Урок алгебры ПО ТЕМЕ «ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ»

МОУ ЮЛОВСКАЯ ОСНОВНАЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА

ИНЗЕНСКОГО РАЙОНА УЛЬЯНОВСКОЙ ОБЛАСТИ

УРОК- ЛЕКЦИЯ ПО АЛГЕБРЕ

( 9 КЛАСС)

ПО ТЕМЕ:

« ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ

ПРОГРЕССИЯ».

ВЫПОЛНИЛА

УЧИТЕЛЬНИЦА МАТЕМАТИКИ

Н.И. ЗУБКОВА.

УРОК – ЛЕКЦИЯ

ПО АЛГЕБРЕ ( 9 класс )

ПО ТЕМЕ: «ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ»

( 2 УРОКА)

ЦЕЛЬ УРОКА:

1.Расширить знания учащихся о последовательностях, о прогрессиях.

Ввести понятие геометрической прогрессии, рассмотреть свойства ее членов. С доказательством ввести формулу _п-го члена прогрессии, формулы суммы п первых членов прогрессии. Ввести понятие бесконечной убывающей геометрической прогрессии и формулу суммы ее членов.

2. Способствовать формированию у учащихся логического мышления; вычислительных навыков; внимания и аккуратности при применении определения и формул п-го члена и суммы п первых членов геометрической прогрессии; самостоятельности. Вызвать интерес у учащихся к математике.

3. Способствовать формированию у учащихся умений выделять из представленных последовательностей геометрическую прогрессию, уметь выполнять вывод и применять при решении задач формулы п-го члена и формул суммы п членов геометрической прогрессии.

ПЛАН УРОКА:

1. Организационный момент.

2. Постановка цели урока перед учащимися.

3. Изучение нового материала и его закрепление.

3.1.Определение геометрической прогрессии

3.2.Вывод формулы п-го члена геометрической прогрессии.

3.3.Вывод формулы суммы n- первых членов геометрической прогрессии.

3.4. Определение бесконечной геометрической прогрессии.

3.5. Вывод формулы суммы бесконечной геометрической прогрессии

при | g|<1.

3.6. Сообщение ученика.

4. Подведение итогов урока.

5. Домашнее задание.

6. Литература.

ХОД УРОКА.

1.Организационный момент.

2.Постановка цели урока перед учащимися.

Научиться выделять среди всех последовательностей

геометрическую прогрессию и ее свойства, решать задачи по теме.

3.Изучение нового материала и его закрепление.

3.1.ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ.

ЗАДАЧА.

В благоприятных условиях бактерии размножаются так, что на протяжении первой минуты одна из них делится на две. Запишите колонию, рожденную одной бактерией за семь минут.(см. рисунок).

.

. .

. . . .

. . . . . . . .

1). Выпишите последовательность в соответствии с условием задачи.

1;2;4;8;16;32;64.

или (b_п) - последовательность,

b₁ =1; b₂=2; b₃=4; b₄=8; b₅=16; b₆ =32; b₇ =64;

2) Найдите частное от деления последующего члена на предыдущий член.

b₃ : b₂ =4 : 2=2 ;

b₄ : b₃ =8 : 4=2;

b₅ : b₄ = 16 : 8=2; и т.д.

b_п+1: b _п =

g -знаменатель прогрессии.

= b₂:b₁= b₃:b₂=b₄:b₃=…= b_п+1: b _п

3).Задайте эту последовательность с помощью рекуррентной формулы.

b₂ = 2b₁

b₃= 2 b₂

b₄= 2b_3…..

b_п+1 = b _п

УЧИТЕЛЬ: Такую последовательность в математике называют геометрической прогрессией.

4) Формулировка определения геометрической прогрессии.

Учащиеся пытаются дать определение геометрической прогрессии, а учитель помогает им.

5) Работа с учебником.

Учащиеся находят правило в учебнике, один из учащихся

читает определение вслух, учитель обращает внимание

учащихся на то, что в определение сказано «члены отличные

от нуля». Как вы думаете почему?

6).Найдите среднее геометрическое чисел 2 и 8; 4и 16; 8и 32;16и 64.

=4

=8

= 16

=32

= b_n

Из равенства = b₂:b₁= b₃:b₂=b₄:b₃=…= b_п: b _п-1 = b_п+1: b _п

получим b_п: b _п-1 = b_п+1: b _п или b ²_п = b _п-1 * b_п+1 , то

= b_n

ВЫВОД: Каждый член геометрической прогрессии, начиная со второго, есть среднее геометрическое между предыдущим и последующим членами прогрессии. Отсюда и произошло название прогрессии.

7) Найдите произведение 1 и 7 членов, 2 и 6 членов, 3 и 5 членов геометрической прогрессии и сравните результаты.

b₁*b ₇ = 1 * 64=64

b₂*b ₆ = 2 * 32=64

b₃*b₅ = 4 *16=64

Вывод: b₁⋅b_п = b₂⋅b_п-1 = b₃⋅b_{n – 3} = … , т.е. произведение членов, равноудаленных от концов прогрессии, есть величина постоянная.

ЗАДАЧА.1. Дано: ( b_n )-геометрическая прогрессия, b₁ =3, =2.

Найти: первые пять членов прогрессии.

Решение:

b₂ = b₁* g = 3*2=6

b₃ = b₂* g =6*2=12

b₄ = b₃* g =12*2=24

b₅ = b₄* g =24*2=48

Ответ: 3; 6;12;24;48.

3.2.ВЫВОД ФОРМУЛЫ П-ГО ЧЛЕНА ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ.

( b_n)-геометрическая прогрессия , b₁ , g.

b₂ = b₁* g

b₃ = b₂* g = b₁* g* g = b₁* g²

b₄ = b₃* g = b₁* g² * g = b₁* g³

b₅ = b₄* g = b₁* g³ * g = b₁* g⁴

…………………………………………….

b _n = b₁* g^n-1

b _n = b₁* g^n-1

- формула п-го члена геометрической прогрессии.

ЗАДАЧА.2. Дано: ( b_n)-геометрическая прогрессия, b₁ =8 , =.

Найти: , b₆

Решение:

b _n = b₁* g^n-1

b ₆ = b₁* g^6-1

b ₆ = 8*( ⁵ = 8* = .

Ответ: b ₆ = .

3.3.ВЫВОД ФОРМУЛЫ СУММЫ n- ПЕРВЫХ ЧЛЕНОВ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ.

ЗАДАЧА-ПРОБЛЕМА 1.

Однажды незнакомец постучал в окно к богатому купцу и предложил такую сделку: « Я буду ежедневно в течение 30 дней приносить тебе по 100 000 рублей. А ты мне в первый день за 100 000 рублей дашь 1копейку, во второй день за 100 000 рублей – 2копейки и так каждый день будешь увеличивать предыдущее число денег в два раза. Если выгодна сделка тебе, то с завтрашнего дня и начнем». Купец обрадовался такой сделке. Он подсчитал, что за 30дней получит от незнакомца 3 000 000 рублей. На следующий день они пошли к нотариусу и узаконили сделку. Кто в этой сделке проиграл?

Учитель: В этой задаче дана последовательность 1,2,4,8,16,32,64,128,256, ...,которая является геометрической прогрессией. Надо найти сумму тридцати первых членов этой геометрической прогрессии.

ЗАДАЧА-ПРОБЛЕМА.2.

По преданию, индийский принц Сирам, восхищенный остроумием игры и разнообразием возможных положений шахматных фигур, позвал к себе ее изобретателя ученого Сету и сказал ему: « Я желаю достойно вознаградить тебя за эту прекрасную игру. Я достаточно богат, чтобы исполнить любое твое желание». Сета попросил принца положить на первую клетку шахматной доски 1 пшеничное зерно, на вторую- 2зерна, на третью-4зерна и т. д. Сможет ли принц расплатиться с ученым?

Учитель: В этой задаче дана последовательность 1,2,4,8,16,…, которая является геометрической прогрессией. Надо найти сумму 64-х первых членов этой геометрической прогрессии.

( b_n) -геометрическая прогрессия , b₁ , g.

S_n - сумма п первых членов геометрической прогрессии

S_n = b₁ + b₂ + b₃ + b₄ + b₅+… + b_n-1 + b_n

S_n * g = b₁*g + b₂*g + b₃ *g+ b₄ *g + b₅ *g+… + b_n-1 *g+ b_n*g

S_n *g= b₂ + b₃ + b₄ + b₅+… + b_n + b_n *g

S_n *g - S_n = b_n *g - b₁

S_n (g-1) = b_n *g - b₁

S_n =

S_n =

формула суммы п первых членов геометрической прогрессии.

b _n = b₁* g^n-1

S_n =

S_n =

S_n =

S_n =

формула суммы п первых членов геометрической прогрессии.

Учитель: Вернемся к предложенным задачам –проблемам .

К задаче 1.

S₃₀ = = =1073741824 -1 = 1 073 741 823 ( коп)

К задаче 2.

S₆₄ = = = 18 446 744 073 709 551 615 18,5 *10¹⁸

Если бы принцу удалось засеять пшеницей площадь всей поверхности земли, считая и моря и океаны и горы и пустыни и Арктику и Антарктику и получить удовлетворительный урожай, то за пять лет он бы смог рассчитаться с изобретателем шахмат.

Задача 3 . Дано: ( b_n)-геометрическая прогрессия, b₁ =8 , =.

Найти: S_5.

Решение:

S_n =

S₅ =

S₅ = =8* ( - ) * ( -) =15,5

Ответ: 15,5.

Задача 4 . Дано: 3; - 6; …. - геометрическая прогрессия.

Найти: S₆

Решение:

S_n =

g = b₂:b₁= -6:3=-2.

S₆ =

S₆ = =

Ответ: - 63.

3.4.БЕСКОНЕЧНАЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ.

ЗАДАЧА-ПРОБЛЕМА.

Ученик идет от стола учителя к двери. Первый шаг он делает длиной 1 метр, другой - полметра, третий- четверть метра и т.д. Дойдет ли ученик до двери, если до нее 3 метра?

Учитель. Получили последовательность 1,1/2,1/4, 1/8,….Данная последовательность является бесконечной геометрической прогрессией со знаменателем g = <1.

Определение: Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия — это прогрессия, у которой |q| < 1. Для неё определяется понятие суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии как число, к которому неограниченно приближается сумма  первых членов рассматриваемой прогрессии при неограниченном возрастании числа .

Найдем сумму всех членов геометрической прогрессии, т.е.

S_n = 1+ + + +…..+

S_n =

S_n = = -2 * ( ()ⁿ -1 ) = 2 - 2, т.к. при п ∞ вычитаемое стремится к нулю.

Ответ: ученик не сможет дойти до стола учителя.

3.5. ВЫВОД ФОРМУЛЫ СУММЫ БЕСКОНЕЧНОЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ ПРИ | g|<1.

S_n =

S_n = =

Если | |<1 , то при неограниченном увеличении множитель стремится к нулю, а значит разность , т.е. стремится к единице. Поэтому при неограниченном увеличении сумма S_n стремится к числу.

Число называют суммой бесконечной геометрической прогрессии при

| |<1.

Тогда S_n = .

Заметим, что если | |>1, то сумма первых членов геометрической прогрессии при неограниченном увеличении не стремится ни к какому числу. Бесконечная геометрическая прогрессия имеет сумму только при | |<1.

Задача 5. Дано: 7,(12).

Найти: представить в виде обыкновенной дроби.

Решение:

7,(12)= 7+0,12+0,0012+0,000012+0,00000012+…

0,12; 0,0012; 0,000012… - геометрическая прогрессия

g = b₂:b₁= 0,0012:0,12=0,01

|g| = 0,01<1.

S_n =

S_n = = =

7.(12)= 7+ = .

Ответ: 7,(12) = =

1. СООБЩЕНИЕ УЧЕНИКА.

Среди геометрических прогрессий особый интерес представляют так называемые бесконечно убывающие геометрические прогрессии.

Рассмотрим квадраты, изображенные на рисунке. Сторона первого квадрата равна 1, сторона второго равна 1/2, сторона третьего 1/4 и т. д.

Таким образом, стороны квадратов образуют геометрическую прогрессию со знаменателем 1/2:1, 1/2, 1/4, ...Площади этих квадратов образуют геометрическую со знаминателем1/2:1, 1/4, 1/16, ...Из рисунка видно, что стороны квадратов и их площади с возрастанием n становится все меньше, приближаясь к нулю. Поэтому каждая из прогрессий называется бесконечно убывающей ,если модуль ее знаменателя меньше единицы.

4. ПОДВЕДЕНИЕ ИТОГОВ УРОКА.

Учитель повторяет весь теоретический материал урока и обращает внимание учащихся на основные понятия и формулы геометрической прогрессии.

5. ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ:

Изучить материал учебника ( п.27,п.28) и конспекта лекции;

рассмотреть вывод формулы суммы п-первых членов геометрической прогрессии; выучить определение, свойства и формулы.

6. ЛИТЕРАТУРА:

1. Алгебра . 9 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений/ Макарычев и др.-М.: Просвещение,2010.

2. Алгебра . 9 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений/ Макарычев и др.-М.: Просвещение,1999.

3. Учебно – методическая газета « Математика»

( приложение к газете « Первое сентября»).

1. Журнал « Математика в школе »

2. Савин А.П.. Станцо В.В. и др. Я познаю мир: Детская энциклопедия: математика. – М.: АСТ, 1996.

3. Коваленко В.Г.Дидактические игры на уроках математики: Кн. для учителя.- М.: Просвещение, 1990.

4. Интернет. Википедия.