Урок-лекция в 10 классе по алгебре и началам анализа «Производная в физике и технике» | Лучшие рефераты, дипломные, курсовые работы

Урок-лекция в 10 классе

по алгебре и началам анализа «Производная в физике и технике»

Учитель математики высшей квалификационной

категории Оганесян Р.С.

Теория без практики мертва или бесплодна; практика без теории невозможна или пагубна. Для теории нужны знания, для практики сверх всего того умение. А.Н. Крылов

План проведения лекции.

1.Исторические сведения, сообщение учителя.

2. Применение производной - различные формулы.

3. Примеры решения различных задач.

Цель урока: Рассмотреть механический смысл производной и ее применение в физике и технике.

Честь открытия основных законов математического анализа наравне с Ньютоном, принадлежит немецкому математику Т. Лейбницу. К этим законам Лейбниц пришёл, решая задачу проведения касательной, к произвольной кривой. Математический анализ, созданный Ньютоном и Лейбницем, долго развивался на основе интуитивного понятия производной как «скорости изменения функций». Современное определение производной появилось лишь в XIX веке после того, как были уточнены основные понятия математического анализа: вещественное число, предел, функции.

Ясно, что путь и скорость связаны между собой. В конце XVII века великий английский учёный Исаак Ньютон открыл общий способ описания этой связи. Открытие Ньютона стало поворотным пунктом в истории естествознания. Оказалось, что связь между количественными характеристиками самых различных процессов, исследуемых физикой, химией, биологией, техническими науками, аналогична связи между путём и скоростью. Основными математическими понятиями, выражающими эту связь, являются производная и интеграл.

II. Итак, понятие производной возникло как математическое описание скорости движения. Поэтому важнейшим приложением производной является вычисление скорости, а ещё говорят, что производная есть мгновенная скорость изменения функции, поэтому производная широко применяется в физике и технике. Приведём примеры.

1.Если материальная точка движения прямолинейна и её координата применяется по закону X(t), то скорость её движения V(t) равна производной X’(t) в момент времени t: V(t)=X’(T) 2.Скорость движения точки есть функция от времени, а производная этой функции называется ускорением движения. Ускорение есть производная скорости по времени: a = V’(t) или a = X’’(t)

С помощью производных функций, характеризующих физические явления, задаются и другие физические величины, а именно:

3.Работа. Рассмотрим работу, которую совершает заданная сила F при перемещении по отрезку оси x. Сила есть производная работы по перемещению: F = A’(x)

4.Заряд. Пусть q – заряд, переносимый электрическим током, через поперечное сечение проводника за время t. Сила тока является производной заряда по времени I = q’(t)

5.Масса тонкого стержня. Пусть имеется неоднородный тонкий стержень. Неоднородность стержня означает, что его линейная плотность не является постоянной, а зависит от положения точки lпо некоторому закону ρ =ρ(l). Тогда: линейная плотность – это производная массы по длине: 6.Теплота. Рассмотрим процесс нагревания какого-нибудь вещества и будем вычислять количество теплоты Q(T), которое необходимо, чтобы нагреть 1 кг. Этого вещества от 0^о до T^о (по Цельсию). Тогда: теплоёмкость – это производная теплоты по температуре. C = Q’(T)

7.Работа как функция времени. Нам известно, что характеристика работы, определяющая её скорость по времени – это мощность. Мощность есть производная работы по времени: N = A’(t) 8.Если Q(t) –закон изменения количества вещества, вступившего в химическую реакцию, то скорость V(t) химической реакции в момент времени tравна производной Q’(t): V(t) = Q’(t)

9.Если V(p) – закон изменения объёма жидкости от внешнего давления p, то производная V’(p) есть мгновенная скорость изменения объёма при внешнем давлении, равном p: V_мгн = V’(p) 10.Пусть точка движется по криволинейной траектории. Обозначим координаты точки x(t) иy(t). Эти координаты зависят от времени tи являются тем самым функциями от t. Тогда координаты вектора мгновенной скорости в момент времени tравны x(t) иy(t).

11.При движении точки по окружности с угловой скоростью ω(t) по закону µ(t), имеем ω(t)=φ’(t)

III. Производная широко применяется при решении различных физических задач. Рассмотрим решение нескольких задач.

1.Тело движется прямолинейно по закону x(t) = 3t² + 2t + 1, где x(t) измеряется в литрах, время t в секундах. Найти скорость движения тела в момент времени t = 4 с.

Решение.

V(t) = x’(t) ; V(t) = 6t + 2 ; V(4) = 6 · 4 + 2 = 26 (м/с). Ответ: 26 м/с.

2.Для машины, движущейся со скоростью 30 м/с, тормозной путь определяется по формуле S(t) = 30t – 16t², где S(t) – путь в метрах, t – время торможения в секундах. В течении какого времени осуществляется торможение до полной остановки машины? Сколько метров будет двигаться машина с начала торможения до полной её остановки? Решение.

Мгновенная скорость V(t) машины при торможении равна производной s’(t). V(t) = S’(t) = (30t – 16t²)՛ = 30 – 32t

В конце тормозного пути V(t) = 0, поэтому имеем: 30 – 32t = 0, откуда t= с. Значит торможение осуществлялось в течении с. Тормозной путь машины составит: S () = 30 ·= 16 ()² ≈ 14 (м). Ответ: t = с.; S () ≈ 14 м.

3.Тело, масса которого m кг. Движется прямолинейно по закону x(t) = 3t² + t (в м.). Доказать, что движение тела происходит под действием постоянной силы Решение.

Ускорение: а(t) = V’(t) = x’’(t) V(t) = x’(t) = (3t² + t)׳ = 6t + 1 a(t) = (6t + 1) = 6. При данном законе движения тело движется с постоянным ускорением а(t) = 6 (м/с²). Масса тела m постоянна, значит по второму закону Ньютона действующая на него сила F = ma = 6m (н.) также постоянна, что и требовалось доказать.

4.Тело, массой 5 кг движется прямолинейно по закону S = t – 3t+2, где t измеряется в секундах, S – в метрах. Найти кинетическую энергию 10с. после начала движения. Решение.

Кинетическую энергию найдём по формуле: E = V(t) = S(t) = (t²- 3t+2)՛ = 2t – 3 (м/с) V(10) = 2 × 10 – 3 = 17 м/с E = == 722,5 (Дж) Ответ: 722,5 Дж

5.Поворот тела вокруг оси совершается по закону: µ(t) = 2t²-3t+1 радиан. Найти угловую скорость ω(t) в произвольный момент времени t при t = 2 с.

Решение.

ω(t) = φ՛(t) = (2t²- 3t+1)= 4t- 3 (радиан/с.) ω(2) = 4·2 – 3 = 5 (радиан/с.) Ответ: ω(t)=4t-3 радиан/с., 5 радиан/с.

6.Количество электричества, протекающее через проводник, начиная с момента t=0. задаётся формулой q = 3t²+t+2. Найти силу тока в момент времени t=3. Решение.

I = q^’(t) ; I = (3t²+t+2)^’= 6t+1

I(3) = 6 ×3 + 1 = 19

Ответ: 19.

7.Измерения величины заряда на обкладках конденсатора показали, что заряд q меняется со временем по закону q(t) = 3,05 +6,11t –

Время в секундах, заряд в микрокулонах. Найти закон изменения силы тока.

Решение.

I = q¹(t); I = (3,05 + 6,11t –) = 6,11 +

Ответ: I = 6,11 +

8. Пусть Q(T) – количество теплоты, которое необходимо для нагревания 1 кг.воды от 0^одо T^o (по Цельсию). Известно, что в диапазоне O≤T≤95 формула Q(T) = 0,396T + 2,081 ×10 ^-3T²-5,024×10^-7×T³ даёт хорошее приближение по истинному значению Q(T). Найти, как зависит теплоёмкость воды от температуры.

Решение.

С = Q¹(T) C = (0,396T+2,081·10^-3T²-5,024 ㆍ10^-7ㆍT³)¹= 0,396 + 2ㆍ2,081 ㆍ10^-3ㆍT – 3 ㆍ5,024 ㆍ10^-7ㆍT²= 0,396 +4,162 ㆍ10^-3T – 15,072 ㆍ10^-7T²

Ответ: 0,396 + 4,162 ㆍ10^-3T – 15,072 ㆍ10^-7T²

9. Зенитный снаряд выброшен вертикально вверх с начальной скоростью V_о. На какой высоте h он будет в момент t(вс.)? Определить скорость и ускорение движения снаряда. Через сколько секунд достигнет наивысшей точки и на каком расстоянии от поверхности земли он будет находиться?

Решение.

Так как S(t) = V_ot – qt²/2, то V(t) = S¹(t) и

V(t) = V_o₋g(t) – скорость движения снаряда

a(t) = -g – ускорение движенияㆍ

2. Снаряд достигнет наивысшей точки, если V(t) =0 т.е. V_o₋g(t)= 0, откуда gt=V_o_,t= ,следовательно, черезсекунд после начала движение снаряд достигнет наивысшей точки.