Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
средняя общеобразовательная школа №3
Станица Старощербиновская Щербиновского района Краснодарского края
Задачи на смеси и сплавы
ЕГЭ Задание В13
Подготовила: учитель математики
Категория: высшая
Тихончук Людмила Юрьевна
2013г.
Задачи на смеси и сплавы традиционно являются слабым звеном в подготовке школьников к ЕГЭ, кажутся многом из них довольно сложным. В таких задачах речь идет о растворах некоторого вещества в другом веществе и об изменении концентрации этого вещества после каких-либо манипуляций. При этом водные растворы, смеси или сплавы играют исходные роли и позволяют лишь несколько разнообразить сюжеты задач без изменений математического содержания. Ключевой идеей при решении таких задач является идея отслеживания изменений.
Предлагаю более простой способ решения данного типа задач с применением химической формулы
, где
m-количество чистого вещества
M-количество всего вещества
d-доля ( процентная, выраженная в десятичной дроби)
Используемая таблица
-
m
(m=M∙d)
M
d
1
2
3
Задачи с решениями:
1.В 1 кг сплава меди и олова содержится 45% олова. Сколько граммов меди надо добавить к этому сплаву, чтобы процентное содержание олова в новом сплаве стало равным 15%?
Пусть х- количество граммов меди, которое необходимо добавить к сплаву.
Заполним таблицу :
В 1 кг сплава меди и олова содержится 45% олова.
1кг=1000г
-
m
(m=M∙d)
M
d
1
1000г
0,45(олово)
2
3
Сколько граммов меди надо добавить к этому сплаву
-
m
(m=M∙d)
M
d
1
1000г
0,45(олово)
2
+хг
0
3
чтобы процентное содержание олова в новом сплаве стало равным 15%?
-
m
(m=M∙d)
M
d
1
1000г
0,45(олово)
2
+хг
0
3
1000+х
0,15
Заполним второй столбец используя формулу
-
m
(m=M∙d)
M
d
1
450
1000г
0,45(олово)
2
0
+хг
0
3
(1000+х)∙0,15
1000+х
0,15
Пологая, что 1 действие+2 действие=3 результат, составим и решим линейное уравнение:
450+0=(1000+х)∙0,15
450=150+0,15х
Х=2000г Ответ: 2000
Учитываем, что добавили, долили- это «+», а отлили, испарили- это «-».
2.В лаборатории изготовили 1кг 16% солевого раствора. Через неделю из этого раствора испарилось 200г воды. Определите процентное содержание соли в новом растворе.
-
m
(m=M∙d)
M
d
1
160
1000г
0,16(соль)
2
0
-200г
0
3
800х
800г
х
160-0=800х
Х=0,2
0,2=20% Ответ:20
3.Морская вода содержит 4% (по массе) соли. Сколько килограммов чистой воды надо выпарить из 30 кг морской воды, чтобы содержание соли в последней составляло 12 %?
-
m
(m=M∙d)
M
d
1
1,2
30кг
0,04(соль)
2
0
-х
0
3
(30-х)∙0,12
30-х
0,12
1,2-0=(30-х)∙0,12
1,2=3,6-0,12х
Х=20 кг Ответ :20
4.Сколько граммов воды нужно добавить к 700 граммам 12 %-ного уксусного раствора, чтобы получить 7 %-ный ?
-
m
(m=M∙d)
M
d
1
84
700г
0,12(уксус)
2
0
+х
0
3
(700+х)∙0,07
700+х
0,07
84+0=(700+х)∙0,07
84=49+0,07х
Х=500г Ответ:500
5.Морская вода содержит 6% (по массе) соли. Сколько килограммов чистой воды надо выпарить из 80 кг морской воды, чтобы содержание соли в последней составляло 8 %?
-
m
(m=M∙d)
M
d
1
4,8
80
0,06(соль)
2
0
-х
0
3
(80-х)∙0,08
80-х
0,08
4,8-0=(80-х)∙0,08
4,8=6,4-0,08х
Х=20кг Ответ: 20
6.Слиток сплава меди и цинка массой 1 кг содержит 42% меди. Сколько граммов цинка надо добавить к этому куску, чтобы полученный сплав содержал 20% меди?
-
m
(m=M∙d)
M
d
1
420
1000
0,42(медь)
2
0
+х
0
3
(1000+х)∙0,2
1000+х
0,2
420+0=(1000+х)∙0,2
420=200+0,2х
Х=1100г Ответ: 1100
7.В лаборатории изготовили 1кг 24% солевого раствора. Через неделю из этого раствора испарилось 200г воды. Определите процентное содержание соли в новом растворе.
-
m
(m=M∙d)
M
d
1
240
1000
0,24(соль)
2
0
-200
0
3
800х
800
х
240-0=800х
Х=0,3
0,3=30% Ответ: 30
8.Морская вода содержит 5% (по массе) соли. Сколько килограммов пресной воды надо прибавить к 40 кг морской воды, чтобы содержание соли в последней составляло 2 %?
-
m
(m=M∙d)
M
d
1
2
40
0,05(соль)
2
0
+х
0
3
(40+х)∙0,02
40+х
0,02
2+0=(40+х)∙0,02
2=0,8+0,02х
Х=60кг Ответ:60
9.В лаборатории изготовили 1кг 12% солевого раствора. Через неделю из этого раствора испарилось 400г воды. Определите процентное содержание соли в новом растворе.
-
m
(m=M∙d)
M
d
1
120
1000
0,12(соль)
2
0
-400
0
3
600х
600
х
120-0=600х
Х=0,2
0,2=20% Ответ: 20
10.Сколько граммов воды нужно добавить к 500 граммам 16 %-ного уксусного раствора, чтобы получить 10 %-ный ?
-
m
(m=M∙d)
M
d
1
80
500
0,16(уксус)
2
0
+х
0
3
(500+х)∙0,1
500+х
0,1
80+0=(500+х)∙0,1
80=50+0,1х
Х=300г Ответ: 300
11.Имеется 10 литров 60-процентного раствора соли. Сколько литров воды нужно долить, чтобы получить 40-процентный раствор соли?
-
m
(m=M∙d)
M
d
1
6
10
0,6 с
2
0
+х
О с
3
4+0,4х
10+х
0,4
6+0=4+0,4х
Х=5 Ответ:5
12.Бронза является сплавом меди и олова (в разных пропорциях). Кусок бронзы, содержащий 1/12 часть олова, сплавляется с другим куском, содержащим 1/10 часть олова. Полученный сплав содержит 1/11 часть олова. Найдите вес второго куска, если вес первого равен 84 кг.
-
m
(m=M∙d)
M
d
1
7
84
1/12
2
1/10х
+х
1/10
3
84/11+1/11х
84+х
1/11
7+1/10х=84/11+1/11х
х=70 Ответ:70
13.У хозяйки есть 5 литров сахарного сиропа 50% концентрации. Сколько литров воды необходимо добавить для получения сиропа 20% концентрации?
-
m
(m=M∙d)
M
d
1
2,5
5
0,5 с
2
0
+х
0
3
1+0,2х
5+х
0,2 с
2,5+0=1+0,2х
Х=7,5 Ответ:7,5
14. Имеется два сплава с разным содержанием меди: в первом содержится 
,а во втором – 
меди. Сплавили 3 кг первого и 2 кг второго сплава, какую часть меди содержит новый сплав?
-
m
(m=M∙d)
M
d
1
1
3
2
+2
3
5х
5
х
1+=5х
Х=0,3 Ответ:0,3
15. Для консервирования 10 кг баклажан необходимо 0,5 л столового уксуса (10 % раствор уксусной кислоты). У хозяйки имеется уксусная эссенция (80 % раствор уксусной кислоты), из которой она готовит уксус, добавляя в нее воду. Сколько миллилитров уксусной эссенции понадобится хозяйке для консервирования 20 кг баклажан?
-
m
(m=M∙d)
M
d
1
0,4-0,8х
0,5-х
0,8
2
0
+х
0
3
0,05
0,5
0,1
0,4-0,8х+0=0,05
Х=0,4375 – воды
0,5-0,4375=0,0625 л эссенции на 10 кг, на 20 кг – 0,125 л или 125 мл Ответ:125
16. Бронза является сплавом меди и олова (в разных пропорциях). Кусок бронзы весом 96 кг, содержащий 1/12 часть олова, сплавили с другим куском, содержащим 1/10 часть олова. Сколько килограмм весит второй кусок, если полученный сплав содержит 1/11 часть олова?
-
m
(m=M∙d)
M
d
1
8
96
1/12
2
1/10х
+х
1/10
3
96/11+1/11х
96+х
1/11
8+1/10х=96/11+1/11х
х=80
Ответ:80
17. Смешали 30 %-ный раствор соляной кислоты с 10 %-ным и получили 600 г 15 %-ного раствора. Сколько граммов первого раствора было взято?
-
m
(m=M∙d)
M
d
1
0,3х
х
0,3 к
2
60-0,1х
600-х
0,1 к
3
90
600
0,15
0,3х+60-0,1х=90
х=150 Ответ:150
8. В одном литре медицинского этилового спирта содержится 40 мл воды. Долив в него дистиллированной воды, врач получил раствор, содержащий 2/5 части спирта. Найдите объем (в мл) получившегося раствора?
-
m
(m=M∙d)
M
d
1
960
1000
0,96 с
2
0
+х
0
3
400+0,4х
1000+х
2/5 ( 0,4)
960+0=400+0.4х
Х=1400 мл добавлено
1400+1000=2400мл – всего Ответ:2400
19. Свежая клюква состоит на 99 % из воды. Заготовители собрали 500 кг клюквы и сдали ее на склад. После длительного хранения на складе содержание воды в клюкве уменьшилось до 96 %. Сколько килограммов весит клюква после хранения?
-
m
(m=M∙d)
M
d
1
5
500
0,01 к
2
0
-х
0
3
20-0,04х
500-х
0,04
5+0=20-0,04х
Х=375кг потеря при хранении
500-375=125кг после хранения Ответ:125
20. Кусок сплава меди и цинка массой в 36 кг содержит 45 % меди. Сколько килограммов меди нужно добавить к этому куску, чтобы полученный новый сплав содержал 60 % меди?
-
m
(m=M∙d)
M
d
1
16,2
36
0,45 м
2
х
+х
1 м
3
21,6+0,6х
36+х
0,6 м
16,2+х=21,6+0,6х
Х=13,5 Ответ:13,5
21. Свежие абрикосы содержат 80 % воды по массе, а курага (сухие абрикосы) – 12 % воды. Сколько понадобится килограммов свежих абрикосов, чтобы получить 10 кг кураги?
-
m
(m=M∙d)
M
d
1
8+0,8х
10+х
0,8
2
х
-х
1
3
1,2
10
0,12
8+0,8х-х=1,2
Х=34 потеря при хранении
34+10=44кг Ответ:44
22. По рецепту засолки огурцов на каждые 10 л рассола необходимо добавить 1 л столового уксуса (10 % раствор уксусной кислоты). У хозяйки имеется уксусная эссенция (80 % раствор уксусной кислоты), из которой она готовит уксус, добавляя в нее воду. Сколько миллилитров уксусной эссенции понадобиться хозяйке для приготовления 5 л рассола?
-
m
(m=M∙d)
M
d
1
0,8-0,8х
1-х
0,8
2
0
+х
0
3
0,1
1
0,1
0,8-0,8х+0=0,1
Х=0,875 л воды
1-0,875=0,125л эссенции на 10 л
62,5 мл на 5 л Ответ:62,5
23. Кислый маринад для консервирования овощей содержит 24% столового уксуса (10 % раствор уксусной кислоты). У хозяйки имеется уксусная эссенция (80 % раствор уксусной кислоты). Сколько процентов уксусной эссенции должно содержаться в аналогичном маринаде?
-
m
(m=M∙d)
M
d
1
0,192-0,8х
0,24-х
0,8 к
2
0
+х
0
3
0,024
0,24
0,1
0,192-0,8х+0=0,024
Х=0,21 или 21% воды 24%-21%=3% Ответ:3
24. Имеется лом стали двух сортов с содержанием никеля 5 % и 40 %. Сколько нужно взять металла первого из этих сортов, чтобы получить 140 т стали с содержанием 30 % никеля?
-
m
(m=M∙d)
M
d
1
0,05х
х
0,05
2
56-0,4х
+140-х
0,4
3
42
140
0,3
0,05х+56-0,4х=42
Х=40т Ответ:40
25. Свежесрезанные грибы содержат 90 % воды. После длительного хранения 120 кг грибов на складе содержание воды в них уменьшилось до 84 %. Какой стала масса грибов после хранения?
-
m
(m=M∙d)
M
d
1
108
120
0,9 в
2
х
-х
1 в
3
100,8-0,84х
120-х
0,84
108-х=100,8-0,84х
Х=45 кг потеря при хранении
120-45=75 кг осталось. Ответ:75
26.Смешали 40%-ый раствор соляной кислоты с 10%-ым и получили 500 мл 28%-го
раствора. Сколько мл 40%-го раствора было взято?
-
m
(m=M∙d)
M
d
1
0,4х
х
0,4 к
2
50-0,1х
500-х
0,1 к
3
140
500
0,28
0,4х+50-0,1х=140
0,3х=90
Х=300 Ответ:300
27.Хозяйка приготавливает уксус путем добавления воды в 70%-ю уксусную
эссенцию. Сколько мл эссенции нужно взять для приготовления 1,4 л 6%-го уксуса?
-
m
(m=M∙d)
M
d
1
0
1400-х
0
2
0,7х
+х
0.7
3
84
1400
0,06
0+0,7х=84
0.7х= 84
Х=120 Ответ:120
28.Хозяйка приготавливает уксус путем добавления воды в 70%-ю уксусную
эссенцию. Сколько мл воды нужно добавить на 210 мл эссенции, чтобы получился
раствор 6%-го уксуса?
-
m
(m=M∙d)
M
d
1
147
210
0,7
2
0
+х
0
3
12,6+0,06х
210+х
0,06
147=12,6+0,06х
Х=2240 Ответ:2240
Список использованной литературы
1.ЕГЭ 2012 Математика .Задача В13.Задачи на составление уравнений. Рабочая тетрадь
Под редакцией А.Л.Семенова и И.В.Ященко М: издательство: МЦНМО 2012г.
2. Тексты КДР 2010-2013 г . Автор составитель: Краснодарский краевой институт дополнительного профессионального педагогического образования.