Самостоятельная работа по теме: «Случайные величины»
Цели:
В результате прохождения занятия студент должен:
знать:
виды случайных событий;
закон распределения случайной величины;
числовые характеристики случайной величины;
уметь:
применять формулы для решения задач;
Например при бросании игральной кости могли появится числа 1,2,3,4,5 и 6. Наперед определить число выпавших очков невозможно, поскольку оно зависит от многих случайных причин, которые полностью не могут быть учтены. В этом смысле число очков есть величина случайная; числа 1,2,3,4,5 и 6 есть возможные значения этой величины.
Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед не известное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.
Случайные величины прописными буквами X,Y,Z, а их возможные значения соответствующими строчными буквами x,y,z. Например, если случайная величина X имеет три возможных значения, то они будут обозначены так: x1,x2,x3.
Случайной называют величину, которая в результате испытания примет случайно одно и только одно значение из множества возможных значений.
Дискретной (прерывной) называют случайную величину, которая принимает отдельные возможные значения с определенными вероятностями.
Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.
Пример 1. Случайной величиной является число очков, выпавших при бросании игральной кости, или рост случайно выбранного из учебной группы студента
В первом случае мы имеем дело с дискретной случайной величиной (она принимает значения из дискретного числового множества M={1, 2, 3, 4, 5, 6}; во втором случае - с непрерывной случайной величиной (она принимает значения из непрерывного числового множества - из промежутка числовой прямой I=[1000, 3000]).
Закон распределения
Законом распределения случайной величины называется соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями (его можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически.
Разобрать пример:
Найти дисперсию случайной величины X, которая задана следующим законом распределения:
Х 2 3 5
p 0,1 0,6 0,3
Решение. По формуле (3.1) находим математическое ожидание:
M (X) = 2*0,1 + 3*0,6 + 5*0,3 = 3,5.
Закон распределения случайной величины X2:
Х2 4 9 25
p 0,1 0,6 0,3
Математическое ожидание М(Х2):
M (X) = 4*0,1 + 9*0,6 + 25*0,3 = 13,3.
По формуле (3.4) находим дисперсию:
D (X) = 13,3 - (3,5)2 = 1,05.
Средним квадратичным отклонением случайной величины Х называется корень квадратный из ее дисперсии: 
Задания:
Возможные значения случайной величины таковы: x1 = 2, x2 = 5, x3 = 8. Известны вероятности первых двух возможных значений: p1 = 0,4, p2 = 0,15. Найти вероятность x3. Математическое ожидание и дисперсию дискретной случайной величины.
Найти математическое ожидание и дисперсию дискретной случайной величины, зная ее закон распределения:
Х
6
3
1
p
0,2
0,3
0,5
Случайная величина задана законом распределения:
Х
2
4
8
p
0,1
0,5
0,4
Найти среднее квадратичное отклонение этой величины