 20, 1975, с. 63-103.
Щетников А. И. Можно ли назвать книгу Диофанта Александрийского «О многоугольных числах» чисто алгебраической? Историко-математические исследования, 8(43), 2003, с. 267—277.
Christianidis J. The way of Diophantus: Some clarifications on Diophantus’ method of solution. Historia Mathematica, 34, 2007, p. 289—305.
Heath Th. L. Diophantus of Alexandria, A Study in the History of Greek Algebra. Cambridge, 1910 (Repr. NY, 1964).
Knorr W. R. Arithmktikê stoicheiôsis: On Diophantus and Hero of Alexandria. Historia Mathematica, 20, 1993, p. 180—192.