Тема: Решение тригонометрических уравнений
Вступление
Методы решения уравнений:
Замена переменной;
Разложение на множители;
Функционально-графический.
Деление на группы:
Разминка.
Установить соответствие.
Исправить ошибки.
Найти уравнение, которое не имеет решений.
I группа (соответствие)
sinx = 0
x = П/2+Пn
cosx = 0
x = П/4+Пn
sinx = 1
x = Пn
tgx = 0
x = 2Пn
cosx = 1
x = П/2+2Пn
tgx = 1
x = П/4+2Пn
II группа (найти ошибки)
arcsina+Пn
sinx = a
(-1)narccosa+2Пn
cosx = a
arctga+2Пn
tgx = a
(-1)narctga+2Пn
ctgx2 = a
III группа (не имеет решения)
1. cos2x = 0,
2. cos2x = 2,
3. 2cos2x = 0,
4. sin2x+2 = 4,
5. tg3x = 3,
6. 1+sin2x = 3,
7. cos2x = 1/y.
Решают уравнение на доске все.
2tg23x-tg3x-1 = 0,
tg3x = y,
2y2-y-1 = 0,
D=9,
y1 = 1, y2 = -1/2,
tg3x = 1, tg3x = -1/2,
3x = П/4+Пn, 3x = -arctg1/2+Пn,
x = П/12+Пn/3 x = -1/3arctg1/2+Пn/3
Решают на местах (самостоятельно).
1гр. 2гр. 3гр.
1 ученик решает у доски:
2tg23x-|tg3x|-1 = 0,
Пусть tg3x≥0, тогда:
2tg23x-tg3x-1 = 0,
tg3x = y,
2y2-y-1 = 0,
D=9,
y1 = 1,
y2 = -1/2 – не удовлетворяет условию, так как tg3x≥0,
tg3x = 1,
3x = П/4+Пn,
x = П/12+Пn/3, nєZ.
Пусть tg3x˂0, тогда:
y1 = -1,
y2 = 1/2 – не удовлетворяет условию, так как tg3x˂0,
tg3x = -1,
3x = -П/4+Пn,
x = -П/12+Пn/3.
Историческое сведение.
1пр. secx = -0,5 имеет ли решение это уравнение?
2пр. чему равен tg11П/2? (не существует)
3пр. sin1 – какой знак имеет это выражение?
Работа по карточкам (устно).
задание у доски 1 ученик:
4sin2x/3- sinx/3*cosx/3+cos2x/3 = 2,
4sin2x/3- sinx/3*cosx/3+cos2x/3-2sin2x/3- 2cos2x/3 = 0,
2sin2x/3- sinx/3*cosx/3-cos2x/3 = 0| : cos2x/3,
2tg2x/3- tgx/3-1 = 0,
tgx/3 = 0,
2a2- a-1 = 0,
D=1+8=0,
a=(1±3)/4,
a1 = 1, a2 = -1/2,
tgx/3 = 1, tgx/3 = -1/2,
x/3 = П/4+2Пn, x/3 = -arctg1/2+Пn,
x = 3П/4+6Пn x = -3arctg1/2+3Пn
Решить дома:
sin3x+ sin2x*cosx+ sinx*cos2x-cos3x = 2sinx,
sin3x+ sin2x*cosx+ sinx*cos2x-cos3x = 2(sin2x+ cos2x)sinx
Решает уравнение 1 ученик с каждой группы (различными способами)
sin2x+3cos2x = 1
Итог урока!