Урок алгебры в 10 классе «РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ»

Автор : Чирясова Наталия Константиновна

Место работы: ГОУ СОШ № 935, г. Москва.

Должность: учитель математики.

Дополнительные сведения: урок алгебры и начал

анализа по теме: « Решение тригонометрических

уравнений» для 10 класса.

Урок алгебры и начал анализа в 10 классе.

Тема: «РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ»

Тип урока : урок обобщения и систематизации знаний.

Цель урока: закрепить навыки решения тригонометрических уравнений различных типов.

Задачи урока.

1. Образовательные:

- закрепление программных знаний и умений по решению тригонометрических уравнений;

- обобщение и систематизация материала;

- создание условий для контроля и самоконтроля усвоения знаний и умений;

- установление межпредметных связей.

2. Воспитательные:

- воспитание навыков делового общения, активности;

-формирование интереса к математике и ее приложениям.

3. Развивающие:

- формирование умений применять приемы: сравнения, обобщения, выделения главного, переноса знаний в новую ситуацию,

- развитие познавательного интереса, математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти.

Формы организации работы учащихся на уроке:

индивидуальная, фронтальная, парная.

Методы обучения:

частично-поисковый (эвристический), тестовая проверка уровня знаний, работа по опорным схемам, работа по обобщающей схеме, решение познавательных обобщающих задач, системные обобщения, самопроверка, взаимопроверка.

Оборудование и источники информации: таблицы (плакаты) по теме «Решение тригонометрических уравнений», системно-обобщающая схема (приложение 1);

на партах учащихся: опорные схемы по решению тригонометрических уравнений, листы учета знаний, лист бумаги для проведения теста и копирка.

1. Организационный момент.

Эпиграф занятия: «Без уравнения нет математики как средства познания природы» (академик Александров П. С.).

Учитель: «Сегодня у нас заключительный урок по теме «Решение тригонометрических уравнений». Повторяем, обобщаем, приводим в систему изученные виды, типы, методы и приемы решения тригонометрических уравнений.

Перед вами стоит задача – показать свои знания и умения по решению тригонометрических уравнений. Все виды работ на уроке будут оценены, результаты занесены в лист учета знаний».

2. Повторение теории.

Вопросы к классу:

1). Какое уравнение называется тригонометрическим?

2). Каков алгоритм решения тригонометрических уравнений?

3).Уравнения какого вида называются простейшими тригонометрическими уравнениям?

Учитель: «Рассмотрим решение простейших тригонометрических уравнений, повторим основные формулы». Ученики работают с опорным конспектом (приложение №1).

3. Выполнение теста.

Работа выполняется на листах бумаги с копиркой.

Вариант 1

Вариант 2

1) Каково будет решение уравнения при ?

1) Каково будет решение уравнения при ?

2) При каком значении уравнение имеет корни?

2) При каком значении уравнение имеет корни?

3) Какому промежутку принадлежат значения ?

3) Какому промежутку принадлежат значения ?

4) Какой формулой выражается решение уравнения ?

4) Какой формулой выражается решение уравнения ?

5) Каким будет решение уравнения ?

5) Каким будет решение уравнения ?

6) Чему равен ?

6) Чему равен ?

7) Какой формулой выражается решение уравнения ? (общая формула при )

7) Какой формулой выражается решение уравнения ? (общая формула при )

Ученики сдают первый экземпляр работы, по второму экземпляру осуществляется контроль в ходе самопроверки (правильные ответы записываются на обратной стороне доски). Результаты заносятся в лист учета знаний.

Выполняется работа над ошибками.

4. Устная работа.

Учитель: «Исправьте ошибки на доске и подумайте об их причинах».

Уравнение

Ответ с ошибкой

Правильный ответ

Нет корней

5. Работа в группах.

Математическая эстафета «Вертушка».

Каждая группа получает набор из 6 карточек с уравнением. Решив уравнение, ученик передает карточку своему соседу. Карточки проходят по кругу, поэтому эстафета называется « Вертушка».

Уравнение

Ответы

Проводится взаимопроверка работ. Группы обмениваются тетрадями.

Результаты записываются в лист учета знаний ученика в баллах (по одному баллу за каждое задание).

6. Историческая справка о развития тригонометрии, решении тригоно- метрических уравнений

Выступление ученика.

7. Решение прикладной задачи

Учитель: «Решение прикладных задач помогает формировать представление о роли математики в изучении окружающего мира, видеть разницу между реальным и идеальным, между физическим явлением и его математической моделью.

О прикладной направленности изучаемой темы расскажет ученик, который подготовил физическую задачу».

Задача. Под каким углом должен плыть пловец, чтобы из точки А попасть в точку , если скорость пловца , скорость течения реки , ? (см. рис к задаче).

Решение

V_x=V sin x + V₀,

V_y=V cos x,

tg 45º==,

=1,

cos x – sin x=1.

Ученикам предлагается решить полученное в задаче тригонометрическое уравнение различными способами, работая в группе.

1-я группа решает методом приведения к однородному уравнению.

2-я группа – методом разложения на множители.

3-я группа- методом введения вспомогательного угла.

4-я группа – методом преобразования разности в произведение

Ответы представителей групп:

1 способ. Приведение к однородному уравнению.

cos x – sin x=1,

cos²– sin²–2sin cos=sin² + cos² ,

2sin²+2sin cos=0.

sin( sin+ cos)=0.

1) sin=0, 2) sin+ cos=0,

=πn, n∈Z. tg= –1,

x=2 πn, n∈Z. = – + πn, n∈Z,

x= – +2 πn, n∈Z.

2 способ. 3 способ

Разложение Введение

на множители вспомогательного угла

cos x – sin x=1, cos x – sin x=1,

(cos x – 1) - sin x = 0, (cos x– sin x)=1,

(1- cos x) + sin x = 0, sin cos x – cos sin x=1,

2sin² + 2sin cos = 0, sin( – x)= .

sin( sin+ cos) = 0.

4 способ. Преобразование разности в произведение.

cos x – sin x=1,

sin ( - x) - sin x = 1,

2 sin ( - x) cos = 1,

sin(x - )= -,

x = 2 πn, n∈Z;

x = – +2 πn, n∈Z.

Учитель: «Решение проведено в общем виде, применительно к реальным явлениям

x =0°».

8. Решение упражнений на систематизацию уравнений.

Ученикам предлагаются блоки уравнений на сравнение, обобщение, выделение главного.

1. Что бы это значило?

Нельзя?!

1) sin x + cos x = 0

2) sin² x - 5 sin x cos x + 6 cos² x = 0

3) 4 sin x cos x - cos² x= 0

Можно ?!

Ответ: 1 - однородное уравнение первой степени, решается методом деления

на cos x (sin x);

2 - однородное уравнение второй степени, решается методом деления

на cos² x (sin² x);

3 - нельзя делить на cos² x, это приведет к потере корней.

1. Найти лишнее в этом блоке уравнение и раскрыть идею его решения.

1) sin4 x + sin2 x = 0

2)arc(x + 1) =

3) 8 cos 6x +4 cos x = 0

Ответ: 1, 3 - уравнения, решающиеся методом разложения на множители;

2 - лишнее уравнение в этом блоке, содержит обратную

тригонометрическую функцию. Так как x + 1=, x = -.

1) 2 cos 3x +4 sin x = 7

2) sin x + cos x = 2

3) cos x +sin x = 1

Ответ: 2, 3 -уравнения, решающиеся методом введения вспомогательного угла;

1- лишнее уравнение в этом блоке, оно решается оценкой значений левой и правой части. Так как наибольшее значение левой части равно 6, 67, это уравнение корней не имеет.

9. Подведение итогов урока.

Учитель: «Сегодня на уроке мы повторили решение разных типов тригонометрических уравнений, решали уравнения различными методами, рассмотрели задачу по физике, которая решалась с помощью тригонометрического уравнения».

Проводится рефлексия. Лист учета знаний ученики сдают учителю, за работу

на уроке выставляется оценка в журнал.

10. Домашнее задание.

Решение уравнений из материалов ЕГЭ: задание С-1 п.4 №16,17,18; задание С-3 п.6 №3,4,5 из пособия по подготовке к ЕГЭ-2011 под редакцией А. Л. Семенова,

И.В. Ященко)

Список использованных источников:

1. Материалы ЕГЭ под редакцией А. Л. Семенова, И. В. Ященко.

М: МЦНМО, 2011.

2. А. Газизова. Решение тригонометрических уравнений. Газета « Математика», приложение к « 1 Сентября», № 20, 2000.

Приложение № 1. Опорный конспект - системно-обобщающая схема по решению тригонометрических уравнений.

8