Урок по теме: «Решение систем уравнений второй степени с параметром графическим способом»

Урок по теме: «Решение систем уравнений второй степени с параметром графическим способом»

Урок математики интегрирован с информатикой. Создан с помощью программного продукта «Живая математика» (предварительно готовится анимация графического примитива :параболы, окружности, прямой средствами данной программы для всех видов деятельности урока).

9 класс.

Учитель математики ГОУ СОШ №1374 Полухина О.Г.

Тип урока: Комплексное применение знаний, умений, навыков при изучении нового материала.

ТДЦ урока:

образовательный аспект- повторить с учащимися понятие «параметр», исследовать решение систем уравнений второй степени с параметрами и познакомить учащихся программным продуктом «Живая математика», управляющим меню и ее инструментами;

развивающий аспект- развитие учебно-организационных умений таких как умение выполнять работу в соответствии с планом (алгоритмом), , интегрировать знания информатики в математику, развитие учебно-информационных и интеллектуальных умений (сравнивать, анализировать, обобщать), развитие навыков перехода от одного вида деятельности к другому (от зрительно-слухового восприятия к лабораторной работе на ПК);

воспитательный аспект- умение работать в группе (распределять обязанности, слушать и объективно оценивать других, отстаивать свою точку зрения, соединять воедино результаты двух человек).

Ход урока.

1.Организационный этап.

Урок проводится в кабинете информатики. Класс разбит на малые группы по 2-3 человека, у каждой группы один компьютер. Полная готовность класса и оборудования.

Сформулированы основные цели урока.

2.Этап проверки домашнего задания.

В домашнем задании предлагалось решить графическим способом две системы:

На доске появляется правильное решение этих систем. Ученики в микро группах , сверяясь с образцом на доске, проверяют домашнее задание обменявшись своими тетрадями.

3.Этап актуализации знаний

Фронтальный опрос:

1. Что является решением уравнения с двумя переменными?

2. Что такое график уравнения?

3. Вспомнить, что является графиком следующих уравнений:

а. y = kx + b, что означают k и b?

б. у = ах² + b, рассмотреть два случая а>0 и а<0, Какое преобразование используется при построении графика?

в. (x-a)² + (y-b)² = R², что такое а, b,R?

а, b, R, k – произвольные числа, не равные нулю?

4.Этап изучения новых знаний.

4.1 Что такое параметр?

Параметр- это фиксированное, но неизвестное число.

Например, рассмотрим уравнение: х² + y² = a²

Графическая иллюстрация этого уравнения - окружность с центром в начале координат и радиусом а. Для одной окружности «а»- фиксированное число , но оно неизвестно, х и у меняются, принимают различные значения, они являются переменными.

Пример 1.

Рассмотрим уравнение х² + у² = а² Графическая иллюстрация представлена на рис.1.При а=0 график уравнения - окружность вырождается в точку, при а=1 график

х² + у² = 1² , при а=2 х² + у² = 2², при а=5 х² + у² = 5².

Рис.1

Пример 2. Рассмотрим уравнение у - х² = а, выразим у, у = х² + а. Графиком этого уравнения является парабола с вершиной на оси ординат. На рис. 2

Представлена графическая иллюстрация. При а = 0 у = х² , при а = 1 у = х²+1, при а = -3 у = х² – 3.Для каждой параболы «а»- фиксированное число, х и у – переменные.

Рис.2

Задание 1.

а) Построить на компьютере с помощью программы «Живая математика» следующие графики уравнений при различных значениях параметра:

Уровень А

Уровень В

Уровень С

у = 1/2х + b

при в = -2; 1

у = kx – 3

при k = 1; 2; 4

( x – a )² + ( y – 3 )² = 4

При а =1; 3

параметр b

параметр k

параметр a

Каждая микрогруппа выполняет последовательно все уровни.

б) Самопроверка, самооценка (см. лист самооценивания) по следующим эталонам. Эталоны решений находятся на экране монитора, но в скрытом для учеников состоянии.

Уровень А.

Рис. 3

Уровень Б.

Рис. 4

Уровень С.

Рис. 5

4.2 Рассмотрим решение системы уравнений с параметром.

Вопрос: Что является решением системы уравнений с двумя переменными?

Вспомним алгоритм решения системы с двумя переменными графически:

а) построение графиков 1 и 2 уравнений системы

б) нахождение общих точек графиков уравнений и их координат

с) решением системы являются координаты точек пересечения графиков.

Задание (выполняется совместно с учителем). При каких значениях параметра р данная система

{х² + у² = 4,

у – х² = р

не имеет решения, имеет одно решение, имеет два решения, имеет три решения, имеет четыре решения?

Решение.

Исследуем решение данной системы с параметром р с помощью программы «Живая математика».

Как значение параметра р влияет на количество решений системы?

По графику на экране монитора определяем, что данная система

При р>2 и при р<-4,2 не имеет решений, при р=2 одно решение, при -2 < р < 2 и при р=-4,2 два решения, при р=-2 три решения, при -4,2 < р < -2 четыре решения. Иллюстрация решения данного задания представлена на рис.6.

Рис. 6

Лабораторная работа.

С помощью программы «Живая математика» исследовать систему уравнений с параметром на количество решений.

Уровень А

Уровень Б

Уровень С

{х² + у² = 25,

у = m.

{х²+у²=9,

у=p- x².

{ х²+у²= r²,

х²+ у+2=0.

m- параметр

p-параметр

r- параметр

Самопроверка, самооценка (см. лист самооценивания) по эталонам. Эталоны решений находятся на экране монитора, но в скрытом для учеников состоянии.

5. Этап подведения итогов.

Учащимся предложено заполнить итоговую таблицу.

Виды деятельности

Оценка

Домашнее задание

Лабораторная работа

Средний балл

Вопросы учащимся:

1. Как вы понимаете, что такое параметр?

2. Как влияет изменение параметра на график уравнения?

3. Меняется ли количество решений системы уравнений с параметром при изменении значения параметра?

4. Как создать анимацию графического примитива (параболы, окружности, прямой) средствами программы «Живая математика»?

6.Домашнее задание.

1) № 305 (по учебнику Ю.Н. Макарычева «Алгебра 9»)

2) При каком значении параметра «к» система уравнений имеет одно решение, три решения?

{ у – х² = 4

х²+ у² = к ².

Приложение 1.

Лист самооценивания.

Критерии оценивания домашнего задания

Оценка

Домашняя работа не выполнена.

2

Ошибки при построении графиков уравнений:

3

Неверно определены координаты точек пересечения графиков из-за неточного их построения .

4

Работа выполнена верно, но могут быть допущены некоторые недочеты в оформлении.

5

Критерии оценивания лабораторной работы

Оценка

Неумение применять пользовательские навыки работы с Office приложениями при общении с программным продуктом «Живая математика»;

допускаются ошибки при работе по заданному алгоритму;

неправильно анализируется решение системы в зависимости от изменения параметра.

3

Указываются не все возможные значения параметра при анализе решения или неправильно указывается количество решений при фиксированном значении параметра;

ошибки при переключении во время работы с различными диалоговыми окнами.

4

Выполнены все требования при работе по заданному алгоритму , получен верный ответ.

5

Приложение 2.

Алгоритм самостоятельных работ .

Выполнение задания 1.

1.Открыть файл С:\Мои документы\class9\matem1\задание1 А-уровень

2. Для выполнения задания необходимо с помощью инструмента Стрелка (взять с панели инструментов) выделить параметр.

3. Выбрать команду: Вид Анимация параметра. После ввода команды начинается анимация.

4. Для управления движением графика уравнения с параметром рекомендуется использовать кнопки Останов, изменение направления движения, регулятор скорости движения.

5. Аналогично выполняется задание 1 для уровней Б и С.

Выполнение лабораторной работы.

6. Открыть файл С:\Мои документы\class9\matem1\задание2_сам_ уровень А (или \ задание2_сам_ уровень Б или \задание2_сам_ уровень С)

7. Настроить анимацию параметра, используя указания в пунктах 2, 3, 4.

8.В рабочую тетрадь записать исследование решения системы и с помощью эталона решения и, учитывая критерии, оценить свою работу и результаты записать в таблицу.